1
00:00:00,880 --> 00:00:16,300
Bien, en este problema propuesto en la EVAO de Madrid en julio del 2018 nos piden estudiar la continuidad de la siguiente función y bueno pues se trata de una función definida a trozos que tiene el salto en el 2.

2
00:00:16,300 --> 00:00:19,039
antes del 2 no hay ningún problema en la continuidad

3
00:00:19,039 --> 00:00:21,960
porque se trata de una exponencial que siempre es continua

4
00:00:21,960 --> 00:00:26,460
y después del 2 al ser una racional podría haber problemas cuando el denominador se anule

5
00:00:26,460 --> 00:00:29,539
pero como el denominador es 2 pues tampoco hay problema

6
00:00:29,539 --> 00:00:32,159
porque para números mayores que 2 esto nunca vale 0

7
00:00:32,159 --> 00:00:35,780
para ver la continuidad vamos a ver si tiene límite en el 2

8
00:00:35,780 --> 00:00:38,259
entonces vamos a estudiar el límite de la siguiente forma

9
00:00:38,259 --> 00:00:44,920
límite de f de x cuando x tiende a 2 por la izquierda

10
00:00:44,920 --> 00:00:51,100
y límite de f de x cuando x tiende a 2 por la derecha

11
00:00:51,100 --> 00:00:55,359
si estos dos coinciden podremos decir que existe límite en el 2

12
00:00:55,359 --> 00:01:00,780
en el 2 por la izquierda esto aproximadamente será 8

13
00:01:00,780 --> 00:01:05,760
por e elevado a 4 menos 4 que es 0, esto nos va a dar 8

14
00:01:06,760 --> 00:01:10,040
y por la derecha este límite es x al cubo

15
00:01:10,040 --> 00:01:14,640
menos 4x, bueno podemos dar ya el valor

16
00:01:14,640 --> 00:01:25,180
y escribir 2 al cubo menos 4 por 2

17
00:01:25,180 --> 00:01:28,560
partido por 2 menos 2

18
00:01:28,560 --> 00:01:33,620
que lógicamente esto es 0 entre 0 que es una indeterminación

19
00:01:33,620 --> 00:01:36,719
podemos arreglarlo de muchas formas

20
00:01:36,719 --> 00:01:40,420
ya sabéis que la herramienta más potente para hacer esto

21
00:01:40,420 --> 00:01:42,280
es la regla del lopital

22
00:01:42,280 --> 00:01:51,569
y esa regla lo que dice es que el límite de f de x cuando x tiende a 2 por la derecha

23
00:01:51,569 --> 00:01:55,799
bueno, por la derecha o por la izquierda, estamos estudiando por la derecha

24
00:01:55,799 --> 00:02:03,719
es igual que el límite cuando x tiende a 2 por la derecha de la derivada de lo de arriba y la derivada de lo de abajo

25
00:02:03,719 --> 00:02:07,799
en este caso 3x cuadrado menos 4 partido por 1

26
00:02:07,799 --> 00:02:14,479
si ahora vuelvo a dar valores tenemos que 2 al cuadrado es 4 por 3, 12 menos 4, 8 partido por 1

27
00:02:14,479 --> 00:02:24,240
pues también es 8, es decir, ambos límites coinciden. Por esto y por esto podemos deducir que existe el límite de f de x cuando x tiende a 2.

28
00:02:25,759 --> 00:02:30,639
Recordamos la definición de continuidad. Es continua si existe límite y además coincide con la función.

29
00:02:31,300 --> 00:02:46,340
Como tenemos aquí la igualdad, sabremos que la f de 2 es lo mismo que arriba, es decir, 8 por e elevado a 4 menos 4,

30
00:02:46,340 --> 00:02:55,379
que es 8. Como f de 2 coincide con el límite de f de x cuando x tiende a 2

31
00:02:55,379 --> 00:03:05,210
podemos decir que f de x es continua en x igual a 2 y por tanto es continua en todo r.