1
00:00:00,750 --> 00:00:07,830
Hola chicos, hola chicas. Vamos a estudiar en este vídeo la derivabilidad de una función a trozos.

2
00:00:07,929 --> 00:00:10,929
Vamos a ver cómo se estudia y por qué lo hacemos así.

3
00:00:11,390 --> 00:00:17,609
Entonces, en este caso, vamos a estudiar la derivabilidad de esta función que tenéis ahí escrita,

4
00:00:17,730 --> 00:00:19,809
que es una función a trozos, con dos trozos.

5
00:00:19,929 --> 00:00:24,030
Veis que cada uno de los trozos es un polinomio de segundo grado.

6
00:00:24,710 --> 00:00:28,789
Su representación gráfica será entonces un trozo de parábola.

7
00:00:28,789 --> 00:00:32,810
La representación gráfica de la función es lo que tenéis a la derecha.

8
00:00:34,570 --> 00:00:43,770
Entonces, como cada trozo es un polinomio de segundo grado, sabemos que los polinomios son funciones que son continuas y derivables en todos sus puntos,

9
00:00:44,590 --> 00:00:55,490
entonces la función va a ser continua y derivable en todos sus puntos, excepto quizá en el punto 2, que es donde estoy cambiando de una función a otra, en el punto de ruptura, en x igual a 2.

10
00:00:55,490 --> 00:01:00,609
Ese es el punto que tenemos que estudiar porque es el punto que puede ser un poco problemático.

11
00:01:00,789 --> 00:01:05,769
En el resto de puntos la función seguro que va a ser continua y derivable.

12
00:01:06,709 --> 00:01:11,650
Entonces lo primero que tenemos que averiguar es si la función es continua en x igual a 2

13
00:01:11,650 --> 00:01:17,390
porque si en ese punto la función no fuera continua pues seguro que no va a ser derivable

14
00:01:17,390 --> 00:01:19,129
y yo no habría que seguir haciendo nada más.

15
00:01:19,129 --> 00:01:26,890
En la gráfica veis que efectivamente en x igual a 2 la función es continua, ¿cómo se haría esto sin representar la gráfica?

16
00:01:27,010 --> 00:01:36,829
Bueno, yo voy a dar por supuesto que esto ya lo sabéis hacer, lo que tendríamos que hacer es calcular el límite de la función cuando x tiende a 2 por la derecha y por la izquierda

17
00:01:36,829 --> 00:01:48,849
y comprobar que esos dos límites son iguales. Entiendo que ya si estamos estudiando la derivabilidad, ya hemos estudiado previamente cómo determinar la continuidad en un punto y que esto ya lo sabemos hacer.

18
00:01:50,129 --> 00:01:55,150
Entonces, ya hemos determinado que la función es continua en 2, ¿cómo veríamos si la función es derivable?

19
00:01:55,250 --> 00:02:01,189
Porque fijaros que en el 2 es un punto raro, ¿no? La función, la gráfica de la función tiene ahí como una especie de pico, ¿no?

20
00:02:01,189 --> 00:02:03,109
Vamos a ver si la función es derivable.

21
00:02:03,549 --> 00:02:06,609
Para hacer esto, en principio, ¿estrictamente qué habría que hacer?

22
00:02:06,689 --> 00:02:09,610
Pues habría que aplicar la definición de derivada, ¿vale?

23
00:02:09,610 --> 00:02:26,210
Es decir, tendríamos que ver si el límite cuando h tiende a 0 de f de 2 más h menos f de 2 partido por h, que sería la definición de la derivada en 2, si este límite existe y da un número, ¿vale?

24
00:02:26,389 --> 00:02:35,330
Y fijaros, para ver si este límite existe, en este caso tendríamos que hacer ese límite por la derecha y por la izquierda, calcular los dos límites laterales, ¿vale?

25
00:02:35,330 --> 00:02:39,330
Porque la función por la derecha y por la izquierda del 2, pues son distintas, ¿vale?

