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00:00:02,540 --> 00:00:12,099
Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo al curso de Matemáticas II de segundo de bachillerato.

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00:00:12,779 --> 00:00:20,399
Seguimos en el tema de matrices y en este vídeo vamos a presentar la noción probablemente más importante

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00:00:20,399 --> 00:00:28,539
y que más implicaciones tendrá en cuestiones geométricas. Estoy hablando de rango de una matriz.

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00:00:29,019 --> 00:00:33,460
Antes de dar una definición formal de rango de una matriz, veamos el siguiente ejemplo.

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00:00:34,259 --> 00:00:37,920
Imaginemos que queremos resolver un sistema de ecuaciones sencillo como este.

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00:00:39,039 --> 00:00:46,859
Este sistema puede representarse de forma matricial con una columna de incógnitas x, z de esa forma que veis ahí.

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00:00:47,780 --> 00:00:52,320
Si nos quedamos con la matriz de coeficientes y con la matriz de término independiente,

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00:00:52,520 --> 00:00:57,119
obtendría una matriz numérica 2 por 3, 2 filas, 3 columnas.

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00:00:57,460 --> 00:01:04,299
¿Qué pasa si yo añado una ecuación que es una combinación de esas dos ecuaciones?

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00:01:04,799 --> 00:01:14,260
Por ejemplo, imaginemos que yo añado la ecuación resultante de multiplicar la primera por 2 y la segunda por 1 y sumar.

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00:01:14,640 --> 00:01:21,980
Pues yo obtengo una ecuación que no me está aportando nada al sistema de ecuaciones, es decir, el sistema de ecuaciones sigue teniendo las mismas soluciones.

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00:01:22,900 --> 00:01:33,379
Matricialmente, ¿qué es lo que estoy haciendo? Pues añadir una fila de coeficientes, de manera pues que la tercera fila se obtiene sumando el doble de la primera más la segunda.

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00:01:35,510 --> 00:01:41,989
¿Qué ocurre? Que a la hora de resolver el sistema, pues la tercera fila la puedo quitar porque no está aportando nada.

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00:01:42,150 --> 00:01:45,549
Las soluciones son las mismas si prescindo de esa fila.

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00:01:46,689 --> 00:01:51,510
Bueno, pues esta idea es la que se esconde detrás del rango de una matriz.

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00:01:51,510 --> 00:01:55,250
Es el máximo número de filas linealmente independientes.

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00:01:55,349 --> 00:01:57,650
¿Pero qué significa esto de linealmente independientes?

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00:01:57,750 --> 00:02:01,069
Bien, vamos a verlo un poco con más calma, vamos a definirlo.

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00:02:02,390 --> 00:02:07,390
Cuando hablamos de filas o hablamos de columnas en una matriz indistintamente,

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00:02:07,730 --> 00:02:13,270
se suele utilizar la terminología líneas, para referirse, ya digo, a filas o columnas.

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00:02:13,830 --> 00:02:19,370
Una línea se puede escribir como combinación lineal del resto si existen unos números,

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00:02:19,370 --> 00:02:28,349
de manera que esa línea se escribe como lambda1 por la primera línea, por la L1, más lambda2 por L2, etc.

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00:02:29,629 --> 00:02:36,030
Si ninguna de las líneas se puede escribir como combinación lineal del resto, las líneas se dirán linealmente independientes.

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00:02:37,569 --> 00:02:42,110
El rango de una matriz es el máximo número de líneas linealmente independientes.

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00:02:42,750 --> 00:02:50,389
Ocurre que da igual si calculamos el rango por filas o por columnas que el número, rango, es independiente de cómo lo estemos calculando.

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00:02:50,789 --> 00:02:54,030
Por eso se habla a veces de líneas y no de filas o columnas.

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00:02:55,050 --> 00:03:00,370
Por ejemplo, imaginemos esa fila que tenéis ahí. Esa matriz tiene dos filas.

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00:03:00,629 --> 00:03:05,150
Se puede obtener la segunda como el doble que la primera, pues entonces el rango es 1.

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00:03:06,110 --> 00:03:12,229
¿Qué pasa con esa matriz que tenéis ahí? Tiene tres filas y el rango va a ser 2. ¿Por qué?

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00:03:12,590 --> 00:03:17,710
Porque la primera es la mitad que la segunda, pero la tercera es independiente de las dos primeras.

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00:03:18,289 --> 00:03:21,610
No se puede escribir como combinación lineal de ellas. Rango 2.

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00:03:22,129 --> 00:03:25,650
Vamos a poner otro, un tercer ejemplo. Fijaos en la tercera columna.

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00:03:25,650 --> 00:03:33,689
Se puede escribir como la segunda fila menos el doble de la primera. Eso significa que el rango sería 2.

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00:03:33,689 --> 00:03:41,310
¿Qué ocurre? Pues que en general, a ojo, hay muchas veces que mirar a ver si una fila es combinación lineal y el resto no es sencillo.

