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00:00:00,430 --> 00:00:06,330
Hola, soy Daniel Carballo y hoy voy a explicar cómo calcular la inversa de una matriz utilizando el método de Gauss.

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00:00:06,710 --> 00:00:08,349
La matriz es la matriz elevada a menos uno.

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00:00:08,730 --> 00:00:14,470
Igual que de nueve la inversa es un noveno, podemos calcular la inversa de una matriz,

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00:00:14,710 --> 00:00:16,250
aunque es un concepto bastante más difícil.

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00:00:16,690 --> 00:00:17,570
Ahora os voy a enseñar cómo.

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00:00:18,449 --> 00:00:22,210
Ya sabemos que la inversa de una matriz es la matriz elevada a menos uno.

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00:00:22,210 --> 00:00:46,170
Pero debemos saber antes que esta matriz, que llamamos A por su inversa, es igual a la matriz identidad, que es, que serían estas, son ejemplos de matrices identidad en las que la diagonal principal, esta, está llena de unos, pero el resto de valores son todos cero.

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00:00:46,170 --> 00:00:54,149
Esto solo pasa cuando esa matriz es cuadrada, es decir, que tiene el mismo número de columnas que de filas

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00:00:54,149 --> 00:00:59,670
El método de Gauss para calcular la inversa de una matriz es muy sencillo

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00:00:59,670 --> 00:01:02,649
Solo tenemos dos sencillos pasos

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00:01:02,649 --> 00:01:10,049
Primero tenemos que averiguar la forma según los cálculos que nos permiten hacer las matrices

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00:01:10,049 --> 00:01:17,189
tenemos que transformar nuestra matriz A en la identidad.

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00:01:17,650 --> 00:01:22,609
Y esos mismos cambios que le hayamos aplicado a A para convertirla en la matriz identidad

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00:01:22,609 --> 00:01:29,030
tenemos que aplicárselas a I y entonces ya tendremos la inversa de A.

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00:01:29,030 --> 00:01:32,650
Para poner en práctica esto vamos a hacerlo con un ejemplo

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00:01:32,650 --> 00:01:38,950
de una matriz, en nuestro caso A, que tiene dos columnas y dos filas.

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00:01:40,049 --> 00:01:52,900
Para calcular la inversa, primero tenemos que empezar poniendo nuestra matriz al lado de la que sería su matriz de identidad.

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00:01:53,480 --> 00:02:00,769
Es decir, unos en su diagonal principal y ceros en el resto de valores.

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00:02:00,769 --> 00:02:09,030
Y ahora tenemos que ir haciendo esas operaciones necesarias para convertir esta matriz en esta.

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00:02:09,650 --> 00:02:15,629
Y a medida que vayamos aplicando esos cambios, tenemos que aplicar esos mismos cambios respectivamente en esta.

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00:02:15,750 --> 00:02:22,289
Y entonces, la que nos salga aquí finalmente, cuando esta ya sea identidad, será nuestra.

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00:02:22,289 --> 00:02:26,189
Ahora vamos a desarrollar esta matriz hasta conseguir la inversa.

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00:02:27,090 --> 00:02:35,150
Primero, tendríamos que hacer que nuestra primera fila, F1, vamos a cambiarle el signo.

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00:02:35,669 --> 00:02:37,650
F1 es igual a menos F1.

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00:02:37,909 --> 00:02:39,830
Y entonces tenemos que hacer lo mismo aquí que aquí.

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00:02:39,830 --> 00:02:41,129
Y lo hacemos.

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00:02:41,849 --> 00:02:44,210
Menos 1 será 1, 3 será menos 3.

