1
00:00:01,980 --> 00:00:03,740
Propiedades de los determinantes.

2
00:00:05,620 --> 00:00:10,519
Primera, el determinante de una matriz A es igual al determinante de su traspuesta.

3
00:00:11,019 --> 00:00:14,419
Se indica el determinante de A igual al determinante de A traspuesta.

4
00:00:18,600 --> 00:00:24,260
Segunda, si se multiplican todos los elementos de una fila o una columna por un escalar K,

5
00:00:24,679 --> 00:00:27,239
el determinante queda multiplicado por ese mismo número.

6
00:00:27,940 --> 00:00:34,039
Fijaos, partimos por ejemplo de este determinante de aquí, un determinante de orden 3.

7
00:00:34,759 --> 00:00:40,460
Entonces, a la primera columna la voy a multiplicar toda ella por un escalar, por K.

8
00:00:41,820 --> 00:00:49,880
Entonces el determinante, el nuevo determinante que se me ha formado, es igual a K por el determinante inicial.

9
00:00:51,159 --> 00:00:52,500
Esto lleva dos implicaciones.

10
00:00:52,500 --> 00:00:58,579
primero, que gracias a esta propiedad lo que va a hacer es que me va a permitir sacar factores comunes a todos los elementos

11
00:00:58,579 --> 00:01:03,119
de una fila a una columna, lo cual va a hacer que cuando tenga calculado un determinante

12
00:01:03,119 --> 00:01:05,879
se me va a reducir en el cálculo

13
00:01:05,879 --> 00:01:17,439
y segundo, el determinante de la matriz que resulta de multiplicar escalarmente K por A

14
00:01:17,439 --> 00:01:21,340
es igual a K elevado a N por el determinante de A

15
00:01:21,340 --> 00:01:35,640
Fijaos, la matriz que resulta de multiplicar K por A es una matriz en la que todos los elementos de A están multiplicados por K, van a aparecer multiplicados por K

16
00:01:36,099 --> 00:01:45,219
Si tengo N filas o N columnas, vamos a fijarnos en N filas, yo podré sacar factor común por cada fila ese factor K

17
00:01:46,000 --> 00:01:49,879
Luego, como tiene n filas, podré sacar el factor k n veces.

18
00:01:50,620 --> 00:01:54,840
Luego, este determinante será k elevado a n por el determinante de A.

19
00:02:00,579 --> 00:02:04,159
Bien, veamos un ejemplo la propiedad de determinantes que acabamos de ver.

20
00:02:04,540 --> 00:02:08,360
Nos dice que relaciona el antiguo determinante de A y este otro determinante.

21
00:02:08,599 --> 00:02:14,500
Primero observamos, el segundo determinante tiene la misma segunda y tercera columna que la de A.

22
00:02:14,500 --> 00:02:21,680
Y la primera columna del segundo determinante está formada por los mismos elementos que la primera columna del determinante de A,

23
00:02:21,860 --> 00:02:24,080
pero todos ellos multiplicados por el factor 2.

24
00:02:24,479 --> 00:02:30,639
Pues vamos a ver cuál es el resultado de cada uno de estos determinantes.

25
00:02:31,300 --> 00:02:39,550
Determinante de A es el determinante 2, 1, 2, 1, 2, 0, 3, 5, 6.

