1
00:00:02,910 --> 00:00:06,090
vamos a dedicar este tema de las aplicaciones de la

2
00:00:06,090 --> 00:00:10,020
derivada al estudio del crecimiento los extremos locales

3
00:00:11,220 --> 00:00:13,260
el estudio de la convexidad de los puntos de inflexión

4
00:00:13,950 --> 00:00:18,510
dada una función igual a x y su gráfica vamos

5
00:00:18,510 --> 00:00:21,690
a usar una idea de forma recurrente en todos nuestros

6
00:00:21,690 --> 00:00:26,460
razonamientos sabemos que en cada uno de los puntos de

7
00:00:26,462 --> 00:00:30,300
nuestra función podemos trazar las rectas tangentes

8
00:00:31,260 --> 00:00:35,670
gentes envuelven la gráfica de nuestra función pero a partir

9
00:00:35,670 --> 00:00:41,220
de estas rectas tangentes podemos obtener de forma geométrica sin

10
00:00:41,220 --> 00:00:45,360
ningún cálculo un valor aproximado de la derivada por ejemplo

11
00:00:45,360 --> 00:00:46,140
en este punto

12
00:00:47,550 --> 00:00:50,790
si miramos la pendiente de esta recta a tres unidades

13
00:00:51,060 --> 00:00:55,109
que avanza sube dos podemos decir que la pendiente es

14
00:00:55,109 --> 00:00:55,800
dos tercios

15
00:00:57,090 --> 00:00:57,540
además

16
00:00:59,070 --> 00:01:02,460
una pendiente positiva se corresponde con el hecho de que

17
00:01:02,460 --> 00:01:03,990
nuestra función crece

18
00:01:06,240 --> 00:01:08,760
si vamos a otro punto de la función donde la

19
00:01:08,760 --> 00:01:13,170
función de crece podemos observar cómo se va a corresponder

20
00:01:13,590 --> 00:01:15,750
con una pendiente negativa

21
00:01:17,250 --> 00:01:20,250
por otro lado existirán puntos donde la derivada valga cero

22
00:01:21,420 --> 00:01:26,550
y esos puntos se corresponden con extremos máximos o mínimos

23
00:01:26,550 --> 00:01:27,030
locales

24
00:01:29,370 --> 00:01:36,570
esta descripción intuitiva geométrica vamos a poderla caracterizar en función

25
00:01:37,080 --> 00:01:38,580
de la derivada del siguiente modo

26
00:01:40,050 --> 00:01:43,770
vamos a poder decir cuando nuestra función crece y cuando

27
00:01:43,770 --> 00:01:48,270
decrece únicamente estudiando el signo de la derivada primera por

28
00:01:48,270 --> 00:01:49,890
lo tanto tendremos

29
00:01:51,120 --> 00:01:55,740
que si nuestra función derivada es mayor que cero en

30
00:01:55,740 --> 00:02:00,150
todos los puntos donde determinado intervalo ave la función será

31
00:02:00,150 --> 00:02:02,220
creciente si por el contrario

32
00:02:03,900 --> 00:02:06,540
lo que tenemos es que ese prima de x es

33
00:02:06,540 --> 00:02:10,590
menor que cero en todos los puntos x un determinado

34
00:02:10,590 --> 00:02:15,030
intervalo a b c nuestra función será de creciente

35
00:02:17,940 --> 00:02:21,480
vamos a aplicar lo anterior a un ejemplo concreto si

36
00:02:21,480 --> 00:02:25,530
tomamos esta función efe de equis igual x menos x

37
00:02:25,530 --> 00:02:26,040
cuadrado

38
00:02:27,330 --> 00:02:30,420
obtenemos la derivada derivando a un polinomio

39
00:02:31,560 --> 00:02:37,260
obtenemos que para estudiar el crecimiento y el crecimiento deberemos

40
00:02:37,260 --> 00:02:40,830
estudiar el signo de esta expresión es decir por un

41
00:02:40,830 --> 00:02:44,310
lado cuando la expresión es mayor que cero cuando es

42
00:02:44,940 --> 00:02:49,590
menor que cero la solución de estas inecuaciones las regiones

43
00:02:49,590 --> 00:02:51,600
donde nuestra función crece y decrece

44
00:02:53,340 --> 00:02:54,960
estas ecuaciones se pueden resolver

45
00:02:56,430 --> 00:02:59,310
resolviendo en primer lugar la ecuación esta ecuación de segundo

46
00:02:59,310 --> 00:03:03,930
grado incompleta nos da como soluciones cero y dos y

