1
00:00:00,660 --> 00:00:05,360
Hola, vamos a ver en este vídeo los ejercicios del 204 al 212, ¿vale?

2
00:00:06,139 --> 00:00:09,259
Empezamos con el 204, vemos que es una función racional.

3
00:00:10,099 --> 00:00:14,179
El cociente de polinomios, el grado del numerador es más grande que el grado del denominador.

4
00:00:14,660 --> 00:00:16,179
Por lo tanto, podemos hacer la división.

5
00:00:17,079 --> 00:00:25,120
x cuarta más x más 1 entre x cuadrado más x.

6
00:00:25,120 --> 00:00:33,079
¿Vale? x cuadrado, x cuadrado por x es x cubo, por lo tanto menos x cubo

7
00:00:33,079 --> 00:00:36,399
x sería menos x cuarta cuando lo multiplicamos

8
00:00:36,399 --> 00:00:40,240
Se nos va y me queda menos x cubo, ¿vale?

9
00:00:41,539 --> 00:00:49,259
Por lo tanto, podríamos seguir bajando el más x más 1, pero bueno, lo podemos bajar o dejarlo para después

10
00:00:49,259 --> 00:00:52,659
menos x cubo por x cuadrado sería menos x

11
00:00:52,659 --> 00:00:55,340
menos x más x es menos x cuadrado

12
00:00:55,340 --> 00:00:57,119
luego ponemos un más x cuadrado

13
00:00:57,119 --> 00:01:00,159
y aquí quedaría menos x cubo

14
00:01:00,159 --> 00:01:01,920
por lo tanto más x cubo

15
00:01:01,920 --> 00:01:05,969
sumamos, se me va y me queda x cuadrado

16
00:01:05,969 --> 00:01:08,189
más x más 1

17
00:01:08,189 --> 00:01:10,790
y x cuadrado entre x cuadrado es 1

18
00:01:10,790 --> 00:01:13,650
multiplicamos y me queda más x

19
00:01:13,650 --> 00:01:18,049
por lo tanto es menos x más x cuadrado menos x cuadrado

20
00:01:18,049 --> 00:01:21,530
Se me va, se me va y me queda simplemente 1, ¿vale?

21
00:01:22,209 --> 00:01:26,069
Y yo creo que ya no hace falta recordarlo, pero lo vuelvo a escribir.

22
00:01:26,849 --> 00:01:32,689
Dividendo entre divisor es cociente más resto entre divisor.

23
00:01:33,469 --> 00:01:40,150
¿Vale? Pues esta integral se nos transforma en el cociente, que es x cuadrado menos x más 1,

24
00:01:41,209 --> 00:01:46,549
más el resto, que es 1, entre el divisor, que es x cuadrado más x.

25
00:01:46,549 --> 00:01:54,790
¿Qué ocurre? Que la fracción que me queda, el grado del denominador es 2

26
00:01:54,790 --> 00:01:59,170
y en el numerador no tengo la derivada, por lo tanto no lo puedo poner como un logaritmo

27
00:01:59,170 --> 00:02:00,930
¿Qué es lo que vamos a tener que hacer?

28
00:02:01,290 --> 00:02:06,870
Dividirlo en fracciones simples porque yo creo que se ve claramente las raíces, ¿verdad?

29
00:02:06,870 --> 00:02:16,139
Es decir, x cuadrado más x factoriza, sacamos factor común y es x por x más 1

30
00:02:16,139 --> 00:02:25,759
¿Vale? Que si lo igualamos a 0 tenemos dos soluciones, dos raíces distintas, x igual a 0 y x igual a menos 1 ¿Vale?

31
00:02:26,120 --> 00:02:37,680
Pues lo de siempre, venga, 1 partido por x cuadrado más x, lo vamos a escribir como a partido de x más b partido de x más 1

32
00:02:37,680 --> 00:02:49,300
sumamos y nos quedaría a por x más 1 más b por x entre x por x más 1

33
00:02:49,300 --> 00:02:54,180
de donde igualando numeradores para que las fracciones sean iguales

34
00:02:54,180 --> 00:03:03,000
nos queda que 1 es igual a por x más 1 más b por x

35
00:03:03,000 --> 00:03:08,240
Damos los valores de las raíces cuando x es igual a 0

36
00:03:08,240 --> 00:03:13,479
Y cuando x es igual a menos 1 para obtener los valores de a y de b

37
00:03:13,479 --> 00:03:19,659
Si la x es 0, 1 igual a a directamente, ya nos sale la solución

38
00:03:19,659 --> 00:03:23,840
Y si la x es menos 1 me queda 1 igual a menos b

39
00:03:23,840 --> 00:03:27,539
Por lo tanto b es 1

40
00:03:27,539 --> 00:03:31,479
Sustituimos arriba y que me queda integral

41
00:03:31,479 --> 00:03:39,039
integral de x cuadrado menos x más 1

42
00:03:39,039 --> 00:03:43,520
más a que es 1 partido por x

43
00:03:43,520 --> 00:03:46,539
ay perdón que aquí es b igual a menos 1

44
00:03:46,539 --> 00:03:47,599
me he comido el menos ¿vale?

45
00:03:49,259 --> 00:03:53,099
menos 1 partido por x más 1

46
00:03:53,099 --> 00:03:55,080
diferencial de x ¿vale?

