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00:00:00,430 --> 00:00:03,910
Hola, en este vídeo vamos a resolver este problema de optimización.

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00:00:04,610 --> 00:00:09,689
Nos dicen que disponemos de una barra metálica de 10 metros y debemos construir esa figura.

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00:00:10,929 --> 00:00:18,010
En el apartado A nos dicen que calculemos el área, perdón, la altura del triángulo equilátero en función de X.

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00:00:19,050 --> 00:00:19,769
Pues vamos a ello.

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00:00:21,390 --> 00:00:36,960
Esa es fácil, voy a hacer aquí arriba, porque si tenemos un triángulo equilátero,

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00:00:36,960 --> 00:00:44,740
Pues ya sabemos que esto es x, esto es x, esto es x y la altura coincide en el punto medio.

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00:00:45,140 --> 00:00:51,140
Por lo tanto, si llamamos a la altura h, pues usando Pitágoras tendremos que h al cuadrado,

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00:00:51,380 --> 00:01:03,679
por usarlo de formas como es, sería h al cuadrado más el otro cateto, que es x medios al cuadrado,

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00:01:04,379 --> 00:01:06,540
debe ser igual a la hipotenusa al cuadrado.

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00:01:06,540 --> 00:01:15,480
Esto va a quedar h cuadrado más x cuadrado partido de 4 igual a x cuadrado

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00:01:15,480 --> 00:01:22,659
Luego h cuadrado es igual a x al cuadrado menos x cuadrado partido por 4

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00:01:22,659 --> 00:01:26,859
Que es igual a 3x al cuadrado partido por 4

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00:01:26,859 --> 00:01:35,920
Tomando la raíz sacamos que la altura es raíz de 3 partido por 2 x

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00:01:35,920 --> 00:01:39,079
Bueno, pues ya tenemos el apartado A hecho.

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00:01:40,140 --> 00:01:41,280
Vamos con el B.

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00:01:43,439 --> 00:01:47,739
El B nos dice en el área que sea máxima.

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00:01:48,079 --> 00:01:54,219
Entonces, si volvemos a poner la figura, deberemos poner otra letra más.

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00:01:56,379 --> 00:02:03,659
Porque esto es X, esto es X, esto es X, esto es Y, esto es Y y esto es X.

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00:02:04,599 --> 00:02:08,259
Así es que el área de esta figura va a ser igual.

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00:02:08,379 --> 00:02:10,199
El área del triángulo, que es base por altura.

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00:02:10,860 --> 00:02:14,879
La base x, la altura es h, pero la h hemos sacado, que es esto,

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00:02:15,919 --> 00:02:20,699
partido por 2 más el área del rectángulo.

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00:02:21,259 --> 00:02:22,979
Esta sería la función.

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00:02:27,360 --> 00:02:29,219
Vamos a llamar objetivo, por ejemplo.

25
00:02:33,120 --> 00:02:34,539
Observamos que tiene dos letras.

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00:02:36,219 --> 00:02:38,800
Así es que, ¿podemos relacionar x con la y?

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00:02:38,800 --> 00:02:47,819
Pues sí, porque la barra mide 10 metros y con 10 metros tenemos que cubrir los tres lados del triángulo

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00:02:47,819 --> 00:03:04,020
x más x más x más y más y más x, o dicho de otra forma, 4x más 2y es igual a 10.

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00:03:04,020 --> 00:03:10,800
Simplificando obtenemos 2x más y es igual a 5

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00:03:10,800 --> 00:03:18,889
Y entonces podemos deducir que y va a ser 5 menos 2x

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00:03:18,889 --> 00:03:22,050
Por tanto, voy a bajar un poco

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00:03:22,050 --> 00:03:27,689
En nuestra función área va a quedar así

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00:03:27,689 --> 00:03:33,930
Ya operando va a quedar raíz de 3 por x al cuadrado partido por 4

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00:03:33,930 --> 00:03:56,080
más x por 5 menos 2x, esto va a quedar raíz de 3x al cuadrado partido de 4 más 5x menos 2x al cuadrado.

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00:03:56,080 --> 00:04:08,169
Pero, como nos piden el área máxima, pues esta función de aquí nos da el área de esa figura en función de x.

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00:04:08,590 --> 00:04:14,710
Así es que si derivamos a'x, pues ya sabemos que esto va a ser 3.

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00:04:16,170 --> 00:04:22,269
Ahora, la derivada de 2x, de x cuadrado es 2x, más 5 menos 4x.

38
00:04:22,269 --> 00:04:32,250
O sea, que esto va a quedar raíz de 3 partido por 2x más 5 menos 4x.

39
00:04:36,139 --> 00:04:42,540
Necesitamos averiguar que diga cuándo la derivada se hace a cero.

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00:04:43,000 --> 00:04:44,980
Esto va a equivaler a resolver esta ecuación.

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00:04:44,980 --> 00:05:11,839
Si agrupamos un poco las x, pues vemos que tendremos que raíz de 3 partido por 2 menos 4x es igual a menos 5.

42
00:05:11,839 --> 00:05:31,879
Por lo tanto, la x va a salir igual, va a ser, bueno, lo voy a hacer aquí, raíz de 3 menos 8 partido de 2, esto es por x, igual a menos 5.

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00:05:31,879 --> 00:05:42,839
Por lo tanto, la x va a ser igual a menos 10 partido de raíz de 3 menos 8.

44
00:05:43,180 --> 00:05:47,759
Aquí pasa algo. Vamos a ver qué pasa.

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00:05:51,519 --> 00:05:56,480
Aquí podríamos decir, si queremos aproximar la x con la calculadora,

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00:05:57,779 --> 00:06:01,279
nos va a salir que la x es aproximadamente 1,95.

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00:06:07,300 --> 00:06:10,680
Bueno, como aquí la segunda derivada es fácil, la voy a hacer.

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00:06:11,579 --> 00:06:18,660
La segunda derivada aquí va a ser raíz de 3 partido por 2, menos 4.

49
00:06:21,600 --> 00:06:27,360
Así es que la segunda derivada de x es menor que 0, siempre.

50
00:06:30,560 --> 00:06:48,660
Entonces, a' de menos 10 partido de raíz de 3 menos 8 es menor que 0.

51
00:06:48,660 --> 00:06:49,939
entonces es un máximo

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00:06:49,939 --> 00:06:56,560
por tanto resulta que

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00:06:56,560 --> 00:06:59,560
dependemos de cortar la barra

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00:06:59,560 --> 00:07:01,199
si lo queremos dar con números

55
00:07:01,199 --> 00:07:03,439
irracionales así

56
00:07:03,439 --> 00:07:07,750
y poner que es aproximadamente

57
00:07:07,750 --> 00:07:10,949
1,595 metros

58
00:07:10,949 --> 00:07:13,910
y la altura tendrá que ser

59
00:07:13,910 --> 00:07:19,689
pues 5 menos 2 por x

60
00:07:19,689 --> 00:07:22,910
pues a mi me sale

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00:07:22,910 --> 00:07:26,769
1.809 metros

62
00:07:26,769 --> 00:07:29,730
y con esto está resuelto el problema