26
00:02:39,550 --> 00:02:41,969
calculamos con la regla de Sarrus

27
00:02:41,969 --> 00:02:44,270
2 por 2, 4 por 6, 24

28
00:02:44,270 --> 00:02:46,889
más 1 por 0, 0

29
00:02:46,889 --> 00:02:48,129
y por 3, 0

30
00:02:48,129 --> 00:02:51,050
más 5 por 1, 5 por 2, 10

31
00:02:51,050 --> 00:02:55,129
menos 3 por 2, 6 por 2, 12

32
00:02:55,129 --> 00:02:58,009
menos 5 por 0, 0 y por 2, 0

33
00:02:58,009 --> 00:03:00,770
y menos 1 por 1, 1 y por 6, 6

34
00:03:00,770 --> 00:03:02,849
igual, agrupamos

35
00:03:02,849 --> 00:03:05,150
términos positivos 34

36
00:03:05,150 --> 00:03:08,590
menos términos negativos 18

37
00:03:08,590 --> 00:03:11,330
34 menos 18, 16

38
00:03:11,330 --> 00:03:13,289
Luego el determinante de A vale 16

39
00:03:13,289 --> 00:03:16,270
Calculemos ahora el otro determinante

40
00:03:16,270 --> 00:03:18,590
El que está formado por la primera columna

41
00:03:18,590 --> 00:03:22,610
2 por 2, 2 por 1, 2 por 3

42
00:03:22,610 --> 00:03:26,409
1, 2, 2, 0, 5, 6

43
00:03:26,409 --> 00:03:28,729
Antes de desarrollar el determinante

44
00:03:28,729 --> 00:03:31,610
Vamos a resolver las operaciones que tenemos en la primera columna

45
00:03:31,610 --> 00:03:37,349
4, 2, 6, 1, 2, 5, 2, 0, 6

46
00:03:37,349 --> 00:04:00,729
Y ahora de nuevo, desarrollamos este determinante por sarros, 4 por 2, 8, por 6, 48, más 1 por 0, 0, por 6, 0, más 2 por 5, 10, por 2, 20, menos 6 por 2, 12, por 2, 24, menos 5 por 0, 0, por 4, 0, y menos 2 por 1, 2, por 6, 12.

47
00:04:00,729 --> 00:04:08,490
De nuevo, agrupamos primero los términos positivos, 68, menos, y los términos negativos, 36.

48
00:04:09,150 --> 00:04:11,849
Entonces, esto nos da 32.

49
00:04:12,729 --> 00:04:13,870
¿Qué relación hay?

50
00:04:13,870 --> 00:04:22,629
Pues que el determinante de A, perdón, la relación es que este determinante,

51
00:04:22,629 --> 00:04:36,589
El determinante 2 por 2, 2 por 1, 2 por 3, 1, 2, 2, 0, 5, 6, su valor es el doble que el determinante de A.

52
00:04:38,870 --> 00:04:51,819
Esta columna, los elementos de esta columna están todos multiplicados por 2 y me sale entonces, ese es el factor que multiplica al determinante de A.

53
00:04:51,819 --> 00:05:04,709
Bien, sabiendo que este determinante vale 2, calcula este otro determinante.

54
00:05:04,949 --> 00:05:07,829
Esto lo vamos a hacer utilizando las propiedades de los determinantes.

55
00:05:08,410 --> 00:05:10,069
Venga, pues copiamos el determinante.

56
00:05:10,550 --> 00:05:19,750
3A, 3B, 15C, DE, 5F, GH, 5I.

57
00:05:21,589 --> 00:05:21,910
Vale.

58
00:05:21,910 --> 00:05:23,990
me fijo por ejemplo

59
00:05:23,990 --> 00:05:26,110
que toda esta fila

60
00:05:26,110 --> 00:05:28,589
está multiplicada, todos los elementos de esa fila

61
00:05:28,589 --> 00:05:29,810
están multiplicados por 3

62
00:05:29,810 --> 00:05:32,329
luego podría sacarlo

63
00:05:32,329 --> 00:05:33,550
factor común el 3

64
00:05:33,550 --> 00:05:35,430
y además lo voy a hacer a la B

65
00:05:35,430 --> 00:05:38,269
toda esta columna veo que todos los elementos

66
00:05:38,269 --> 00:05:40,490
están multiplicados o son múltiplos

67
00:05:40,490 --> 00:05:42,250
de 5, luego sacamos 5

68
00:05:42,250 --> 00:05:43,970
factor común, entonces

69
00:05:43,970 --> 00:05:45,649
si aquí he sacado el 3

70
00:05:45,649 --> 00:05:48,149
y en este elemento también he sacado el 5

71
00:05:48,149 --> 00:05:48,889
me quedaría

72
00:05:48,889 --> 00:05:51,410
A, B, C

73
00:05:51,410 --> 00:05:59,649
D, E, F, porque aquí he sacado el factor 5, G, H, I.

74
00:06:00,610 --> 00:06:06,810
Uso el determinante que me han dado, luego esto es 3 por 5 y por 2, esto vale 30.

75
00:06:07,410 --> 00:06:08,850
Ese es el valor del determinante.

