1
00:00:00,430 --> 00:00:03,009
Vamos a explicar lo que vimos en la última clase.

2
00:00:03,649 --> 00:00:15,529
Antes de nada, pues habíamos explicado en clases anteriores, por ejemplo, que si tenemos el límite cuando x tiende a infinito de x al cubo más 3x cuadrado más 5 entre x a la 4 menos 8x más 3,

3
00:00:16,730 --> 00:00:22,870
esto era igual al límite cuando x tiende a infinito de x al cubo partido por x a la 4.

4
00:00:23,609 --> 00:00:32,509
Debido a que esta función en el infinito es equivalente a x al cubo y esta función en el infinito es equivalente a x4.

5
00:00:34,210 --> 00:00:41,530
Esto es el límite cuando x tiende a infinito de 1 partido por x, que es 1 partido por infinito, que es infinito.

6
00:00:41,869 --> 00:00:51,369
Bien, pues esto que tenemos aquí se puede generalizar a más funciones que tengan logaritmos, neperianos, exponenciales, etc.

7
00:00:51,369 --> 00:00:56,049
Entonces vamos a generalizar un poco estos conceptos

8
00:00:56,049 --> 00:01:03,310
Hemos visto en otros ejercicios que si tomamos la función por ejemplo x5 y x3

9
00:01:03,310 --> 00:01:09,109
El límite cuando x tiende a infinito es infinito

10
00:01:09,109 --> 00:01:15,689
Ello es porque la x al cubo crece mucho menos que la función x a la 5

11
00:01:15,689 --> 00:01:24,930
Por ejemplo, para x igual a 100, esto vale 1.000.000, mientras que esto vale 10.000.000.

12
00:01:29,349 --> 00:01:38,530
Bien, entonces, esto podremos explicarlo diciendo que la función x a la 5 es mayor que x al cubo.

13
00:01:39,269 --> 00:01:41,930
Bueno, pues esta es la definición que hagamos de una forma más general.

14
00:01:41,930 --> 00:01:44,250
dadas las funciones f y g

15
00:01:44,250 --> 00:01:47,150
con límites en más o menos infinito

16
00:01:47,150 --> 00:01:51,030
decimos que f es de mayor orden que g

17
00:01:51,030 --> 00:01:53,010
simbolizándolo por esto

18
00:01:53,010 --> 00:01:56,510
si el límite de f entre g es igual a infinito

19
00:01:56,510 --> 00:01:59,730
bueno, pensad en un solo signo, ¿de acuerdo?

20
00:02:00,269 --> 00:02:02,489
se quiere decir que esto es o más infinito o menos infinito

21
00:02:02,489 --> 00:02:06,200
eso es equivalente a decir

22
00:02:06,200 --> 00:02:07,799
que, dándole la vuelta

23
00:02:07,799 --> 00:02:10,060
g partido de f, eso es pequeño

24
00:02:10,060 --> 00:02:11,539
va a cero

25
00:02:11,539 --> 00:02:19,240
Que sería decir que el límite cuando x tiende a infinito de x al cubo entre x5 es 0

26
00:02:19,240 --> 00:02:23,199
Bien, entonces tenemos una comparación

27
00:02:23,199 --> 00:02:30,659
Funciones donde g es menor que f y funciones donde g es mayor que f

28
00:02:30,659 --> 00:02:35,419
Nos queda una última cosa y es decir cuando son del mismo orden

29
00:02:35,419 --> 00:02:52,960
Y decimos que fije eso en el mismo orden cuando el límite sería acá, por ejemplo, serían las funciones 3x al cuadrado y x al cuadrado.

30
00:02:52,960 --> 00:03:04,180
Pues esto, el límite, cuando x tiende a infinito es igual a 3, por tanto, pues el orden es el mismo. Crece igual de rápido. No es un único caso.

31
00:03:05,419 --> 00:03:11,620
Bien, eso se puede aplicar del siguiente modo.

32
00:03:12,280 --> 00:03:18,439
Si tenemos dos polinomios b y q y dos números a y b, pongamos 3 y 5,

33
00:03:19,340 --> 00:03:26,319
entonces el logaritmo de cualquier polinomio tiene menor orden que cualquier otro polinomio distinto

34
00:03:26,319 --> 00:03:32,759
y ese tiene menor orden que cualquier a elevado a x, que a su vez tiene menor orden que cualquier b elevado a x si b es mayor que a.

35
00:03:34,960 --> 00:03:36,199
Veamos algunos ejemplos.

36
00:03:36,199 --> 00:03:57,620
Bien, vamos a aplicar lo que hemos dado con estos límites. Aquí tenemos la teoría. En todos los casos tenemos siempre un infinito partido por infinito, porque eso tiene infinito, eso tiene infinito, eso también, eso también, eso también, eso también.