26
00:02:39,330 --> 00:02:42,750
Entonces tendríamos que calcular esos dos límites laterales.

27
00:02:42,990 --> 00:02:47,129
En principio, esto es un límite que suele ser engorroso, ¿vale?

28
00:02:47,150 --> 00:02:53,509
Entonces lo que vamos a ver es cómo hacemos esto de otra manera para no tener que calcular todo el rato este límite

29
00:02:53,509 --> 00:02:55,469
y vamos a ver por qué lo podemos hacer así.

30
00:02:56,629 --> 00:03:02,949
Entonces, para ello vamos a recordar brevemente qué significa la derivada de una función en un punto, ¿vale?

31
00:03:02,949 --> 00:03:10,669
La derivada de una función en un punto es la pendiente que tiene la recta tangente a la función en ese punto, ¿vale?

32
00:03:10,669 --> 00:03:12,870
Y esta definición sí que es importante.

33
00:03:13,289 --> 00:03:17,830
Entonces, por ejemplo, si yo quisiera ver la derivada de esta función en el 1,

34
00:03:17,990 --> 00:03:21,669
fijaros que aquí ya tengo el punto marcado en x igual a 1,

35
00:03:21,849 --> 00:03:25,710
pues fijaros que tendría que hacer, dibujar su tangente, ¿vale?

36
00:03:25,750 --> 00:03:29,250
La tangente en x igual a 1 y ver cuál es la pendiente de esa tangente.

37
00:03:29,250 --> 00:03:47,590
Aquí vemos que el número que multiplica la x es 0,5 o aquí que lo tenemos representado en este triangulito la pendiente también vemos que la pendiente es 0,5 y eso significa que la derivada de esta función en x igual a 1 sería 0,5.

38
00:03:47,590 --> 00:04:16,870
Si hiciéramos eso analíticamente, tendríamos que calcular la derivada de la función en el 1, entonces para eso voy a derivar el tramo que le corresponde al 1, que sería el primero, tendríamos que hacer la derivada de esta función y evaluarla en x igual a 1, si la derivamos, esto nos daría un cuarto por 2x y la derivada de 1 sería 0, un cuarto por 2 es un medio, nos daría un medio de x,

39
00:04:16,870 --> 00:04:25,449
Todo esto evaluado en x igual a 1, ¿vale? Y si yo un medio por x sustituyo x igual a 1, pues me queda un medio.

40
00:04:25,949 --> 00:04:31,709
¿Veis que es lo que nos sale? Nos sale que la derivada es un medio, 0,5, que es lo mismo, ¿vale?

41
00:04:32,490 --> 00:04:40,149
Entonces, lo importante es que la derivada de la función en ese punto viene dado por la pendiente de esta recta.

42
00:04:40,850 --> 00:04:46,170
Vale, ¿qué pasa si yo intento dibujar la tangente en el punto x igual a 2?

43
00:04:46,250 --> 00:04:48,529
Pues veis que es difícil porque es un punto raro, ¿no?

44
00:04:49,110 --> 00:04:53,670
Pero mirad, fijad, lo que ocurriría si yo cojo el punto A, ¿vale?

45
00:04:53,750 --> 00:04:57,009
Y lo voy moviendo hacia el 2, hacia x igual a 2, ¿vale?

46
00:04:57,069 --> 00:05:01,230
Fijaros, ahora x vale 1,47, lo voy acercando poco a poco.

47
00:05:01,910 --> 00:05:05,550
Fijaros que en este caso la pendiente de la tangente va aumentando, ¿vale?

48
00:05:05,550 --> 00:05:08,350
Aquí valdría ya 8,9, ¿vale?

49
00:05:08,350 --> 00:05:17,790
Si lo voy acercando más, pues fijaros, aquí ya vale 0,94 cuando x vale 1,89, ¿vale?