76
00:06:11,550 --> 00:06:17,149
Si los elementos de una fila o columna se pueden descomponer en suma de 2 o más sumandos,

77
00:06:17,149 --> 00:06:26,850
el determinante será igual a la suma de dos o más determinantes en los que las restantes filas o columnas se mantienen iguales.

78
00:06:27,649 --> 00:06:33,769
Y en dicha fila o columna aparece el primer sumando, el segundo sumando, etc.

79
00:06:34,069 --> 00:06:44,230
Por ejemplo, si yo tengo una matriz de orden 3 y me doy cuenta que la primera columna la puedo descomponer como suma de dos sumandos,

80
00:06:44,230 --> 00:07:08,170
Entonces el determinante de esa matriz será la suma de dos determinantes, tenía dos sumandos, uno y dos, pues será la suma de dos determinantes, donde las dos últimas columnas siguen siendo iguales y ahora la primera columna del primer determinante será el primer sumando y la segunda columna, o sea, y la primera columna del segundo determinante será el segundo sumando.

81
00:07:08,170 --> 00:07:12,490
esto también hace que se simplifiquen los cálculos

82
00:07:12,490 --> 00:07:20,050
si en un determinante los elementos de una fila o columna son nulos

83
00:07:20,050 --> 00:07:21,970
entonces el determinante es nulo

84
00:07:21,970 --> 00:07:24,629
es decir, el determinante vale 0

85
00:07:24,629 --> 00:07:27,750
esto es fácil de comprobar

86
00:07:27,750 --> 00:07:32,089
si desarrollásemos por ejemplo este determinante de orden 3 por sarro

87
00:07:32,089 --> 00:07:36,970
sería el producto de A11 por 0 por A33

88
00:07:36,970 --> 00:07:38,769
0, desaparece este sumando

89
00:07:38,769 --> 00:07:48,649
El producto de A12 por 0 y por A31, 0, desaparece. El producto de 0 por A32 por A13, 0, desaparece.

90
00:07:49,310 --> 00:07:53,410
Menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria, 0.

91
00:07:54,230 --> 00:08:02,290
El producto menos el producto de los elementos de la línea paralela a la diagonal secundaria por su vértice opuesto, 0.

92
00:08:02,290 --> 00:08:10,149
y menos el producto de los elementos de la otra línea paralela a la diagonal secundaria por su vértice opuesto, cero también.

93
00:08:10,329 --> 00:08:18,350
Luego este determinante es cero y da igual que sea la segunda columna, la segunda fila, primera fila, tercera columna, da igual.

94
00:08:23,689 --> 00:08:28,910
Al permutar, intercambiar dos filas o dos columnas, entonces el determinante cambia de signo.

95
00:08:28,910 --> 00:08:47,909
Por ejemplo, si yo tenía este determinante inicial de orden 3 y quiero o intercambio la segunda y la tercera columna, veis, he intercambiado lo que está en la segunda columna, aquí está la tercera y lo que estaba en la tercera aquí pasa a ser la segunda, entonces el determinante cambia de ser.

96
00:08:47,909 --> 00:08:59,440
Bien, ¿qué ocurre con el determinante cuando permutamos la primera y segunda columna?

97
00:08:59,980 --> 00:09:01,000
Bueno, pues vamos a calcular

98
00:09:01,000 --> 00:09:02,419
Por un lado el determinante de A

99
00:09:02,419 --> 00:09:03,879
Aplicamos la regla de Sarrus

100
00:09:03,879 --> 00:09:05,919
1 por 3, 3 por 5, 15

101
00:09:05,919 --> 00:09:10,840
Más 2 por menos 1, menos 2 por 3, menos 6

102
00:09:10,840 --> 00:09:15,600
Más 4 por 4, 16 por 3, 48

103
00:09:15,600 --> 00:09:19,120
Menos 3 por 3, 9 por 3, 27

104
00:09:19,120 --> 00:09:22,980
Menos 4 por 2, 8, por 5, 40

105
00:09:22,980 --> 00:09:27,440
Y menos 4 por menos 1, menos 4, por 1, menos 4

106
00:09:27,440 --> 00:09:37,820
Quitamos paréntesis y nos queda 15, menos 6, más 48, menos 27, menos 40 y más 4

107
00:09:37,820 --> 00:09:40,320
Agrupamos términos positivos

108
00:09:40,320 --> 00:09:45,700
15, más 48, 63, más 4, 67

109
00:09:45,700 --> 00:09:54,700
7 menos, agrupamos términos negativos, menos 6 más 27, 33 más 40, 73.

