1
00:00:02,350 --> 00:00:05,750
Hola, ¿qué tal? Alumnos y alumnas de segundo de bachillerato.

2
00:00:06,750 --> 00:00:10,970
Estamos aquí para calcular la derivada de esta función que veis.

3
00:00:11,109 --> 00:00:12,349
x elevado a raíz de x.

4
00:00:12,550 --> 00:00:19,350
Esta función tiene un problema y es que si nos fijamos en la base x elevado a algo,

5
00:00:20,429 --> 00:00:21,750
lo voy a poner aquí,

6
00:00:23,149 --> 00:00:28,329
si pensamos que esta función es x elevado a algo, a un número,

7
00:00:28,329 --> 00:00:33,780
pues en la tabla de derivadas, la derivada de esta función es esta.

8
00:00:33,920 --> 00:00:52,560
Pero también nos podemos fijar en que tenemos la variable en el exponente, entonces sería un número elevado a x, bueno, voy a poner a f si queréis, venga, entonces la derivada sería a elevado a f por el neoperiano de a por la derivada.

9
00:00:52,560 --> 00:00:58,679
Es decir, que esta función no sabemos si derivarla como una potencia o como una exponencial

10
00:00:58,679 --> 00:01:00,039
¿De acuerdo?

11
00:01:01,320 --> 00:01:03,539
Como no sabemos, pues, o sea, es que es de las dos

12
00:01:03,539 --> 00:01:05,799
Es de las dos funciones a la vez

13
00:01:05,799 --> 00:01:08,180
Entonces lo que tenemos que hacer es una argucia

14
00:01:08,180 --> 00:01:09,719
Vamos a ver la argucia que hacemos

15
00:01:09,719 --> 00:01:14,060
Esta argucia consiste en lo siguiente

16
00:01:14,060 --> 00:01:17,329
Yo pongo aquí la función

17
00:01:17,329 --> 00:01:21,700
Ya está, esta es la función

18
00:01:21,700 --> 00:01:26,109
Bueno, pues entonces aquí lo que nos tenemos que acordar es

19
00:01:26,109 --> 00:01:32,549
¿Seremos capaces de transformar este x elevado a raíz de x en otra operación más sencilla en matemática?

20
00:01:32,969 --> 00:01:34,790
Pues sí que nos acordamos cómo se hace.

21
00:01:35,370 --> 00:01:42,769
Y esto se hace tomando logaritmos, porque hay una propiedad importantísima de los logaritmos

22
00:01:42,769 --> 00:01:50,730
que nos decía que el logaritmo de a elevado a b es b por el logaritmo de a.

23
00:01:50,730 --> 00:01:58,290
Aquí vemos que se transforma una potencia en un producto, b por logaritmo de a

24
00:01:58,290 --> 00:02:02,469
Pues entonces lo que hacemos aquí es esto, se toman logaritmos

25
00:02:02,469 --> 00:02:09,629
Se toman logaritmos en los dos miembros, para que la igualdad se siga manteniendo

26
00:02:09,629 --> 00:02:10,629
Pues vamos a ver que ocurre

27
00:02:10,629 --> 00:02:19,009
Logaritmo de f de x es igual al logaritmo de x elevado a raíz de x

28
00:02:19,009 --> 00:02:26,949
Por tanto, logaritmo de f de x es igual a, por las propiedades estas de los logaritmos

29
00:02:26,949 --> 00:02:30,889
Esto es raíz de x, por el logaritmo de x

30
00:02:30,889 --> 00:02:32,870
Bastante bien

31
00:02:32,870 --> 00:02:36,289
Muy bien, y ahora lo que hacemos es derivar

32
00:02:36,289 --> 00:02:41,330
Y ahora vamos a derivar las dos expresiones que tenemos en los dos miembros

33
00:02:41,330 --> 00:02:48,240
Derivamos

34
00:02:48,240 --> 00:02:49,979
Vamos a derivar

35
00:02:49,979 --> 00:02:52,599
¿Cuál es la derivada del logaritmo de f de x?

36
00:02:52,599 --> 00:03:22,300
Ya no lo sabemos, logaritmo de f de x es f' de x partido por f de x, que de y, por tanto, y esto es igual a derivada del segundo miembro, y en el segundo miembro ahora tenemos un producto, raíz de x por logaritmo de x es derivada del primero por el segundo sin derivar, más el primero por la derivada del segundo.