50
00:05:17,889 --> 00:05:27,829
Fijaros, entonces, si yo lo voy acercando al 2, al 2, al 2, pues la pendiente de la tangente, es decir, la derivada en ese punto, se iría acercando a la derivada en 2.

51
00:05:30,329 --> 00:05:38,129
Cuanto más cerca esté la x del 2, más se parecerá esta pendiente a lo que valdría la derivada en 2.

52
00:05:38,129 --> 00:05:45,949
pero fijaros, me estoy acercando por la izquierda, ¿vale? Entonces, esto sería la derivada por la izquierda, es decir, la que me daría ese límite

53
00:05:45,949 --> 00:05:53,250
que hemos dicho que no íbamos a calcular cuando h tendría cero por la izquierda, ¿vale? Esto sería la derivada por la izquierda.

54
00:05:53,829 --> 00:06:02,750
Fijaros, si yo este trozo de la función por la izquierda, ¿vale? Este trozo de x igual a 2 lo dibujara del todo, es decir,

55
00:06:02,750 --> 00:06:27,370
Como si la función no fuera una función a trozos, sino que la función fuera sólo el primer trozo, fijaros, lo que me quedaría es la gráfica continuaría por aquí y si yo calcular ahora la pendiente en el 2, que es lo que está dibujado con una línea verde, lo que está dibujado con una línea verde es la tangente de esta gráfica, de esta parábola en x igual a 2.

56
00:06:27,370 --> 00:06:33,209
Pues fijaros, lo que me sale es que la tangente es y igual a x, ¿vale?

57
00:06:33,310 --> 00:06:37,709
Y por tanto, la pendiente en ese punto es 1, ¿vale?

58
00:06:37,790 --> 00:06:40,810
Fijaros, esto es a lo que entendería si yo dibujo las dos cosas.

59
00:06:41,430 --> 00:06:44,930
Fijaros que cuando el punto se acerca al 2, ¿vale?

60
00:06:45,050 --> 00:06:48,769
La recta roja se acerca a la verde, ¿vale?

61
00:06:48,990 --> 00:06:53,769
Cuanto más cerca está la x del 2, ¿vale?

62
00:06:53,769 --> 00:06:58,829
Ahora vale 1,95 más la recta roja se acerca a la verde, ¿vale?

63
00:06:58,889 --> 00:07:06,709
Eso quiere decir que la recta verde me da el límite de la recta roja cuando x tiende a 2 por la izquierda, ¿vale?

64
00:07:07,089 --> 00:07:11,769
Entonces, esto sería la derivada por la izquierda.

65
00:07:13,910 --> 00:07:15,709
Vale, ¿qué ocurriría por la derecha?

66
00:07:15,850 --> 00:07:19,790
Mirad, ¿qué ocurriría si yo pongo el punto ahora a la derecha del 2 en vez de la izquierda?

67
00:07:19,850 --> 00:07:22,410
Pues veis que la recta tangente ha cambiado.

68
00:07:22,410 --> 00:07:27,829
Fijaros, y si yo me acerco ahora al 2 pero por la derecha, ¿vale?

69
00:07:28,069 --> 00:07:32,850
Veis que la pendiente de la tangente, en este caso me sale negativa, ¿vale?

70
00:07:32,930 --> 00:07:34,810
Y se va acercando, parece a 0,5

71
00:07:34,810 --> 00:07:38,769
Fijaros que si yo pongo justo el punto en el 2, la recta tangente desaparece

72
00:07:38,769 --> 00:07:39,589
Ahora veremos por qué

73
00:07:39,589 --> 00:07:45,649
¿Vale? Entonces, fijaros, ¿a quién se parece cada vez más esta tangente cuando yo me acerco al 2?

74
00:07:46,149 --> 00:07:51,990
Pues, fijaros, si yo dibujara toda la parábola correspondiente a ese trozo, ¿vale?

75
00:07:52,410 --> 00:08:05,790
Pues la recta tangente, si yo la voy moviendo, se parece más a la verde, que es exactamente la pendiente de la recta tangente en x igual a 2 de la parábola completa, ¿vale?

