1 00:00:12,210 --> 00:00:17,589 Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 2 00:00:17,589 --> 00:00:22,250 Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 3 00:00:22,250 --> 00:00:27,269 de la unidad PR1 dedicada a la probabilidad en experimentos aleatorios simples. 4 00:00:31,109 --> 00:00:35,570 En la videoclase de hoy estudiaremos distintas definiciones de probabilidad. 5 00:00:36,270 --> 00:00:52,890 En esta videoclase vamos a estudiar distintas definiciones de probabilidad, comenzando por 6 00:00:52,890 --> 00:00:57,549 la definición intuitiva común, la coloquial, la habitual que nosotros utilizamos, cuando hablamos 7 00:00:57,549 --> 00:01:03,469 de algo es probable, algo es muy probable, algo es poco probable. Como veis aquí, la probabilidad se 8 00:01:03,469 --> 00:01:09,269 define como una cierta medida, sin dar más detalles, de lo verosímil que es la hipótesis de que un 9 00:01:09,269 --> 00:01:15,269 determinado suceso pueda ocurrir. Y nosotros, mentalmente, asociamos una probabilidad elevada 10 00:01:15,269 --> 00:01:20,530 a un suceso que es muy fácil que ocurra, que es muy verosímil que ocurra, y asociamos una 11 00:01:20,530 --> 00:01:26,469 probabilidad baja o un suceso que es muy difícil que ocurra, que es poco verosímil que ocurra. 12 00:01:26,829 --> 00:01:33,269 Pero esta definición intuitiva común no es numéricamente rigurosa. Una definición de 13 00:01:33,269 --> 00:01:38,629 probabilidad que sí es numéricamente rigurosa es la que se llama probabilidad empírica o también 14 00:01:38,629 --> 00:01:45,790 probabilidad frecuentista, puesto que lo que vamos a hacer es, a los sucesos elementales que 15 00:01:45,790 --> 00:01:51,010 correspondan a un determinado experimento aleatorio, lo que vamos a hacer es repetir 16 00:01:51,010 --> 00:01:57,010 ese experimento aleatorio un determinado número de veces, que aquí llamamos n. Vamos a repetir 17 00:01:57,010 --> 00:02:02,549 el experimento, vamos a ir tomando nota de cuántas veces va ocurriendo cada uno de los 18 00:02:02,549 --> 00:02:08,629 elementos, los sucesos elementales en el espacio muestral. Ese número de veces van a ser las 19 00:02:08,629 --> 00:02:13,050 frecuencias absolutas y dividiendo entre n el número de veces que hemos repetido el 20 00:02:13,050 --> 00:02:17,430 experimento aleatorio obtenemos las probabilidades relativas pues bien lo 21 00:02:17,430 --> 00:02:21,870 que vamos a hacer es asignar como probabilidad de cada uno de los sucesos 22 00:02:21,870 --> 00:02:26,090 elementales cada uno de los elementos individuales del espacio mostrar esas 23 00:02:26,090 --> 00:02:30,210 frecuencias relativas que van a tener una serie de propiedades que van a ser 24 00:02:30,210 --> 00:02:34,509 adecuadas fijaos en que se cumple con la idea 25 00:02:34,509 --> 00:02:39,150 intuitiva común un suceso que es muy fácil que ocurra se va a repetir muchas 26 00:02:39,150 --> 00:02:43,729 veces, de tal forma que tendrá una frecuencia relativa elevada y le daremos una probabilidad 27 00:02:43,729 --> 00:02:50,030 empírica, puesto que se obtiene a partir de la repetición de la experiencia que va a ser elevada. 