47
00:03:55,580 --> 00:03:58,580
y ahora ya si todas esas integrales son inmediatas

48
00:03:58,580 --> 00:04:10,360
Y me queda que esto va a ser igual al x cubo partido de 3 menos x cuadrado partido de 2 más x, ¿vale?

49
00:04:10,800 --> 00:04:23,160
Más el logaritmo neperiano del valor absoluto de x menos el logaritmo neperiano del valor absoluto de x más 1 más k, ¿vale?

50
00:04:23,160 --> 00:04:28,040
Seguimos con el 205, ¿vale?

51
00:04:28,379 --> 00:04:31,860
Es igual que el anterior, una función racional, tienen el mismo grado

52
00:04:31,860 --> 00:04:34,579
Así que procedemos a hacer la división

53
00:04:34,579 --> 00:04:36,699
x cuadrado menos x más 1

54
00:04:36,699 --> 00:04:41,980
Entre x cuadrado menos x menos 2

55
00:04:41,980 --> 00:04:43,379
¿Vale?

56
00:04:44,220 --> 00:04:47,500
Que a ojo también se podría ver la división, pero bueno, vamos a hacerla así

57
00:04:47,500 --> 00:04:51,300
Esto sería 1, y aquí me queda menos 2, que sería más 2

58
00:04:51,300 --> 00:04:56,399
menos x que sería más x, más x cuadrado que sería menos x cuadrado

59
00:04:56,399 --> 00:04:59,959
se nos va y nos queda el resto 3

60
00:04:59,959 --> 00:05:03,439
por lo tanto esta integral sería igual al cociente que es 1

61
00:05:03,439 --> 00:05:10,240
más el resto partido de x cuadrado menos x más 1

62
00:05:10,240 --> 00:05:12,480
diferencial de x

63
00:05:12,480 --> 00:05:13,699
¿qué ocurre?

64
00:05:14,579 --> 00:05:17,680
uy, he puesto más 1, es más 2, ¿vale? disculpad

65
00:05:17,680 --> 00:05:37,339
vale, no sé de dónde he sacado, x cuadrado menos x menos 2, no sé por qué he puesto el más 1, la verdad, menos 2, ¿vale?

66
00:05:38,199 --> 00:05:45,360
Bien, ¿qué ocurre ahora? Que la segunda fracción, o sea, el segundo sumando, el 3 partido por x cuadrado menos x menos 2,

67
00:05:45,720 --> 00:05:53,939
no es una integral inmediata, nos pasa como antes, lo primero que tenemos que calcular son sus raíces, ¿vale?

68
00:05:53,939 --> 00:06:01,660
x cuadrado menos x menos 2, igual a 0, y bueno, pues vamos a ver las soluciones.

69
00:06:03,199 --> 00:06:18,079
x es igual a menos b más menos raíz cuadrada de b cuadrado, que es 1, menos 4ac, es decir, sería 1 más 8, que sería 9, entre 2.

70
00:06:19,079 --> 00:06:23,779
Voy a borrar que he dejado aquí una raíz, iba a escribir todo, pero me ha salido muy grande.

71
00:06:23,939 --> 00:06:31,699
Es decir, que las soluciones son 1 más 3, que son 4 entre 2, 2

72
00:06:31,699 --> 00:06:35,019
Y 1 menos 3, que es menos 2, entre 2 menos 1

73
00:06:35,019 --> 00:06:44,139
Bien, pues ya sabemos entonces que 3 partido por x cuadrado menos x menos 2

74
00:06:44,139 --> 00:06:51,899
Lo vamos a poner como una suma de fracciones que los denominadores son x menos 2 y x más 1

75
00:06:51,899 --> 00:06:56,620
que son los factores en los que factoriza el denominador

76
00:06:56,620 --> 00:07:01,259
bien, pues aquí le llamamos a y aquí le llamamos b

77
00:07:01,259 --> 00:07:04,279
como siempre hacemos y esto va a quedar a por x más 1

78
00:07:04,279 --> 00:07:09,699
más b por x menos 2

79
00:07:09,699 --> 00:07:13,459
y en el denominador el producto

80
00:07:13,459 --> 00:07:17,639
x menos 2 por x más 1

81
00:07:17,639 --> 00:07:22,779
siempre igualamos numeradores y me queda que 3 es igual a

82
00:07:22,779 --> 00:07:28,519
por x más 1 más b por x menos 2.

83
00:07:30,579 --> 00:07:33,480
Sustituimos el valor de las raíces para calcular el a y el b.

84
00:07:34,040 --> 00:07:38,060
Cuando x es 2 me queda que 3 es igual a 2 más 1 a 3a,

85
00:07:39,060 --> 00:07:41,019
por lo tanto a vale 1,

86
00:07:41,019 --> 00:07:47,339
y si la x es menos 1 me queda que 3 es igual a

87
00:07:47,339 --> 00:07:50,399
menos 1 menos 2 es menos 3, menos 3b,

88
00:07:50,399 --> 00:08:18,879
Por lo tanto, b es menos 3. Uy, menos 3. Menos 1. ¿Vale? Venga, pues sustituimos en la integral y me queda que esto es igual a 1 más 1 partido por x menos 2 más, bueno, sería menos, menos 1 partido.