76
00:08:05,790 --> 00:08:26,009
Ahora es que cada vez se parece más. ¿Y esto qué sería? Pues esta recta tangente, la pendiente de esta recta tangente, la verde, sería la derivada de esa función en x igual a 2, porque sería la tangente de esa parábola en x igual a 2.

77
00:08:26,009 --> 00:08:34,750
Vale, entonces, en definitiva, a efectos prácticos, ¿qué es lo que hago para calcular si la función es derivable en ese punto?

78
00:08:34,750 --> 00:08:42,590
Pues, mirad, yo voy a calcular la derivada de cada trozo, ¿vale? De cada trozo de esa función

79
00:08:42,590 --> 00:08:51,990
Que ya hemos visto que es un medio de x si x es menor que 2, ¿vale?

80
00:08:51,990 --> 00:09:02,309
Y en este caso, fijaros, me quedaría menos un octavo por dos la derivada, que sería menos un cuarto de x, más la derivada de una constante, que es cero, ¿no?

81
00:09:02,710 --> 00:09:10,429
Si x es mayor que dos, ¿vale? ¿Por qué pongo mayor y no pongo el igual? Porque en dos todavía no sé si la función es derivable o no, ¿vale?

82
00:09:10,429 --> 00:09:12,690
Hasta que no sepa si es derivable no voy a poner el igual.

83
00:09:14,210 --> 00:09:20,590
Fijaros, esta función, ¿qué me da? Pues me da lo que vale la derivada de esta función a trozos en puntos regulares.

84
00:09:20,590 --> 00:09:30,690
Por ejemplo, si yo pusiera aquí el x igual a 3, ¿vale? Pues me daría la pendiente de la recta en 3, ¿vale? Sustituyendo esta función en 3, ¿vale?

85
00:09:30,830 --> 00:09:39,289
Es decir, me está dando la recta, la pendiente de todas estas rectas que estoy dibujando aquí, ¿vale? Sustituyendo la x correspondiente.

86
00:09:39,870 --> 00:09:47,490
Esta función me da la pendiente de todas estas rectas, ¿vale? Entonces, para calcular la derivada justo en el 2, ¿qué tengo que hacer?

87
00:09:47,490 --> 00:09:54,950
Pues mirad, tengo que tomar, es decir, es como si yo esta recta la estuviera acercando cada vez más a 2, ¿vale?

88
00:09:55,009 --> 00:09:56,909
Y veo la pendiente a que tiende.

89
00:09:57,730 --> 00:10:07,850
Entonces, lo que tengo que hacer es el límite, es decir, perdón, antes voy a calcular la derivada por la derecha, ¿vale?

90
00:10:07,970 --> 00:10:14,470
Como si fuera, perdón, por la izquierda, y lo voy a escribir así, la derivada por la izquierda en el 2, ¿vale?

91
00:10:14,470 --> 00:10:22,490
Y lo voy a hacer como el límite cuando x tiende a 2 de esta función que acabo de calcular, ¿vale?

92
00:10:22,789 --> 00:10:26,409
De la derivada de la función a trozos, ¿vale?

93
00:10:27,070 --> 00:10:34,090
Entonces fijaros, como los trozos son funciones continuas, lo único que tengo que hacer es sustituir, ¿no?

94
00:10:34,649 --> 00:10:42,429
Me quedaría un medio por 2 y esto sale 1, ¿vale?

95
00:10:42,429 --> 00:10:49,389
Y esto sería la derivada por la izquierda, que fijaros que es lo que nos sale cuando yo dibujo esta recta verde, ¿vale?

96
00:10:49,529 --> 00:10:59,929
Voy a quitar esto para... esta sería, veis que la tangente aquí en 2 me sale que tiene pendiente 1, es la recta igual a x, esa recta tiene pendiente 1, ¿vale?

