1
00:00:00,500 --> 00:00:05,259
Hola, vamos a ver este ejercicio. Me piden primero que calcule la posición relativa de la recta R

2
00:00:05,259 --> 00:00:10,480
que viene dada implícita y el plano pi, x menos y igual a cero, ¿vale? En forma general.

3
00:00:11,099 --> 00:00:17,019
Vale, pues a ver, para calcular la posición relativa, ya que tenemos la recta como dos planos,

4
00:00:17,359 --> 00:00:21,760
vamos a estudiar el sistema formado por los tres planos, ¿vale?

5
00:00:22,620 --> 00:00:24,460
Calculamos la matriz de coeficientes.

6
00:00:24,460 --> 00:00:30,379
del primer plano sería menos 1, 1, 0

7
00:00:30,379 --> 00:00:34,159
del segundo plano sería menos 2

8
00:00:34,159 --> 00:00:36,960
pongo siempre primero x y z

9
00:00:36,960 --> 00:00:40,340
aunque nos lo pongan aquí aunque estén cambiadas

10
00:00:40,340 --> 00:00:42,399
menos 2, 0, 1

11
00:00:42,399 --> 00:00:48,659
y del plano pi sería 1, menos 1, 0

12
00:00:48,659 --> 00:00:50,780
1, menos 1, 0

13
00:00:50,780 --> 00:00:53,479
esta es mi matriz de coeficientes

14
00:00:53,479 --> 00:00:56,840
bueno, lo podría haber puesto directamente como una matriz ampliada

15
00:00:56,840 --> 00:01:01,479
para no tener que escribir dos veces, ¿vale? Pero bueno, mi matriz ampliada sería exactamente

16
00:01:01,479 --> 00:01:13,430
la misma, pero con los términos independientes, que serían 1, 0, 0. ¿Vale? Esta sería mi

17
00:01:13,430 --> 00:01:18,290
matriz ampliada. Vamos a estudiar los rangos. A ver, ¿cuánto es el determinante de C?

18
00:01:18,450 --> 00:01:23,890
Pues a ver, el determinante de C es 0 porque se ve que la primera fila y la tercera son

19
00:01:23,890 --> 00:01:28,310
las mismas pero opuestas, ¿vale? Por lo tanto, ni me molesto por las propiedades de los determinantes

20
00:01:28,310 --> 00:01:35,650
es 0. Y tenemos, por ejemplo, aquí este menor de orden 2. Se ve claramente que es distinto

21
00:01:35,650 --> 00:01:45,150
de 0. Es 1 menos 0, 1. Por lo tanto, el rango de C es 2. Lo voy a calcular por rangos. Voy

22
00:01:45,150 --> 00:01:50,810
a calcular también el rango de A, aunque se vería claramente que el primer plano de

23
00:01:50,810 --> 00:01:57,209
que forma la recta R y el plano pi son paralelos porque tienen los coeficientes de los vectores

24
00:01:58,310 --> 00:02:22,090
pero no la D, no el término independiente, eso significa que son paralelos, como los otros dos planos se cortan en la recta, lo que significaría, ya lo tendríamos, es que la recta y el plano son paralelos, pero bueno, lo calcularíamos también, calcularíamos un menor, yo me voy a coger el último que tiene muchos ceros y que se ve claramente que es distinto de cero.

25
00:02:22,090 --> 00:02:28,909
vale, si yo lo desarrollo me queda 0, 0, 0, más 1, 0, 0

26
00:02:28,909 --> 00:02:34,349
distinto de 0 lo que significa que el rango de la ampliada es 3

27
00:02:34,349 --> 00:02:39,310
por lo tanto como es distinto sabemos que es un sistema incompatible

28
00:02:39,310 --> 00:02:46,969
y lo que os he dicho, se veía, ojo, que el primer plano de la recta

29
00:02:46,969 --> 00:02:48,770
con el plano pi son paralelos

30
00:02:48,770 --> 00:02:52,909
Por lo tanto lo que significa es que R es paralelo a pi.

31
00:02:54,490 --> 00:03:00,129
El apartado B me está pidiendo un plano perpendicular a pi que contenga R.

32
00:03:00,610 --> 00:03:10,770
A ver, si yo quiero calcular el plano, vamos a llamarle pi prima, que es perpendicular a pi y queremos además que R esté contenida en pi prima.