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00:03:41,530 --> 00:03:46,490
¿Cómo se puede hacer? Bueno, pues va a haber una manera por determinantes que la veremos en el siguiente tema,

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00:03:46,909 --> 00:03:52,210
pero en este también podemos calcular el rango con el conocido método de Gauss-Jordan.

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00:03:52,569 --> 00:03:56,710
¿En qué consiste? Bueno, pues básicamente en hacer ceros por debajo de la diagonal.

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00:03:56,710 --> 00:04:05,189
Es decir, mediante combinaciones lineales yo puedo obtener que la primera columna sea un término distinto de cero y los demás de abajo ceros.

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00:04:05,590 --> 00:04:10,689
Después seguiría por la siguiente fila debajo de la diagonal todos ceros y así sucesivamente.

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00:04:11,449 --> 00:04:15,430
Al final lo que voy a obtener es una matriz con una serie de filas de ceros.

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00:04:15,530 --> 00:04:22,069
Esas filas me las puedo quitar del medio y el rango va a ser el número de filas que no sean todos ceros.

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00:04:22,069 --> 00:04:37,230
Y así se puede calcular. Vamos a ver un ejemplo de una matriz que, bueno, va a depender de sus coeficientes de un parámetro. Es una matriz 3x4 y vamos a calcular cuándo el rango va a ser 3, cuándo va a ser 2 y si puede ser 1 o no. Vamos a ello.

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00:04:37,230 --> 00:04:56,889
Bien, en el ejercicio nos piden calcular el rango de esta matriz según los valores del parámetro m. Como la matriz tiene tres filas, el rango como máximo será tres. Así que ya podemos poner que...

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00:04:56,889 --> 00:05:08,769
Bien, ¿y ahora qué es lo que hay que hacer? Pues lo que hay que hacer es hacer ceros de manera escalonada y mirar a ver al final cuántas filas de ceros nos salen. Es decir, vamos a hacer ceros aquí.

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00:05:09,889 --> 00:05:16,970
utilizando la forma de Gauss-Jordan, que consiste en sumar y restar múltiplos de una fila a las demás.

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00:05:17,529 --> 00:05:20,189
Hacemos ceros ahí y veremos a ver cuántas filas nos salen.

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00:05:20,649 --> 00:05:21,230
Comenzamos.

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00:05:21,790 --> 00:05:25,350
Para hacer un cero aquí, podemos coger a esta fila y restarle la primera.

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00:05:37,589 --> 00:05:43,629
Y para hacer cero aquí, podemos coger a esta fila y restarle el doble de la primera.

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00:05:51,579 --> 00:05:53,240
Bien, ya casi hemos acabado.

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00:05:53,579 --> 00:05:58,100
¿Por qué? Porque se nos ha producido aquí otro cero, así que ya tenemos los tres ceros que buscábamos.

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00:05:58,579 --> 00:06:06,019
Y ahora tenemos que ver, como hay dos filas distintas de 0, necesariamente el rango como mínimo será 2.

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00:06:10,040 --> 00:06:12,120
Y ahora, ¿cuándo va a ser el rango 3?

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00:06:12,500 --> 00:06:21,579
Pues el rango va a ser 3 cuando haya toda una fila de ceros y esto podamos, digamos que, eliminarlo porque no va a aportar al rango.

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00:06:21,720 --> 00:06:27,920
Es decir, cuando haya ahí 0, 0, 0, 0, pues vamos a resolver el sistema.

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00:06:36,220 --> 00:06:42,540
Es decir, que para que sea 0 toda esta fila, necesariamente el valor de m tiene que ser 3.

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00:06:48,209 --> 00:06:57,290
Si m es igual a 3, aquí podemos comprobar que sale una fila de ceros o comprobaríamos que esta fila es igual a la mitad de la tercera.

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00:06:58,069 --> 00:07:00,209
Sustituyendo, podríamos comprobar lo que queda.

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00:07:00,730 --> 00:07:06,970
Aquí el valor de m igual a 3 os lo recomiendo que sustituyáis y miréis a ver qué matriz queda.

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00:07:06,970 --> 00:07:10,370
si la m no es distinta de 3

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00:07:10,370 --> 00:07:14,610
aquí va a haber una fila que no es 0 del todo

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00:07:14,610 --> 00:07:16,790
por lo tanto va a haber 3 filas independientes

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00:07:16,790 --> 00:07:18,829
y por lo tanto el rango será 3

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00:07:18,829 --> 00:07:21,930
muy bien, hemos terminado de calcular este rango

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00:07:21,930 --> 00:07:25,209
va a ser algo esencial al aprender a calcular rangos

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00:07:25,209 --> 00:07:26,949
de una manera muy segura

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00:07:26,949 --> 00:07:30,949
así que por favor estudiar bien este concepto y este tipo de ejercicios

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00:07:30,949 --> 00:07:33,050
nos vemos en el siguiente vídeo, hasta luego