89
00:08:20,399 --> 00:08:25,360
por el x más 1, que no lo veía, diferencial de x, ¿vale?

90
00:08:25,839 --> 00:08:28,720
Todas las integrales ya son inmediatas,

91
00:08:28,720 --> 00:08:38,279
y me queda que esta integral sería x más logaritmo neperiano de x menos 2,

92
00:08:39,559 --> 00:08:40,840
el valor absoluto, ¿vale?

93
00:08:41,559 --> 00:08:49,799
Menos logaritmo neperiano del valor absoluto de x más 1, más k, ¿vale?

94
00:08:51,120 --> 00:08:54,080
Venga, he puesto estas dos porque las dos son inmediatas, ¿verdad?

95
00:08:54,159 --> 00:08:59,580
Solamente hay que darse cuenta que en la 206 el numerador es la derivada del denominador,

96
00:09:00,019 --> 00:09:01,179
salvo la constante 3.

97
00:09:01,620 --> 00:09:06,980
Por lo tanto, esto que va a ser el logaritmo neperiano del valor absoluto de x cubo menos 2,

98
00:09:07,840 --> 00:09:13,200
y como lo que me falta es un 3, pues partido por 3 más k, ¿vale?

99
00:09:13,700 --> 00:09:14,659
Así, simplemente.

100
00:09:15,460 --> 00:09:19,539
Y en la 207, si nos damos cuenta, esto es un arco tangente, ¿vale?

101
00:09:19,539 --> 00:09:49,440
Lo que pasa es que me podéis decir, pero es que el 2 no está al cuadrado, sí, siempre hacemos el truquito y lo podemos poner, voy a poner primero el número, 2 en el fondo es raíz de 2 al cuadrado, ¿verdad?, más x al cuadrado, y ya tenemos directamente la fórmula del arco tangente, esto sería 1 partido por a, es decir, 1 partido por raíz de 2, por el arco cuya tangente es x partido por raíz de 2 más k.

102
00:09:49,539 --> 00:09:57,860
¿Vale? Ese truquito lo tenemos que tener en cuenta cuando necesitamos algo al cuadrado y no es un cuadrado perfecto, pues ponemos la raíz y el cuadrado.

103
00:09:59,299 --> 00:10:08,919
Seguimos con la 208, ¿vale? Tenemos un producto de una potencia por una exponencial, pues nos está diciendo a gritos que tenemos que hacer una integración por partes, ¿vale?

104
00:10:08,919 --> 00:10:21,299
Vamos a llamar u, como siempre, al polinomio, o bueno, como suele ser habitual, x más 1, para que de esta manera la derivada sea directamente el diferencial de x, ¿vale?

105
00:10:21,700 --> 00:10:37,179
Y vamos a llamar diferencial de v a la e elevado a 2x, diferencial de x, y entonces la v va a ser e elevado a 2x, pero ojo, que lo tenemos que dividir entre 2 porque es la derivada del exponente.

106
00:10:37,179 --> 00:10:40,600
Y ahora aplicamos la fórmula de la integración por partes, ¿vale?

107
00:10:41,340 --> 00:10:42,559
Os la escribo.

108
00:10:43,220 --> 00:10:53,820
Os recuerdo, la integral de u diferencial de v es u por v menos la integral de v diferencial de u.

109
00:10:54,840 --> 00:10:55,000
¿Vale?

110
00:10:55,919 --> 00:10:57,500
Que espero que ya os la sepáis.

111
00:10:57,500 --> 00:11:09,559
u por v, bueno pues esto es x más 1 por elevado a 2x partido de 2 menos la integral de v diferencial de u

112
00:11:09,559 --> 00:11:17,980
es decir elevado a 2x partido de 2 diferencial de x, vale pues ahora la integral que tenemos ya sí que es inmediata

113
00:11:17,980 --> 00:11:30,320
¿verdad? Entonces, ¿esto qué va a ser? Pues tenemos el x más 1 por elevado a 2x, todo partido por 2, menos,

114
00:11:30,460 --> 00:11:36,100
y aquí lo que volvemos a tener es la integral de, o sea, perdón, al ser la integral de elevado a 2x,

115
00:11:36,279 --> 00:11:42,320
el 1 medio le podríamos sacar fuera, sería justamente la misma que acabamos de hacer, va a ser justamente este valor de v.

116
00:11:42,320 --> 00:11:48,000
Como tenemos un 2 en el denominador, con este otro 2 del denominador hace un cuarto, ¿vale?

117
00:11:48,000 --> 00:11:52,379
Luego esto es elevado a 2x partido de 4 más k.

118
00:11:53,440 --> 00:12:10,759
Y si queremos sacar factor común, lo podemos poner como e elevado a 2x que multiplica a x más 1 partido de 2 menos un cuarto más k, ¿vale?

119
00:12:10,759 --> 00:12:33,860
Incluso también podríamos operar el paréntesis, ya que estamos, esto me quedaría e elevado a 2x, que multiplica, y esto que sería 2x más 2, menos 1, entre 4, más k.

120
00:12:33,860 --> 00:12:47,799
En definitiva, sería e elevado a 2x que multiplica a 2x más 1 entre 4 más k, ¿vale?

121
00:12:48,200 --> 00:12:58,679
Lo podríamos dejar así o podríamos incluso haber sacado el 1 medio factor común o el 1 cuarto, en fin, como lo queramos dejar, estaría bien.