33
00:03:11,409 --> 00:03:17,229
Pues a ver, ¿qué significa que pi prima sea ortogonal a pi, que sea perpendicular?

34
00:03:17,229 --> 00:03:35,889
Pues que el vector normal de pi es un vector director de pi prima, ¿vale? Es decir, el normal de pi es un vector director, o sea, es director de pi prima, ¿vale?

35
00:03:35,889 --> 00:03:47,439
Luego este sería nuestro primer vector director, el n de pi que es 1, 1, menos 1, 0.

36
00:03:48,000 --> 00:03:52,439
Este sería uno de los dos vectores directores que necesitamos.

37
00:03:52,900 --> 00:03:55,539
El otro vector director, pues como r está contenida en pi,

38
00:03:56,060 --> 00:03:58,979
pues lo único que tendríamos que hacer es, vamos a llamarle u por ejemplo,

39
00:03:59,580 --> 00:04:07,159
el otro vector director sería el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos.

40
00:04:07,159 --> 00:04:10,879
es decir, del primer plano era el menos 1, 1, 0

41
00:04:10,879 --> 00:04:12,840
menos 1, 1, 0

42
00:04:12,840 --> 00:04:15,539
y del segundo menos 2, 0, 1

43
00:04:15,539 --> 00:04:21,139
calculo y que tendríamos

44
00:04:21,139 --> 00:04:23,620
el primero con el i sería 1

45
00:04:23,620 --> 00:04:28,899
con la j sería menos 1, es decir, 1 también

46
00:04:28,899 --> 00:04:32,779
y con la k sería 2

47
00:04:32,779 --> 00:04:36,639
vale, pues ya tenemos los dos vectores directores

48
00:04:36,639 --> 00:04:38,139
ahora me falta calcular un punto

49
00:04:38,139 --> 00:04:40,459
pues calculamos un punto de la recta R

50
00:04:40,459 --> 00:04:49,060
¿Vale? Para calcular el punto, vamos a llamarle punto A por ejemplo, lo que hacemos es despejar las ecuaciones

51
00:04:49,060 --> 00:04:56,300
como tanto la primera ecuación como la segunda tienen X, pues lo voy a dejar todo en función de la X

52
00:04:56,300 --> 00:05:07,279
y pongo que la Y es igual a 1 más X, la Z es igual a 2X y por lo tanto el valor más fácil si la X es 0

53
00:05:07,279 --> 00:05:16,899
es que la y valga 1 y la z valga 0 y ahora ya tengo dos vectores directores y tengo un punto

54
00:05:16,899 --> 00:05:26,399
pues el plano pi prima que busco es el determinante x menos el punto que es 0 y menos 1 que es el punto

55
00:05:26,399 --> 00:05:36,920
z menos el punto que es 0 y ahora los dos vectores 1 menos 1 es 0 y el segundo vector 1 1 2

56
00:05:36,920 --> 00:05:40,459
Y es este determinante igualado a 0

57
00:05:40,459 --> 00:05:43,620
Desarrollamos y esto me queda

58
00:05:43,620 --> 00:05:49,740
Menos 2X más Z más 0

59
00:05:49,740 --> 00:05:52,519
Menos con el menos me queda más Z

60
00:05:52,519 --> 00:05:57,660
Menos 2 por Y menos 2

61
00:05:57,660 --> 00:05:59,319
Es decir, menos 2Y más 2

62
00:05:59,319 --> 00:06:01,519
Más 0

63
00:06:01,519 --> 00:06:02,800
Y esto sería 0

64
00:06:02,800 --> 00:06:04,439
Espero no haberme equivocado, ¿vale?

65
00:06:04,459 --> 00:06:06,139
Porque como lo hago así un poco rápido

66
00:06:06,139 --> 00:06:28,019
Sabéis que tiendo a equivocarme muy fácilmente. Menos 2x menos 2y más 2z más 2 igual a 0, que podríamos simplificar todo entre, lo voy a simplificar entre menos 2 y me quedaría x más y menos z igual a 1.

67
00:06:28,019 --> 00:06:33,879
Esta sería la ecuación del plano pi' que estoy buscando.

68
00:06:35,800 --> 00:06:36,759
Y ya estaría el ejercicio.