37
00:03:57,620 --> 00:04:01,419
entonces vamos a tener siempre una indeterminación

38
00:04:01,419 --> 00:04:04,639
al tener una indeterminación

39
00:04:04,639 --> 00:04:06,639
para arreglar el problema

40
00:04:06,639 --> 00:04:11,460
empleamos los órdenes de magnitud en el infinito

41
00:04:11,460 --> 00:04:14,979
entonces, en el primer caso tenemos que

42
00:04:14,979 --> 00:04:18,360
el denominador x al cubo menos 7x más 2

43
00:04:18,360 --> 00:04:21,779
es un polinomio que es menor siempre que elevado a x

44
00:04:21,779 --> 00:04:24,319
cuando me agrada el numerador, el denominador

45
00:04:24,319 --> 00:04:26,319
el límite es infinito

46
00:04:26,319 --> 00:04:35,600
En el segundo caso, tenemos un logaritmo de un polinomio, que esto es más pequeño que elevado a x siempre.

47
00:04:37,000 --> 00:04:42,319
Entonces, pues el límite es cero, porque es más grande el denominador que el numerador.

48
00:04:43,860 --> 00:04:49,879
En el siguiente, creo que tenemos dos cosas, un polinomio y un logaritmo arriba.

49
00:04:49,879 --> 00:05:01,300
Bueno, aquí tenemos, hay que observar que x45 menos 4x a la 27, bueno, vamos a hacer una equivalencia antes para acercarnos a esto, ¿vale?

50
00:05:02,000 --> 00:05:14,430
A ver, esto es equivalente al límite cuando x tiende a infinito de x a la 45, y el logaritmo es equivalente a solamente x a la 5, entre la edad de x.

51
00:05:14,430 --> 00:05:28,410
Bien, pues el x45 por el logaritmo de x a la 5 es más pequeño que x a la 45 por x porque esto es más pequeño que esto

52
00:05:28,410 --> 00:05:35,550
Porque cualquier logaritmo de un polinomio es más pequeño que cualquier polinomio

53
00:05:35,550 --> 00:05:40,129
Esto es x a la 46 que es más pequeño que elevado a x

54
00:05:40,129 --> 00:05:44,529
Por tanto, el denominador es más pequeño que el numerador

55
00:05:44,529 --> 00:05:52,350
entonces el límite es 0

56
00:05:52,350 --> 00:05:57,120
bien, y en la siguiente pues tenemos que

57
00:05:57,120 --> 00:06:02,480
el denominador que está desalado a x es mucho más pequeño que 5 elevado a x

58
00:06:02,480 --> 00:06:04,420
porque 3 es menos que 5

59
00:06:04,420 --> 00:06:07,620
entonces el límite es infinito

60
00:06:07,620 --> 00:06:09,699
no obstante se podría haber hecho de otro modo

61
00:06:09,699 --> 00:06:11,480
que de hecho es lo que demuestra esto

62
00:06:11,480 --> 00:06:15,319
y es porque esto es el límite cuando x tiende a infinito

63
00:06:15,319 --> 00:06:17,800
de 5 tercios elevado a infinito

64
00:06:17,800 --> 00:06:21,399
y como 5 tercios, perdón, elevado a x

65
00:06:21,399 --> 00:06:25,139
y como 5 tercios es mayor que 1

66
00:06:25,139 --> 00:06:27,000
pues este límite es infinito

67
00:06:27,000 --> 00:06:30,279
vamos a ver otro paso más

68
00:06:30,279 --> 00:06:32,120
cuando teníamos funciones

69
00:06:32,120 --> 00:06:34,339
polinomios del tipo x5

70
00:06:34,339 --> 00:06:37,040
más 4x4

71
00:06:37,040 --> 00:06:38,300
menos 8x al cubo

72
00:06:38,300 --> 00:06:39,680
menos 3x menos 1

73
00:06:39,680 --> 00:06:43,779
esto es equivalente a la función x a la 5

74
00:06:43,779 --> 00:06:47,139
es decir, que lo que mandaba

75
00:06:47,139 --> 00:06:49,839
era x5 y lo demás pues era

76
00:06:49,839 --> 00:06:54,279
pues no nos daba información de cara al límite

77
00:06:54,279 --> 00:06:57,540
por menos en ese orden, bueno pues eso ocurre en general

78
00:06:57,540 --> 00:07:00,639
si tenemos una función f mayor o igual que g

79
00:07:00,639 --> 00:07:03,560
en este caso x5 pues mayor

80
00:07:03,560 --> 00:07:05,579
que por ejemplo x4

81
00:07:05,579 --> 00:07:10,339
entonces f más g es equivalente a f

82
00:07:10,339 --> 00:07:13,920
que es lo que hacíamos todo el rato con los polinomios

83
00:07:13,920 --> 00:07:15,860
esto es mayor que todo esto

84
00:07:15,860 --> 00:07:19,740
Entonces, pues es equivalente a lo grande

85
00:07:19,740 --> 00:07:22,740
Eso es muy fácil, vamos a demostrarlo

86
00:07:22,740 --> 00:07:23,920
¿Qué tenemos que probar?

87
00:07:23,980 --> 00:07:28,480
Tenemos que probar que el límite cuando x tiende a a, o a infinito, o lo que sea

88
00:07:28,480 --> 00:07:31,199
De f más g partido por f

89
00:07:31,199 --> 00:07:33,079
Eso tiene que ser 1

90
00:07:33,079 --> 00:07:34,540
¿Pero esto cuánto es?