97
00:10:59,929 --> 00:11:12,769
Y ahora voy a hacer la derivada por la derecha, ¿vale? Entonces aquí calculo el límite cuando x tiende a 2 de la función derivada que acabo de calcular.

98
00:11:12,769 --> 00:11:18,429
En este caso me saldría un cuarto por dos, que sale menos un medio.

99
00:11:18,669 --> 00:11:24,210
Y fijaros que eso es lo mismo que me da la pendiente de la recta tangente,

100
00:11:24,330 --> 00:11:30,049
si yo dibujara la curva entera y calculara la pendiente de la tangente en dos, ¿vale?

101
00:11:30,690 --> 00:11:36,850
Esta recta no está puesto, pero vamos, se puede ver fácilmente que tiene pendiente un medio.

102
00:11:37,110 --> 00:11:41,230
Mirad, aquí cuando la x aumenta dos, la y disminuye uno, ¿no?

103
00:11:41,230 --> 00:11:49,330
Entonces esa recta tiene pendiente un medio, menos un medio, perdón, es decreciente, tiene pendiente negativa, ¿no?

104
00:11:49,330 --> 00:11:52,590
La x aumenta 2, la y disminuye 1, tiene pendiente menos un medio.

105
00:11:53,269 --> 00:12:04,850
Entonces, en definitiva, en este caso para calcular las derivadas laterales no hace falta que calculeis los límites usando la definición de derivada que hemos visto al principio,

106
00:12:04,850 --> 00:12:14,269
sino que podemos calcular los límites laterales simplemente derivando cada uno de los trozos de la función, ¿vale?

107
00:12:14,429 --> 00:12:24,429
Nos imaginamos que tenemos la función entera y vemos cuánto vale la derivada de esa función en el punto de cada uno de los trozos en el punto correspondiente, ¿vale?

108
00:12:24,529 --> 00:12:32,149
Para que sea formalmente mejor, fijaros, como no sabemos si la derivada en 2 existe, pues escribimos el límite.

109
00:12:32,149 --> 00:12:43,450
En este caso, fijaros, como las derivadas laterales no coinciden, estos números me saldría lo mismo que si hubiera utilizado la definición de derivada y hubiera calculado límites laterales.

110
00:12:43,669 --> 00:12:49,850
En este caso, las derivadas laterales no coinciden, pues la función no es derivable en ese punto, ¿vale?

111
00:12:49,909 --> 00:13:01,029
Para que la función sea derivable en ese punto, lo que tiene que ocurrir en este caso en x igual a 2, lo que tiene que ocurrir es que estas dos derivadas laterales me salgan el mismo número, ¿vale?

112
00:13:01,029 --> 00:13:12,029
Es decir, que las dos tangentes laterales, ¿vale? Fijaros, cuando yo me acerco, a ver, cuando yo me acerco por aquí por la derecha y por aquí por la izquierda,

113
00:13:12,149 --> 00:13:17,870
que esas dos tangentes rojas tendieran a ser la misma, ¿vale? Y las dos tuvieran la misma pendiente.

114
00:13:17,970 --> 00:13:25,250
Aquí está claro que por un lado me sale una y por otro lado me sale otra distinta, de hecho por un lado es creciente y por otro es creciente, ¿vale?

115
00:13:25,250 --> 00:13:31,970
Con lo cual los límites laterales, las derivadas laterales no van a poder ser las mismas, ¿vale?

116
00:13:32,029 --> 00:13:36,929
Cuando este punto en vez de ser un pico es un punto suave, ¿vale?

117
00:13:36,990 --> 00:13:43,289
Donde las dos tangentes tienden a ser la misma, entonces en ese caso es cuando la función es derivable.

118
00:13:43,990 --> 00:13:49,490
Bueno, espero que hayáis entendido algo y el vídeo os haya servido un poco para saber para qué,

119
00:13:49,490 --> 00:13:55,590
por qué calculamos así la derivabilidad de una función a trozos en el punto de ruptura.

120
00:13:56,370 --> 00:13:56,909
¡Hasta luego!