122
00:12:58,679 --> 00:13:04,840
Venga, vamos ahora con el 209, que en un principio pues parece bastante complicado, ¿verdad?

123
00:13:04,899 --> 00:13:10,940
Porque tenemos x por el seno de x por el coseno de x, entonces ¿cómo lo podemos agrupar?

124
00:13:10,940 --> 00:13:16,019
Porque tenemos aquí un producto, luego tiene pinta de que lo pudiéramos hacer por partes, ¿verdad?

125
00:13:16,519 --> 00:13:21,919
Pues a ver, fijaros, lo que siempre os digo, vosotros al miraros tienen que hablar, ¿vale?

126
00:13:22,200 --> 00:13:28,580
Yo tengo el producto de un seno por un coseno, eso significa, o sea, sabemos que la derivada del seno es el coseno

127
00:13:28,580 --> 00:13:33,759
y al revés. Por lo tanto, si esto viniera de una potencia, es decir, si el seno fuera

128
00:13:33,759 --> 00:13:39,840
elevado al cuadrado, su derivada sería dos veces el seno de x por la derivada del seno,

129
00:13:39,879 --> 00:13:44,419
que sería el coseno. Por lo tanto, yo lo que voy a hacer es una integración por partes

130
00:13:44,419 --> 00:13:50,039
uniendo el seno de x por el coseno de x. Para mí va a ser la función la que está derivada

131
00:13:50,039 --> 00:14:07,100
Y voy a llamar u a x, ¿vale? Y por lo tanto la derivada de u va a ser la derivada de x y mi diferencial de v va a ser el seno de x por el coseno de x.

132
00:14:07,100 --> 00:14:10,860
por el diferencial de x

133
00:14:10,860 --> 00:14:12,919
y mi v

134
00:14:12,919 --> 00:14:15,080
para que me quede en positivo

135
00:14:15,080 --> 00:14:17,419
y como la derivada del seno es el coseno en positivo

136
00:14:17,419 --> 00:14:20,039
va a ser el seno

137
00:14:20,039 --> 00:14:21,480
cuadrado de x

138
00:14:21,480 --> 00:14:21,740
¿vale?

139
00:14:22,980 --> 00:14:24,679
y entonces aquí sustituimos

140
00:14:24,679 --> 00:14:26,899
la fórmula u por v

141
00:14:26,899 --> 00:14:30,000
pues x por seno

142
00:14:30,000 --> 00:14:30,980
cuadrado de x

143
00:14:30,980 --> 00:14:33,320
menos la integral

144
00:14:33,320 --> 00:14:35,480
de v diferencial de u

145
00:14:35,480 --> 00:14:40,379
es decir, del seno cuadrado de x, diferencial de x.

146
00:14:40,860 --> 00:14:46,039
Y ahora lo que tengo que hacer es resolver la integral del seno cuadrado.

147
00:14:46,720 --> 00:14:53,039
Recordad lo que dijimos cuando los exponentes de la trigonométrica son pares,

148
00:14:53,639 --> 00:14:56,019
lo que hacíamos era jugar con la fórmula del ángulo doble.

149
00:14:56,759 --> 00:15:04,139
Entonces esto lo transformo y me queda x por el seno cuadrado de x menos la integral,

150
00:15:04,139 --> 00:15:15,399
y en lugar del seno cuadrado de x ponemos lo que vale por la fórmula, un medio de 1 menos el coseno de 2x, diferencial de x.

151
00:15:15,679 --> 00:15:19,379
Y de esta manera ya todo es inmediato, ¿vale?

152
00:15:20,759 --> 00:15:33,799
Voy abajo, esto va a ser x por el seno cuadrado de x menos, bueno lo he puesto directamente pero podemos hacer la distributiva de una vez, ¿vale?

153
00:15:33,799 --> 00:15:37,139
Es un medio por uno y el un medio por el coseno.

154
00:15:37,259 --> 00:15:40,299
Luego me quedaría la integral, y aquí tengo un menos,

155
00:15:40,419 --> 00:15:42,799
que lo voy a poner entre paréntesis para que no se me olvide.

156
00:15:43,460 --> 00:15:46,259
Un medio, la integral de un medio es un medio de x, ¿vale?

157
00:15:46,860 --> 00:15:52,639
Y ahora tendríamos menos la integral de un medio coseno de 2x.

158
00:15:53,279 --> 00:15:56,679
Luego tendríamos un medio, y si lo que tengo es un coseno,

159
00:15:57,120 --> 00:16:02,419
es porque viene de un seno, del seno de 2x.

160
00:16:02,419 --> 00:16:09,259
y me falta dividir por la derivada de la función de 2x que es 2, ¿vale?

161
00:16:09,679 --> 00:16:10,240
Más k.

162
00:16:11,600 --> 00:16:18,279
Luego aquí si quitamos el paréntesis esto sería x por el seno cuadrado de x

163
00:16:18,279 --> 00:16:30,539
menos un medio de x más un cuarto del seno de 2x más k, ¿vale?

164
00:16:30,539 --> 00:16:35,320
En un principio, más un cuarto, no sé si me falta un 2 en algún sitio.

165
00:16:36,620 --> 00:16:38,440
A ver, dejadme que lo repasa.