28 00:02:50,530 --> 00:02:56,110 Mientras que un suceso que va a ocurrir muy difícilmente se va a repetir realmente pocas 29 00:02:56,110 --> 00:03:01,389 veces, va a tener una frecuencia bastante baja y entonces le estaremos asociando una probabilidad 30 00:03:01,389 --> 00:03:10,080 empírica baja. La ley de los grandes números establece que esas frecuencias relativas van 31 00:03:10,080 --> 00:03:16,599 a tender a estabilizarse hacia un cierto valor constante cuando el número de repeticiones tienda 32 00:03:16,599 --> 00:03:22,639 a infinito. Eso quiere decir que cuando repetimos el experimento pocas veces, pocas es 4, 5, 6, 7 33 00:03:22,639 --> 00:03:29,939 veces, podemos observar cómo el añadir una repetición más en uno cualquiera de los sucesos 34 00:03:29,939 --> 00:03:34,960 elementales, cada uno de los elementos individuales del espacio mostral, puede hacer que cambie mucho 35 00:03:34,960 --> 00:03:39,620 las frecuencias relativas. Eso quiere decir que el hacer una observación más puede cambiar las 36 00:03:39,620 --> 00:03:44,580 probabilidades lo cual no tiene demasiado sentido desde el punto de vista intuitivo. Bien, para 37 00:03:44,580 --> 00:03:50,099 conseguir valores que sean estables de las probabilidades, que no cambien, al menos no 38 00:03:50,099 --> 00:03:55,659 cambien excesivamente con una o dos o tres repeticiones más, necesitamos que el número de 39 00:03:55,659 --> 00:04:01,479 repeticiones sea suficientemente grande. Eso es uno de los resultados de las leyes de los grandes 40 00:04:01,479 --> 00:04:06,360 números. Necesitamos que el número de repeticiones, para que las frecuencias relativas coincidan con 41 00:04:06,360 --> 00:04:09,000 o las probabilidades, sean muy elevados. 42 00:04:10,039 --> 00:04:12,000 Y quiero hacer una observación. 43 00:04:12,240 --> 00:04:17,060 Ley de los grandes números debería llamarse ley de los enormemente grandes números. 44 00:04:17,980 --> 00:04:21,459 Discutiremos en clase, y probablemente discutiremos en alguna videoclase posterior, 45 00:04:22,319 --> 00:04:25,360 cómo cuánto de grande tiene que ser este valor de n 46 00:04:25,360 --> 00:04:28,620 para que esas frecuencias relativas que estoy diciendo se estabilicen 47 00:04:28,620 --> 00:04:32,360 con ejemplos sencillos como, por ejemplo, el lanzamiento de un dado de 6 caras. 48 00:04:32,360 --> 00:04:40,420 Otra forma de definir o de calcular las probabilidades es el uso de la ley de Laplace 49 00:04:40,420 --> 00:04:48,259 La ley de Laplace nos dice que si un determinado espacio muestral está formado por sucesos elementales equiprobables 50 00:04:48,259 --> 00:04:53,120 Esto es, que todos y cada uno de ellos tienen en principio la misma probabilidad 51 00:04:53,120 --> 00:04:56,240 Es decir, se van a obtener con igual facilidad 52 00:04:56,240 --> 00:05:00,600 En ese caso la probabilidad de un suceso cualquiera, no necesariamente elemental 53 00:05:00,600 --> 00:05:12,379 se va a poder calcular como el número de elementos del espacio muestral dentro de ese suceso dividido entre el número de elementos dentro del espacio muestral. 54 00:05:12,899 --> 00:05:19,100 Un ejemplo típico de espacio muestral con elementos individuales equiprobables es el que acabo de mencionar. 55 00:05:19,259 --> 00:05:23,920 Lanzamos un dado de seis caras y si éste está equilibrado, es decir, no está trucado, 56 00:05:24,860 --> 00:05:29,560 En principio esperamos que cada una de las seis caras aparezca con igual facilidad. 57 00:05:29,680 --> 00:05:33,120 A cada una de ellas les vamos a asociar una probabilidad igual. 58 00:05:33,879 --> 00:05:37,540 Y entonces vamos a pensar, por ejemplo, en cuál es la probabilidad de que me salga el número 1. 59 00:05:37,879 --> 00:05:44,120 El número 1 está formado por un único elemento del espacio muestral, así que cardinal de A sería 1. 60 00:05:44,639 --> 00:05:51,240 Hay seis elementos dentro del espacio muestral, 1, 2, 3, 4, 5, 6, así que cardinal del espacio muestral sería 6. 