110
00:09:55,620 --> 00:09:58,419
Luego esto nos queda menos 6.

111
00:10:00,519 --> 00:10:08,580
Ahora vamos a formar el determinante que resulte de permutar la primera y segunda columna,

112
00:10:08,639 --> 00:10:12,139
es decir, la segunda columna del determinante de A, ahora pasa a ser la primera.

113
00:10:12,139 --> 00:10:15,440
2, 3, 4

114
00:10:15,440 --> 00:10:17,100
y la primera del determinante de A

115
00:10:17,100 --> 00:10:18,340
ahora pasa a ser la segunda

116
00:10:18,340 --> 00:10:20,039
1, 4, 3

117
00:10:20,039 --> 00:10:22,639
y la tercera queda invariante

118
00:10:22,639 --> 00:10:24,320
queda igual

119
00:10:24,320 --> 00:10:26,539
y calculamos el valor del determinante

120
00:10:26,539 --> 00:10:27,639
por la regla de Sarrus

121
00:10:27,639 --> 00:10:30,179
2 por 4, 8 por 5, 40

122
00:10:30,179 --> 00:10:32,519
más 1 por menos 1

123
00:10:32,519 --> 00:10:35,419
menos 1 por 4, menos 4

124
00:10:35,419 --> 00:10:39,340
más 3 por 3, 9 por 3, 27

125
00:10:39,340 --> 00:10:44,240
menos 4 por 4, 16 por 3, 48

126
00:10:44,240 --> 00:10:48,720
menos 3 por menos 1, menos 3 por 2, menos 6

127
00:10:48,720 --> 00:10:52,720
y menos 3 por 1, 3 por 5, 15

128
00:10:52,720 --> 00:10:57,379
si quitamos paréntesis nos queda 40 menos 4

129
00:10:57,379 --> 00:11:03,039
más 27 menos 48 más 6 y menos 15

130
00:11:03,039 --> 00:11:05,480
si nos fijamos ahora en estos sumandos

131
00:11:05,480 --> 00:11:08,960
vemos que los que antes estaban en positivo

132
00:11:08,960 --> 00:11:16,679
el 15, 48 y el 4 ahora están en negativo

133
00:11:16,679 --> 00:11:18,759
y los que antes estaban en negativo

134
00:11:18,759 --> 00:11:25,440
el menos 6, el menos 27 y el 40 están en positivo

135
00:11:25,440 --> 00:11:28,279
luego los sumandos son los mismos solo que cambiados de signo

136
00:11:28,279 --> 00:11:31,440
hacemos las operaciones, sumamos por los lados positivos

137
00:11:31,440 --> 00:11:47,100
40 más 27, 67, más 6, 73, menos 4 más 48, 52, 52 menos 15, 67, y esto nos da 6.

138
00:11:47,879 --> 00:11:52,799
Por tanto, ¿qué ocurre? Lo que ocurre es que el determinante ha cambiado de signo.

139
00:11:53,480 --> 00:11:59,639
Si un determinante tiene dos líneas o filas paralelas iguales, ese determinante vale 0.

140
00:11:59,639 --> 00:12:12,960
Si una matriz tiene dos filas o dos columnas proporcionales, su determinante es cero.

141
00:12:14,200 --> 00:12:20,120
Fijaos, esto es consecuencia de la propiedad anterior.

142
00:12:20,919 --> 00:12:26,279
Si nos fijamos primero en este determinante, esta última columna, la tercera columna, es proporcional a esta.

143
00:12:26,740 --> 00:12:32,059
En esta columna todos tienen el factor común K, podría sacarlo fuera del determinante.

144
00:12:32,059 --> 00:12:38,360
Y entonces me quedaría K por el determinante que está formado por una segunda y tercera columna exactamente iguales.

145
00:12:38,480 --> 00:12:40,720
Aplicando la propiedad 6, esto vale 0.

146
00:12:45,169 --> 00:12:50,789
Comprueba que el determinante de orden 3 es igual a 0.

147
00:12:51,169 --> 00:12:55,330
Fijaos, este determinante de orden 3 tiene las dos primeras columnas iguales.