166
00:16:39,360 --> 00:16:46,100
Vale, si mira que lo he dicho, si viene de un cuadrado, tengo que dividir aquí entre 2.

167
00:16:46,320 --> 00:16:48,019
Siempre me como algo.

168
00:16:48,580 --> 00:16:54,500
Lo bueno es que luego cuando lo hago, sí que es cierto que de repente noto que hay alguna cosa rara que me va chirriando.

169
00:16:54,500 --> 00:17:02,360
¿Vale? Entonces aquí el seno estaba dividido entre dos y aquí el seno también está dividido entre dos.

170
00:17:02,980 --> 00:17:06,240
Este seno tiene que estar dividido entre dos, ¿vale?

171
00:17:07,859 --> 00:17:12,480
Y cuando vengo por aquí, a ver, me falta aquí un dividido entre dos.

172
00:17:14,220 --> 00:17:18,599
Este un medio se nos mantiene, el un medio, pero aquí estábamos.

173
00:17:18,980 --> 00:17:23,359
El seno, a ver, que me falta por algún sitio.

174
00:17:24,500 --> 00:17:29,859
x tal este un medio que está multiplicando a vale me falta poner este

175
00:17:29,859 --> 00:17:35,680
otro este 2 me lo he comido luego aquí tendría que estar también todo dividido

176
00:17:35,680 --> 00:17:42,940
entre 2 vale no sé si si veis lo que quiero decir

177
00:17:44,019 --> 00:17:50,339
como se me ha olvidado este 2 yo esta sustitución es decir lo voy a poner en

178
00:17:50,339 --> 00:18:01,779
Todo esto que he puesto aquí es solamente el seno cuadrado de x, ¿vale?

179
00:18:01,779 --> 00:18:10,019
Por lo tanto me falta ese 2 que está remarcado, es decir, que aquí fuera necesitaríamos tener un medio, ¿vale?

180
00:18:10,240 --> 00:18:22,960
Por lo tanto aquí sería un cuarto, no un medio, esto sería un cuarto, ¿vale?

181
00:18:22,960 --> 00:18:44,799
Y aquí también sería un cuarto, ¿vale? Aquí también sería un cuarto, ¿vale? Porque sería multiplicar ese un medio por ese un medio, ese un medio por un medio lo que me hace es un cuarto, ¿de acuerdo?

182
00:18:44,799 --> 00:18:52,099
por eso está aquí el 1 cuarto, y entonces aquí en el resultado final me falta aquí un partido por 2,

183
00:18:52,920 --> 00:18:59,259
aquí es un partido de 4 y aquí es un partido de 8, ¿vale?

184
00:19:00,619 --> 00:19:06,339
Esto es partido de 4 y esto es partido de 8.

185
00:19:08,440 --> 00:19:14,779
Ahora yo creo que sí, que ya sí que está bien, es que lo había hecho antes y me sonaba que daban los denominadores 2, 4,

186
00:19:14,799 --> 00:19:20,480
y 8. Vale, espero no haberos liado mucho. Y ya sabéis, sobre todo, lo importante es

187
00:19:20,480 --> 00:19:24,680
que nos podemos equivocar, pero siempre hay que revisar para ver las cosas que se nos

188
00:19:24,680 --> 00:19:29,180
han podido olvidar. Que es muy fácil que se nos olvide dividir por la derivada de algo

189
00:19:29,180 --> 00:19:34,440
o por alguna de las cosas que nos faltan. Venga, voy a escribir el 210. Bueno, pues

190
00:19:34,440 --> 00:19:41,039
vamos ya con el 210. Es una integral en la que tenemos una exponencial en el numerador

191
00:19:41,039 --> 00:19:47,680
y en el denominador, intentar una integración por partes como que no se ve claro con las exponenciales

192
00:19:47,680 --> 00:19:51,839
aquí tenemos, pues lo que vamos a hacer es el cambio de variable, ¿vale? El cambio de variable clásico

193
00:19:51,839 --> 00:19:58,480
que hemos visto, que es llamar t a elevado a x, siempre la potencia más pequeña que tengamos, ¿vale?

194
00:19:58,500 --> 00:20:04,579
Porque fijaos que aquí tenemos 3x, pero eso significa, bueno, si esto es igual a 3x, lo que sabemos es que

195
00:20:04,579 --> 00:20:14,019
derivada de t es igual a d elevado a x diferencial de x, ¿vale?

196
00:20:14,480 --> 00:20:24,240
Y lo que os estaba comentando, elevado a 3x es lo mismo que elevado a x elevado al cubo,

197
00:20:24,299 --> 00:20:28,700
ya hemos hecho algo parecido, luego esto sería t al cubo, ¿vale?

198
00:20:28,700 --> 00:20:37,059
pues sustituimos arriba la integral y aquí me queda t al cubo partido de 2 más t

199
00:20:37,059 --> 00:20:49,319
y el diferencial de x, el diferencial de x sería, a ver, espera, no, sabía yo que estaba haciendo,

200
00:20:49,920 --> 00:20:57,019
perdonad, perdonad, me he puesto a hacer a la vez partes, la costumbre de cuando siempre hacemos lo de partes,

201
00:20:57,019 --> 00:21:00,220
Yo al hacerlo digo, no puede ser que me quede una cosa rara

202
00:21:00,220 --> 00:21:02,680
¿Qué es lo que queremos? El diferencial de x

203
00:21:02,680 --> 00:21:03,799
Lo que hacíamos, ¿qué era?