37
00:03:22,300 --> 00:03:24,740
Muy bien, seguimos avanzando

38
00:03:24,740 --> 00:03:26,740
Ahora ya solo nos falta operar aquí

39
00:03:26,740 --> 00:03:30,960
Acordaros que yo lo que quiero calcular es cuánto vale el f' de x

40
00:03:30,960 --> 00:03:37,099
Bueno, pues en esta igualdad ya puedo despejar

41
00:03:37,099 --> 00:03:38,800
Entonces tengo que f' de x

42
00:03:38,800 --> 00:03:42,580
Será igual, este está dividiendo

43
00:03:42,580 --> 00:03:46,400
Va a ir a f de x por todo esto que hay aquí

44
00:03:46,400 --> 00:03:52,210
Todo esto que hay aquí lo puedo escribir ya más bonito

45
00:03:52,210 --> 00:04:15,830
2 partido por raíz de x, más, y raíz de x entre x, estaréis de acuerdo conmigo que es 1 partido por raíz de x, muy bien, voy a acercar para que quede más clarito, muy bien, y yo quiero calcular f' de x, pues f' de x es igual a f de x, ¿quién era f de x?

46
00:04:15,830 --> 00:04:17,410
f de x

47
00:04:17,410 --> 00:04:20,069
era mi función de la cual yo quería ir a la derivada

48
00:04:20,069 --> 00:04:23,920
así que f de x

49
00:04:23,920 --> 00:04:25,680
es x elevado a raíz de x

50
00:04:25,680 --> 00:04:26,680
por

51
00:04:26,680 --> 00:04:32,160
esto de aquí, entonces esto si saco

52
00:04:32,160 --> 00:04:34,040
como un denominador es 2 raíz de x

53
00:04:34,040 --> 00:04:36,420
logaritmo de x

54
00:04:36,420 --> 00:04:41,959
fijaros, luego ya he terminado

55
00:04:41,959 --> 00:04:42,939
luego ya he terminado

56
00:04:42,939 --> 00:04:45,139
lo pongo aquí, lo pongo aquí en grande

57
00:04:45,139 --> 00:04:49,000
la derivada

58
00:04:49,000 --> 00:04:52,410
espera un momento

59
00:04:52,410 --> 00:04:54,410
es que me sale esto y no me gusta

60
00:04:54,410 --> 00:05:06,360
ahora, venga

61
00:05:06,360 --> 00:05:08,540
Termino, la derivada

62
00:05:08,540 --> 00:05:10,300
Pero bueno, este man

63
00:05:10,300 --> 00:05:15,220
Ahora, la derivada de esta función es

64
00:05:15,220 --> 00:05:20,689
x por raíz de x por logaritmo de x

65
00:05:20,689 --> 00:05:32,259
Vale, pues esto es la derivación logarítmica

66
00:05:32,259 --> 00:05:35,740
Hacemos un resumen rapidito de lo que hemos hecho

67
00:05:35,740 --> 00:05:38,220
Repetimos, la derivación logarítmica

68
00:05:38,220 --> 00:05:40,540
Por cierto, no lo he dicho

69
00:05:40,540 --> 00:05:47,740
Esto se llama derivación logarítmica.

70
00:05:51,819 --> 00:05:52,379
Logarítmica.

71
00:05:52,959 --> 00:05:55,160
¿Por qué se llama derivación logarítmica por esto?

72
00:05:55,339 --> 00:05:56,680
Porque hemos tomado derivadas.

73
00:05:56,959 --> 00:05:57,259
Muy bien.

74
00:05:57,959 --> 00:06:02,620
Bueno, la derivación logarítmica la empleamos cuando tenemos una potencia

75
00:06:02,620 --> 00:06:06,939
en la que tanto en la base como en el exponente tenemos la variable x.

76
00:06:06,939 --> 00:06:07,600
Hay función.

77
00:06:07,600 --> 00:06:11,680
entonces es muy sencillo

78
00:06:11,680 --> 00:06:13,740
lo que hacemos es tomar logaritmos

79
00:06:13,740 --> 00:06:17,139
y así conseguimos que el exponente baje

80
00:06:17,139 --> 00:06:21,019
baje, por decirlo así, como un producto

81
00:06:21,019 --> 00:06:23,600
y luego lo que hacemos es derivar

82
00:06:23,600 --> 00:06:25,680
así que acordaros, se toma logaritmos

83
00:06:25,680 --> 00:06:27,319
y luego derivamos

84
00:06:27,319 --> 00:06:30,759
luego despejamos f' de x y ya está

85
00:06:30,759 --> 00:06:34,019
sustituimos f de x por su función y ya está

86
00:06:35,019 --> 00:06:39,519
Bueno, pues otras funciones más que sabemos derivar.

87
00:06:40,100 --> 00:06:46,920
Poco a poco nos vamos dando cuenta que prácticamente sabemos derivar todas las funciones que se pueden derivar.

88
00:06:47,120 --> 00:06:47,899
Sabemos derivarlas.

89
00:06:48,740 --> 00:06:50,899
Muy bien, un saludo y gracias por haber escuchado.