47
00:03:03,930 --> 00:03:05,610
estos valores los colocamos en la recta real

48
00:03:07,380 --> 00:03:10,890
estos valores junto con otros puntos como son los puntos

49
00:03:10,890 --> 00:03:15,690
de discontinuidad de la función nos dividen la recta real

50
00:03:15,690 --> 00:03:19,860
en regiones donde la derivada puede cambiar de signo

51
00:03:21,090 --> 00:03:23,820
para estudiar el signo de la derivada en cada una

52
00:03:23,820 --> 00:03:27,750
de estas regiones damos valores valor a la izquierda de

53
00:03:27,750 --> 00:03:32,220
cero ocho entre cero y dos y otro entre dos

54
00:03:32,220 --> 00:03:32,820
e infinito

55
00:03:34,170 --> 00:03:37,320
podemos tomar al menos uno el uno y el tres

56
00:03:37,500 --> 00:03:40,290
que sustituir en el valor de la derivada

57
00:03:42,060 --> 00:03:45,960
nos da un signo positivo en la primera región negativo

58
00:03:45,960 --> 00:03:50,190
en la segunda y positivo una tercera por lo tanto

59
00:03:50,490 --> 00:03:53,880
esta información de la primera se traduce en que la

60
00:03:53,880 --> 00:03:59,220
función primero crece luego de crece y luego crece

61
00:04:00,570 --> 00:04:05,100
tenemos esbozando el gráfico de la función podríamos hacerlo con

62
00:04:05,490 --> 00:04:06,390
cualquier software

63
00:04:08,190 --> 00:04:10,470
que nuestra función va a tener

64
00:04:11,797 --> 00:04:13,110
siguiente aspecto aproximado

65
00:04:18,150 --> 00:04:22,200
a partir de la tabla que describe el crecimiento y

66
00:04:22,200 --> 00:04:23,700
de crecimiento de nuestras funciones

67
00:04:24,720 --> 00:04:26,880
podemos ahora determinar los extremos locales

68
00:04:28,200 --> 00:04:31,890
si intentamos trasladar a mano alzada una función que responda

69
00:04:32,160 --> 00:04:35,760
a ese comportamiento tenemos que la función grecia extranjero el

70
00:04:36,480 --> 00:04:39,180
te crece hasta el dos para volver a crecer de

71
00:04:39,180 --> 00:04:39,510
nuevo

72
00:04:41,820 --> 00:04:44,340
resulta evidente que en el cero alcanza

73
00:04:45,480 --> 00:04:47,670
un máximo local y en el dos un mínimo local

74
00:04:48,510 --> 00:04:51,030
como corresponde al gráfico

75
00:04:52,410 --> 00:04:53,730
que teníamos de nuestra función

76
00:04:57,000 --> 00:05:00,780
esta forma de obtener los extremos se puede sistematizar en

77
00:05:00,780 --> 00:05:03,810
un procedimiento que va a costar de dos pasos

78
00:05:05,100 --> 00:05:05,820
en primer lugar

79
00:05:07,020 --> 00:05:08,310
igualaremos la derivada cero

80
00:05:09,509 --> 00:05:11,460
esta forma obtendremos los puntos críticos

81
00:05:12,780 --> 00:05:16,200
los puntos críticos serán candidatos a extremo

82
00:05:17,340 --> 00:05:21,960
algunos acabarán siendo extremos y otros no para decidir si

83
00:05:21,960 --> 00:05:24,180
un punto crítico es extremo no

84
00:05:25,740 --> 00:05:26,490
usaremos

85
00:05:27,690 --> 00:05:30,420
el criterio del cambio de signo de la derivada primera

86
00:05:31,380 --> 00:05:32,250
que consiste

87
00:05:33,870 --> 00:05:35,880
en observar si alrededor

88
00:05:36,960 --> 00:05:39,840
de cada uno de estos puntos se produce un cambio

89
00:05:39,840 --> 00:05:43,829
de signo en la deuda la primera si se produce

90
00:05:43,830 --> 00:05:47,310
cambio de signo afirmaremos que se trata de un extremo

91
00:05:47,310 --> 00:05:51,150
local si cambia de más a menos un máximo y

92
00:05:51,150 --> 00:05:52,290
si cambia de menos a más

93
00:05:53,550 --> 00:05:57,030
un mínimo en caso de que la función derivada no

94
00:05:57,030 --> 00:06:01,500
cambie de signo alrededor de dicho punto diremos que no

95
00:06:01,500 --> 00:06:02,400
hay un extremo local