204
00:21:04,880 --> 00:21:07,279
Sustituíamos, es decir, si t es igual a elevado a x

205
00:21:07,279 --> 00:21:10,859
x es el logaritmo neperiano de t

206
00:21:10,859 --> 00:21:15,259
Por lo tanto, diferencial de x es 1 partido por t

207
00:21:15,259 --> 00:21:17,740
diferencial de t

208
00:21:17,740 --> 00:21:21,960
Ahora sí, decía yo, digo, me he puesto primero como cuando hacemos partes

209
00:21:21,960 --> 00:21:24,319
que primero ponemos la u y calculamos la derivada

210
00:21:24,319 --> 00:21:27,579
No, yo no quiero la diferencial de t sino la diferencial de x

211
00:21:27,579 --> 00:21:29,720
Vale, ahora sí, disculpad

212
00:21:29,720 --> 00:21:32,539
Hemos sustituido bien el t cubo, el 2 más t

213
00:21:32,539 --> 00:21:35,000
Y ahora me falta sustituir el diferencial de x

214
00:21:35,000 --> 00:21:37,279
Que es justamente 1 partido por t

215
00:21:37,279 --> 00:21:38,859
Diferencial de t

216
00:21:38,859 --> 00:21:41,779
Operamos las dos fracciones

217
00:21:41,779 --> 00:21:44,420
Se nos simplifica una de las t

218
00:21:44,420 --> 00:21:46,180
Y me queda arriba t cuadrado

219
00:21:46,180 --> 00:21:48,420
Partido de 2 más t

220
00:21:48,420 --> 00:21:50,859
Diferencial de t

221
00:21:50,859 --> 00:21:53,880
Vale, nos queda una función racional

222
00:21:53,880 --> 00:21:56,759
Podemos hacer la división, vamos a poner aquí una raya

223
00:21:56,759 --> 00:22:03,140
Hacemos la división de t cuadrado entre, vamos a escribir t más 2

224
00:22:03,140 --> 00:22:10,480
t cuadrado entre t es t, t por 2 es 2t, por lo tanto aquí me queda menos 2t

225
00:22:10,480 --> 00:22:13,559
t por t es t cuadrado menos t cuadrado

226
00:22:13,559 --> 00:22:16,119
Se me va, me queda menos 2t

227
00:22:16,119 --> 00:22:19,960
Seguimos dividiendo, menos 2t entre t es menos 2

228
00:22:19,960 --> 00:22:23,759
Menos 2 por 2 es menos 4, por lo tanto más 4

229
00:22:23,759 --> 00:22:26,279
menos 2t por t menos 2t

230
00:22:26,279 --> 00:22:28,180
opuesta 2t

231
00:22:28,180 --> 00:22:30,660
se me va y me queda 4

232
00:22:30,660 --> 00:22:31,359
¿vale?

233
00:22:31,640 --> 00:22:33,980
por lo tanto aquí lo que me queda

234
00:22:33,980 --> 00:22:35,380
es la integral

235
00:22:35,380 --> 00:22:38,619
voy a esperar que yo primero

236
00:22:38,619 --> 00:22:39,839
sí, sí, sí, sí

237
00:22:39,839 --> 00:22:42,160
lo de siempre, perdón, es que

238
00:22:42,160 --> 00:22:44,019
lo estaba viendo de otra manera

239
00:22:44,019 --> 00:22:46,240
dividendo partido por divisor

240
00:22:46,240 --> 00:22:47,859
es igual a quién

241
00:22:47,859 --> 00:22:50,599
cociente más resto

242
00:22:50,599 --> 00:22:51,900
partido de divisor

243
00:22:51,900 --> 00:22:53,920
¿Vale? Sí, sí, nos va a salir directo.

244
00:22:54,460 --> 00:23:05,380
El cociente es t menos 2, que no lo veía, y le tengo que sumar el resto, que es 4, partido por el divisor, que es t más 2, o 2 más t, como lo queráis poner.

245
00:23:06,220 --> 00:23:11,339
De cualquiera de las formas, todo lo que nos queda ahora son integrales inmediatas, ¿vale?

246
00:23:12,579 --> 00:23:19,440
Escribo aquí abajo el resultado, sería la integral de t, este cuadrado, partido de 2, ¿vale?

247
00:23:19,440 --> 00:23:31,759
La integral de menos 2 es menos 2t más 4 por el logaritmo neperiano de t más 2.

248
00:23:32,920 --> 00:23:42,420
Siempre recordad que el logaritmo neperiano lo ponemos, o sea, cuando calculamos el logaritmo lo ponemos entre valores absolutos, ¿vale?

249
00:23:43,039 --> 00:23:43,640
Más k.

250
00:23:44,339 --> 00:23:48,039
Y ahora, ¿qué es lo que tengo que hacer que no se me olvide, que en uno de los vídeos se me olvidó?