61 00:05:51,240 --> 00:05:57,160 la probabilidad de obtener un número uno sería un sexto. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 62 00:05:57,160 --> 00:06:03,180 número impar? Bueno, los números impares en un dado son tres, uno, tres y cinco. El cardinal de 63 00:06:03,180 --> 00:06:07,980 ese suceso sería tres, puesto que tenemos tres elementos individuales, dividido entre seis, 64 00:06:07,980 --> 00:06:13,759 que es el cardinal del espacio muestral, tres sextos, un medio. Y en nuestra experiencia esto, 65 00:06:13,759 --> 00:06:20,279 en principio, sería así. ¿Cómo podemos comprobar, ya que estamos, que un dado está equilibrado, 66 00:06:20,279 --> 00:06:25,800 que no está trucado. Vamos a lanzar el dado una cierta cantidad de veces y vamos a calcular las 67 00:06:25,800 --> 00:06:30,379 frecuencias relativas, puesto que hemos calculado y hemos determinado las frecuencias absolutas 68 00:06:30,379 --> 00:06:36,199 anotando cuántas veces se obtiene cada uno de los seis valores posibles. Esperamos que si el dado no 69 00:06:36,199 --> 00:06:41,220 está trucado, cada uno de esos seis valores se obtenga en igual cantidad, de tal forma que las 70 00:06:41,220 --> 00:06:46,680 frecuencias relativas sean iguales. Fijaos que estoy relacionando la probabilidad de Laplace 71 00:06:46,680 --> 00:06:53,240 con la probabilidad empírica. Lo que decía anteriormente, con una más repetición podemos 72 00:06:53,240 --> 00:06:58,139 obtener una variación en las frecuencias relativas que harán que las probabilidades que estamos 73 00:06:58,139 --> 00:07:03,420 calculando así varíen. Bueno, pues lo que ocurre es que no hemos obtenido un número suficiente, 74 00:07:03,839 --> 00:07:08,459 suficientemente grande de repeticiones como para que las probabilidades empíricas que se calculan 75 00:07:08,459 --> 00:07:14,139 a través de las frecuencias relativas converjan a esos valores teóricos que determinaríamos con 76 00:07:14,139 --> 00:07:18,980 la probabilidad de Laplace. Si con un número elevado de repeticiones vemos que las frecuencias 77 00:07:18,980 --> 00:07:24,879 relativas se estabilizan pero no a los valores 1 sexto, estamos hablando del dado, pues en ese 78 00:07:24,879 --> 00:07:30,240 caso el dado no va a estar equilibrado. Si convergen a un valor constante que sea 1 sexto 79 00:07:30,240 --> 00:07:38,040 para cada uno de los 6 resultados, entonces el dado sí será equilibrado. La definición más 80 00:07:38,040 --> 00:07:42,899 adecuada en la actualidad para la probabilidad es la que se realiza a partir de los axiomas de 81 00:07:42,899 --> 00:07:51,959 Kolmogorov, que no tiene ningún tipo de consideración ni la definición más 82 00:07:51,959 --> 00:07:55,639 adecuada para la probabilidad es la que se obtiene a partir de los axiomas de 83 00:07:55,639 --> 00:07:59,740 Kolmogorov. Como podemos ver, de acuerdo con los axiomas de Kolmogorov, una 84 00:07:59,740 --> 00:08:03,300 probabilidad va a ser una ley que a cada suceso contenido en el espacio 85 00:08:03,300 --> 00:08:07,459 muestral le va a asociar un número real que vamos a llamar probabilidad de A y 86 00:08:07,459 --> 00:08:10,259 representaremos con esta letra P minúscula, aunque en ocasiones lo 87 00:08:10,259 --> 00:08:14,300 podamos también representar con P mayúscula, que verifica estas tres 88 00:08:14,300 --> 00:08:19,879 condiciones, los axiomas de Kolmogorov. En primer lugar, la probabilidad de cualquier suceso es un 89 00:08:19,879 --> 00:08:27,259 valor real definido no negativo. Será positivo o igual a cero. Y solamente será cero la probabilidad 90 00:08:27,259 --> 00:08:32,860 del suceso imposible. De tal forma que la menor probabilidad posible, igual a cero, es la 91 00:08:32,860 --> 00:08:38,000 probabilidad del suceso imposible. Hay un límite superior y esto, de acuerdo con el segundo 92 00:08:38,000 --> 00:08:44,840 corolario es la probabilidad del suceso seguro, que va a ser 1. Así pues, una probabilidad va a ser 93 00:08:44,840 --> 00:08:50,559 un número comprendido entre 0 y 1. 