148
00:12:56,009 --> 00:12:58,990
Es una de las propiedades que acabamos de ver ahora.

149
00:12:58,990 --> 00:13:04,549
Entonces vamos a resolver este determinante y vamos a comprobar que efectivamente sí que vale 0.

150
00:13:08,690 --> 00:13:14,250
Bueno, vamos a calcular este determinante, por cambiar y por variar un poquito vamos a utilizar este truco de la regla de Sarrus,

151
00:13:14,570 --> 00:13:25,570
es decir, el que añadíamos las dos primeras filas por debajo y entonces consideramos la diagonal principal y sus otras dos paralelas

152
00:13:25,570 --> 00:13:35,350
y consideramos la diagonal secundaria y sus otras dos paralelas.

153
00:13:36,029 --> 00:13:39,870
Entonces, este nos quedaba, las que están marcadas en negro,

154
00:13:39,870 --> 00:13:43,490
la suma de esos productos y las que están marcadas en azul,

155
00:13:44,289 --> 00:13:49,029
haremos la resta, la diferencia de esos productos, o sea, vamos a ir uno menos por delante.

156
00:13:49,029 --> 00:13:58,490
1 por 4 por 5, 20, más 4 por 3, 12, por 3, 36, más 3 por 1 y menos 1, menos 3

157
00:13:58,490 --> 00:14:09,129
menos 3 por 4, 12, por 3, 36, menos 1 por 3 y por menos 1, sería menos 3

158
00:14:09,129 --> 00:14:13,309
y menos 4 por 1 y por 5, sería menos 20

159
00:14:13,309 --> 00:14:18,269
Fijaos, aquí me queda 36 en positivo, 36 en negativo

160
00:14:18,269 --> 00:14:21,269
Menos 20 en negativo, más 20 en positivo

161
00:14:21,269 --> 00:14:25,029
Esto es un menos por menos más, más 3 con menos 3

162
00:14:25,029 --> 00:14:28,450
Luego efectivamente este determinante es 0

163
00:14:28,450 --> 00:14:35,159
Justifica, ¿por qué ese determinante es 0?

164
00:14:35,299 --> 00:14:37,899
Bueno, esto lo podríamos justificar por dos propiedades

165
00:14:37,899 --> 00:14:40,279
La primera, por ejemplo

166
00:14:40,279 --> 00:14:45,919
Nos podemos dar cuenta de que esta columna, la columna 2

167
00:14:45,919 --> 00:14:49,620
es dos veces la columna 1

168
00:14:49,620 --> 00:14:52,559
es decir, la columna 2 es proporcional

169
00:14:52,559 --> 00:14:55,600
entonces, por la propiedad que nos dice

170
00:14:55,600 --> 00:14:58,740
que si dos líneas paralelas o fila o columna

171
00:14:58,740 --> 00:15:01,919
son proporcionales, el determinante es 0

172
00:15:01,919 --> 00:15:03,080
eso por un lado

173
00:15:03,080 --> 00:15:07,200
por otro lado, podríamos decir

174
00:15:07,200 --> 00:15:09,019
el determinante

175
00:15:09,019 --> 00:15:11,539
3, 6, 9

176
00:15:11,539 --> 00:15:14,100
6, 12, 18

177
00:15:14,100 --> 00:15:24,120
0, 1, menos 2, este determinante lo podemos, si sacamos vamos a utilizar la propiedad que podríamos sacar factor común

178
00:15:24,120 --> 00:15:32,980
Nos fijamos que esta columna tiene como factor común el 3 y que esta columna tiene como factor común el 6

179
00:15:32,980 --> 00:15:43,240
Luego este determinante lo puedo calcular como 3 por 6 por, si a esta columna he sacado factor común 3 me queda 1, 2, 3

180
00:15:43,240 --> 00:16:00,480
Si esta columna ha sacado factor 6 me queda 1, 2, 3, 0, 1, menos 2 y por tanto como aquí tengo dos columnas iguales, este determinante es 0, luego el producto de 3 por 6 y por 0, 0.

181
00:16:00,480 --> 00:16:12,480
Y efectivamente podríamos haber calculado el determinante y comprobar que el valor era 0, o sea por tres formas, para que veáis que si me doy las propiedades puedo rápidamente calcular un determinante.

182
00:16:13,240 --> 00:16:13,460
Gracias.