251
00:23:48,039 --> 00:23:52,000
siempre que hacemos un cambio de variable deshacemos el cambio de variable

252
00:23:52,000 --> 00:23:55,859
luego esto va a ser igual, en lugar de t ponemos elevado a x

253
00:23:55,859 --> 00:23:59,559
y me va a quedar elevado a x al cuadrado es 2x

254
00:23:59,559 --> 00:24:05,200
partido por 2 menos 2 por elevado a x

255
00:24:05,200 --> 00:24:15,019
más 4 por el logaritmo neperiano de elevado a x más 2 más k

256
00:24:15,980 --> 00:24:22,460
Entonces siempre tener cuidado con eso, que no se os olvide, siempre deshacer el cambio.

257
00:24:23,839 --> 00:24:25,579
Vamos ahora con el 211.

258
00:24:26,140 --> 00:24:32,579
Tenemos un producto de x por un logaritmo, pues nos está llamando para que hagamos una integración por partes.

259
00:24:32,579 --> 00:24:39,359
En este caso vamos a llamar u al logaritmo porque no la sabemos integrar.

260
00:24:39,799 --> 00:24:44,799
Luego nuestra función u va a ser el logaritmo neperiano de 1 más x.

261
00:24:45,019 --> 00:24:52,920
y entonces su diferencial de u va a ser la derivada del logaritmo,

262
00:24:53,160 --> 00:24:56,880
pues en el denominador, 1 más x, el argumento,

263
00:24:56,920 --> 00:25:00,339
y arriba la derivada, que es 1, diferencial de x, ¿vale?

264
00:25:00,839 --> 00:25:02,759
Y por otro lado, que es lo que me quedaba,

265
00:25:03,059 --> 00:25:07,140
mi diferencial de v va a ser x diferencial de x.

266
00:25:07,779 --> 00:25:13,019
Por lo tanto, v es x cuadrado partido de 2.

267
00:25:13,019 --> 00:25:15,619
Venga, sustituimos

268
00:25:15,619 --> 00:25:18,900
La fórmula, os la recuerdo, os la sabéis

269
00:25:18,900 --> 00:25:20,720
Venga, vamos a recordarla

270
00:25:20,720 --> 00:25:24,099
Integral de u diferencial de v

271
00:25:24,099 --> 00:25:26,920
Es u por v

272
00:25:26,920 --> 00:25:31,039
Menos la integral de v diferencial de u

273
00:25:31,039 --> 00:25:31,960
¿Vale?

274
00:25:33,019 --> 00:25:33,779
Venga

275
00:25:33,779 --> 00:25:38,500
Seguimos entonces, ponemos u por v

276
00:25:38,500 --> 00:25:41,180
Es decir, x cuadrado partido de 2

277
00:25:41,180 --> 00:25:51,430
por el logaritmo neperiano de 1 más x menos la integral de v diferencial de u.

278
00:25:51,430 --> 00:26:03,190
Es decir, esto sería x cuadrado partido de 2 por 1 partido de 1 más x diferencial de x.

279
00:26:03,509 --> 00:26:07,309
Hay veces que es que no quiere escribir todo esto.

280
00:26:08,009 --> 00:26:12,190
Vale, pues vamos a operar y me queda.

281
00:26:13,390 --> 00:26:24,630
x cuadrado partido por 2 por el logaritmo neperiano de 1 más x menos la integral de, en el numerador me queda x cuadrado

282
00:26:24,630 --> 00:26:31,670
y en el denominador me queda 2 que multiplica a 1 más x, diferencial de x, ¿vale?

283
00:26:32,049 --> 00:26:39,309
¿Qué está ocurriendo ahora? Que volvemos a tener una integral que es una función racional, que tenemos fracciones.

284
00:26:39,309 --> 00:26:43,490
el grado del numerador es más grande que el del denominador

285
00:26:43,490 --> 00:26:45,990
por lo tanto podemos dividir

286
00:26:45,990 --> 00:26:50,069
el 2 del denominador es como si lo sacara afuera

287
00:26:50,069 --> 00:26:52,470
no le voy a hacer caso, de hecho lo voy a sacar

288
00:26:52,470 --> 00:26:57,690
y lo que voy a hacer va a ser dividir x cuadrado entre x más 1

289
00:26:57,690 --> 00:27:01,930
esto sería ax, x por 1 menos x

290
00:27:01,930 --> 00:27:04,950
bueno, x por 1 es x, ponemos el opuesto, menos x

291
00:27:04,950 --> 00:27:08,730
x por x, x cuadrado, con el opuesto, menos x cuadrado

292
00:27:08,730 --> 00:27:23,890
Se me va y aquí me queda menos x, podemos seguir dividiendo, menos x entre x es menos 1, menos 1 por 1 menos 1, opuesto más 1, menos 1 por x menos x, opuesto más x, sumamos y se me va.

293
00:27:23,890 --> 00:27:41,910
Y entonces vamos a ir poniendo aquí abajo lo que me queda. Teníamos de antes el x cuadrado partido por 2 por el logaritmo neperiano de 1 más x menos, y ahora dentro, bueno, he dicho que iba a sacar fuera el 1 medio, ¿vale?

294
00:27:41,910 --> 00:27:47,809
Y dentro de la integral, lo que me queda que es, recordáis la fórmula, ¿verdad?

295
00:27:48,670 --> 00:27:56,529
Dividendo, partido de divisor es igual a cociente más el resto partido de divisor.