0, la probabilidad del suceso imposible, y no hay 94 00:08:50,559 --> 00:08:56,480 probabilidades menores que 0, puesto que, entendámonos, no hay nada más difícil que ocurra que el suceso 95 00:08:56,480 --> 00:09:03,000 imposible. Y 1, la probabilidad del suceso seguro. Y nuevamente, no puede haber una probabilidad de 96 00:09:03,000 --> 00:09:08,000 un suceso que sea mayor que 1, puesto que no hay nada que sea más fácil que ocurra 97 00:09:08,000 --> 00:09:14,580 que el suceso seguro. Así que, insisto, una probabilidad es un valor numérico real comprendido 98 00:09:14,580 --> 00:09:20,820 entre 0 y 1. 0 sólo para el caso del suceso imposible, 1 sólo para el caso de un suceso 99 00:09:20,820 --> 00:09:28,360 que sea seguro. Además, para cualquier pareja de sucesos A y B incompatibles, esto es, que 100 00:09:28,360 --> 00:09:32,360 no puedan ocurrir simultáneamente, no hay ningún elemento del espacio muestral que 101 00:09:32,360 --> 00:09:37,480 esté simultáneamente en A y en B, se cumple, de acuerdo con este axioma, el tercero, que la 102 00:09:37,480 --> 00:09:42,179 probabilidad de la unión es la suma de las dos probabilidades. La probabilidad de que ocurra A 103 00:09:42,179 --> 00:09:48,620 o B es la suma de la probabilidad de A y la probabilidad de B. A partir de estos tres axiomas 104 00:09:48,620 --> 00:09:54,179 se deducen de forma inmediata dos colorarios que van a ser tremendamente útiles y que vamos a 105 00:09:54,179 --> 00:09:59,539 utilizar muchísimo a lo largo de esta unidad y las siguientes. El primer colorario es el que nos 106 00:09:59,539 --> 00:10:04,179 habla de la probabilidad del suceso contrario. La probabilidad del suceso contrario a 1 dado se va 107 00:10:04,179 --> 00:10:10,840 a calcular como 1 menos la probabilidad del suceso dado. Asimismo, en un caso general, no únicamente 108 00:10:10,840 --> 00:10:15,480 en el caso en que dos sucesos sean incompatibles, podríamos calcular la probabilidad de la unión 109 00:10:15,480 --> 00:10:21,159 como la suma de la probabilidad del suceso A más la probabilidad del suceso B menos la probabilidad 110 00:10:21,159 --> 00:10:26,419 de la intersección. Fijaos que en el caso en el que A y B son incompatibles, la intersección está 111 00:10:26,419 --> 00:10:31,519 vacía y esta probabilidad es cero y obtendríamos esta expresión que tenemos aquí. Con esto que 112 00:10:31,519 --> 00:10:36,159 acabamos de ver, de la definición axiomática de la probabilidad de Kolmogorov y también la 113 00:10:36,159 --> 00:10:40,600 definición de probabilidad de Laplace, que hemos visto inmediatamente anterior, podremos resolver 114 00:10:40,600 --> 00:10:45,679 estos ejercicios propuestos 3 y 4 que resolveremos en clase y probablemente en alguna videoclase 115 00:10:45,679 --> 00:10:54,960 posterior. En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 116 00:10:55,679 --> 00:10:59,799 Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 117 00:11:00,620 --> 00:11:05,360 No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 118 00:11:05,940 --> 00:11:07,320 Un saludo y hasta pronto.