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00:02:44,210 --> 00:02:47,030
Aquí 1 será menos 1

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00:02:47,030 --> 00:02:48,569
Y 0 seguirá siendo 0

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00:02:48,569 --> 00:02:50,629
Y abajo, como no le hemos tocado a la segunda fila

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00:02:50,629 --> 00:02:52,349
Seguimos con como estaba

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00:02:52,349 --> 00:02:56,520
Ahora tendremos que hacer

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00:02:56,520 --> 00:02:58,300
Que la segunda fila

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00:02:58,300 --> 00:03:00,479
Es igual a esa segunda fila

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00:03:00,479 --> 00:03:02,659
Menos la primera fila

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00:03:02,659 --> 00:03:04,060
¿Vale? Y lo hacemos

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00:03:04,060 --> 00:03:05,780
A través, desde aquí

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00:03:05,780 --> 00:03:07,460
Entonces hacemos 1 menos 1

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00:03:07,460 --> 00:03:09,439
Es 0

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00:03:09,439 --> 00:03:12,610
Lo vamos a colocar aquí abajo

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00:03:12,610 --> 00:03:15,069
Menos 2 menos menos 3

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00:03:15,069 --> 00:03:17,129
será 2 más 3, entonces 1

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00:03:17,129 --> 00:03:18,930
y en este lado tendremos

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00:03:18,930 --> 00:03:20,750
0 menos menos 1, lo que será

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00:03:20,750 --> 00:03:23,069
1, y tendremos

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00:03:23,069 --> 00:03:24,930
1 menos 0, que eso

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00:03:24,930 --> 00:03:27,050
se queda en 1, y arriba colocamos

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00:03:27,050 --> 00:03:28,689
lo que ya tenemos aquí, 1

49
00:03:28,689 --> 00:03:30,550
menos 3, menos 1

50
00:03:30,550 --> 00:03:32,830
y 0, vale

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00:03:32,830 --> 00:03:35,110
ahora seguimos, y ahora

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00:03:35,110 --> 00:03:37,150
vamos a hacer que la fila 1

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00:03:37,150 --> 00:03:39,110
eje 1, es igual

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00:03:39,110 --> 00:03:41,009
a esa misma fila 1

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00:03:41,009 --> 00:03:42,969
más 3 veces

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00:03:42,969 --> 00:03:44,189
la fila 2

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00:03:45,189 --> 00:03:46,689
Vamos a hacer un poco de hueco aquí.

58
00:03:51,400 --> 00:03:52,800
Y lo vamos a dibujar aquí.

59
00:03:53,400 --> 00:03:56,599
La fila 1 es igual a la fila 1 más 3 veces la segunda.

60
00:03:57,199 --> 00:03:58,500
Entonces, lo empezamos a calcular.

61
00:03:59,180 --> 00:04:00,960
Lo tenemos que colocar en lo que nos salga aquí, arriba.

62
00:04:01,460 --> 00:04:04,520
Entonces, la fila 1, aquí es 1, más 3 veces la fila 2.

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00:04:04,819 --> 00:04:06,020
3 por 0 es 0.

64
00:04:06,159 --> 00:04:07,319
Más 1, 1.

65
00:04:08,139 --> 00:04:10,180
Menos 3, más 3 veces 1.

66
00:04:10,900 --> 00:04:12,360
Esto es menos 3, más 3.

67
00:04:12,479 --> 00:04:13,520
Nos sale 0.

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00:04:13,599 --> 00:04:15,219
Y abajo colocamos lo que ya tenemos.

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00:04:15,919 --> 00:04:16,339
0 y 1.

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00:04:16,339 --> 00:04:18,699
Y aquí nos tenemos que fijar en que ya tenemos la identidad.

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00:04:19,019 --> 00:04:24,740
Entonces, lo que tengamos aquí ahora será nuestra inversa de la matriz A.

72
00:04:25,339 --> 00:04:27,500
Pero ahora tenemos que hacerlo lo mismo aquí, para saber cuál es.

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00:04:27,839 --> 00:04:32,560
Entonces, la fila 1 es fila 1 menos 1 más 3 veces la fila 2.

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00:04:33,779 --> 00:04:37,180
3 por 1 es 3, menos 1 será 2.

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00:04:38,220 --> 00:04:42,339
Aquí, 0 más 3 veces 1 es 0 más 3, 3.

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00:04:42,660 --> 00:04:45,100
Y aquí colocamos lo mismo, 1 y 1.

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00:04:45,100 --> 00:04:49,360
Y entonces, esta parte será nuestra matriz inversa.

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00:04:49,519 --> 00:04:55,259
Entonces, nuestra matriz inversa es igual a 2, 3, 1, 1.

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00:04:55,839 --> 00:04:56,300
En ese orden.