296
00:27:57,349 --> 00:28:04,450
Por lo tanto, cociente x menos 1 más el resto, que se me ha olvidado ponerlo, que es 1,

297
00:28:05,710 --> 00:28:10,569
entre el divisor, que es x más 1, diferencial de x.

298
00:28:10,569 --> 00:28:12,990
Y veis que ahora ya todas las integrales son inmediatas.

299
00:28:13,890 --> 00:28:40,190
Luego volvemos a escribir lo que ya teníamos resuelto, el x cuadrado partido por 2 por el logaritmo neperiano de 1 más x menos 1 medio, voy a ponerlo entre paréntesis, y ahora esto sería x cuadrado partido de 2 menos x, y aquí lo que nos queda es otro logaritmo neperiano de 1 más x o de x más 1, como lo queramos poner.

300
00:28:40,190 --> 00:28:53,509
vale, cerramos el paréntesis y me falta la k, vale, este sería, podemos operar un poquito

301
00:28:53,509 --> 00:29:01,670
si lo queremos dejar un poco más normal, pero bueno, o si no lo podríamos, lo podríamos

302
00:29:01,670 --> 00:29:08,170
dejar así directamente, aunque lo que estoy mirando, a ver, es que me queda un x cuadrado

303
00:29:08,170 --> 00:29:10,190
partido por 2, pero estaba bien eso, ¿no?

304
00:29:10,829 --> 00:29:12,009
La derivada de...

305
00:29:12,009 --> 00:29:13,289
Uy, no. Sí, sí.

306
00:29:14,130 --> 00:29:16,329
Está bien, está bien. Vale, no sé.

307
00:29:16,509 --> 00:29:18,009
Hay un 2 por ahí que de repente

308
00:29:18,009 --> 00:29:20,210
me pasa como en el ejercicio anterior,

309
00:29:20,329 --> 00:29:22,470
que de repente los doses se me

310
00:29:22,470 --> 00:29:24,109
van. Voy a pausar,

311
00:29:24,269 --> 00:29:26,109
voy a revisar y os digo si me he vuelto a equivocar.

312
00:29:27,369 --> 00:29:28,210
Bueno, yo lo he estado

313
00:29:28,210 --> 00:29:29,829
revisando y no lo sé.

314
00:29:30,390 --> 00:29:32,390
Yo creo que no... Si veis algún fallo

315
00:29:32,390 --> 00:29:34,349
me lo decís, ¿vale? Pero llega

316
00:29:34,349 --> 00:29:36,349
un momento en el que con tantos ejercicios

317
00:29:36,349 --> 00:29:40,829
seguidos. No sé si he cometido alguna cosilla, ¿vale? Venga, vamos a por el último, el

318
00:29:40,829 --> 00:29:47,250
212 de este vídeo, que se está alargando mucho. Pues nada, para acabar con uno sencillito,

319
00:29:47,670 --> 00:29:51,349
es una integral inmediata, ¿verdad? Porque lo podemos transformar aunque tenemos una

320
00:29:51,349 --> 00:29:56,250
raíz. En el fondo lo que tenéis que fijaros, ¿qué hay dentro de la raíz? 1 más x cuadrado,

321
00:29:56,250 --> 00:30:01,710
¿verdad? Es el radicando. ¿Quién es su derivada? 2x. Y tengo una x fuera. Luego,

322
00:30:01,710 --> 00:30:08,529
En el fondo, lo que tengo aquí es una función potencial, o sea, sería x por 1 más x cuadrado,

323
00:30:08,589 --> 00:30:11,490
que en lugar de raíz la voy a poner como potencia, ¿vale?

324
00:30:11,630 --> 00:30:12,509
Diferencial de x.

325
00:30:13,170 --> 00:30:24,230
Es decir, que lo que yo tengo fuera, esta x de fuera, es justamente la derivada de la función que está elevada, ¿vale?

326
00:30:24,230 --> 00:30:27,230
Luego esto es la función...

327
00:30:28,170 --> 00:30:29,230
Bueno, a ver si quiere escribir...

328
00:30:30,470 --> 00:30:31,230
No va a escribir...

329
00:30:33,599 --> 00:30:46,920
La función 1 más x cuadrado elevado a 1 medio más 1 dividido entre el 1 medio más 1 y además, ¿qué es lo que me falta?

330
00:30:47,019 --> 00:30:52,519
Porque la derivada de lo de dentro del 1 más x cuadrado es 2x. Como solo tengo una x me falta un 2.

331
00:30:52,519 --> 00:31:14,099
Luego multiplico por 2. Más K. ¿Y esto cuánto va a ser? Pues esto es 1 más x cuadrado elevado a 3 medios partido de 3 medios por 2.

332
00:31:14,099 --> 00:31:33,799
Por lo tanto, los 2 se me van. Más k. Y esto lo podemos escribir como la raíz cuadrada de 1 más x cuadrado al cubo, ¿vale? Partido de 3 más k.

333
00:31:33,799 --> 00:31:43,039
y si queréis podemos, más k, que no se ha dibujado, podemos sacar un, como tiene mayor exponente que el índice,

334
00:31:43,039 --> 00:31:53,880
podemos sacar un 1 más x cuadrado, que multiplica la raíz de 1 más x cuadrado y todo ello dividido entre 3 más k, ¿vale?

335
00:31:53,920 --> 00:31:57,259
Pero vamos que estos pasos tampoco, este último haría falta hacerlo.