91
00:07:35,000 --> 00:07:37,439
Eso es el límite cuando x tiende a a

92
00:07:37,439 --> 00:07:41,139
De f partido por f más g partido por f

93
00:07:41,139 --> 00:07:43,980
Y esto es 1

94
00:07:43,980 --> 00:07:49,500
y esto tiende a cero porque f tiene mayor orden que g.

95
00:07:50,540 --> 00:07:52,540
Por lo tanto, esto es igual a 1.

96
00:07:53,740 --> 00:07:55,680
¿Y qué significa que esto sea igual a 1?

97
00:07:55,920 --> 00:08:00,839
Pues por definición significa que f más g es equivalente a f.

98
00:08:02,319 --> 00:08:03,819
Que es lo que tenemos que demostrar.

99
00:08:04,959 --> 00:08:06,319
Bueno, pues vamos a explicar esto.

100
00:08:09,329 --> 00:08:10,649
Vamos a ver estos límites.

101
00:08:11,569 --> 00:08:14,490
Aquí tenemos pues varias funciones, un polinomio,

102
00:08:14,490 --> 00:08:18,350
un logaritmo de un polinomio y un exponencial

103
00:08:18,350 --> 00:08:21,449
pues claramente el exponencial es más grande que todo lo demás

104
00:08:21,449 --> 00:08:27,209
con lo cual esto es igual al límite cuando x tiende a infinito

105
00:08:27,209 --> 00:08:30,490
de menos 3 elevado a x más 3

106
00:08:30,490 --> 00:08:37,440
vamos a ver el denominador, tenemos aquí un polinomio

107
00:08:37,440 --> 00:08:40,700
aquí un 3 elevado a x y aquí un 2 elevado a x

108
00:08:40,700 --> 00:08:45,179
3 elevado a x es más grande que

109
00:08:45,179 --> 00:08:46,559
2 elevado a x

110
00:08:46,559 --> 00:08:49,659
entonces pues

111
00:08:49,659 --> 00:08:52,700
entonces la que manda es

112
00:08:52,700 --> 00:08:55,340
3 elevado a x menos 1

113
00:08:55,340 --> 00:08:59,870
bueno, aquí hay que hacer una observación

114
00:08:59,870 --> 00:09:00,149
¿vale?

115
00:09:01,490 --> 00:09:02,690
estamos con estas cosas

116
00:09:02,690 --> 00:09:03,870
porque

117
00:09:03,870 --> 00:09:07,169
3 elevado a x más 1 por ejemplo es

118
00:09:07,169 --> 00:09:10,919
3 elevado a x por 3 elevado a 1

119
00:09:10,919 --> 00:09:13,259
que es 3 por 3 elevado a x

120
00:09:13,259 --> 00:09:15,379
entonces la función en particular

121
00:09:15,379 --> 00:09:16,519
es

122
00:09:16,519 --> 00:09:17,899
3 elevado a x

123
00:09:17,899 --> 00:09:21,740
Multiplicar por un número no va a cambiar el hecho de que vaya infinito menos infinito

124
00:09:21,740 --> 00:09:24,879
Con estas funciones se sobreentiende que si multiplico por un número

125
00:09:24,879 --> 00:09:28,679
Y aquí por otro, pues va a ser la misma desigualdad

126
00:09:28,679 --> 00:09:40,830
Entonces, por tanto, pues hablar de 3 elevado a x más 3 y 3 elevado a x es lo mismo

127
00:09:40,830 --> 00:09:44,120
Bueno, pues calculamos esto

128
00:09:44,120 --> 00:09:50,179
Esto es el límite cuando x tiende a infinito de menos 3x por 3 al cubo

129
00:09:50,179 --> 00:09:56,279
partido por 3x por 3 a la menos 1

130
00:09:56,279 --> 00:09:59,539
esto es igual al límite cuando x tiende a infinito de

131
00:09:59,539 --> 00:10:02,019
bueno, esto y esto se pueden ir

132
00:10:02,019 --> 00:10:07,940
y eso sería menos 3 elevado a 3 menos menos 1

133
00:10:07,940 --> 00:10:11,460
que es menos 3 elevado a 4

134
00:10:11,460 --> 00:10:14,779
y ese sería el límite

135
00:10:14,779 --> 00:10:17,139
veamos el siguiente

136
00:10:17,139 --> 00:10:21,600
tenemos aquí 4 elevado a x, 3 elevado a x

137
00:10:21,600 --> 00:10:23,139
3 elevado a 2x más 1

138
00:10:23,139 --> 00:10:24,440
2 elevado a x

139
00:10:24,440 --> 00:10:25,759
y esto

140
00:10:25,759 --> 00:10:26,980
hay que tener un poco de cuidado

141
00:10:26,980 --> 00:10:29,340
porque lo más grande no es 5

142
00:10:29,340 --> 00:10:30,000
a ver

143
00:10:30,000 --> 00:10:31,960
vamos a comparar cosas

144
00:10:31,960 --> 00:10:33,759
4 elevado a x es eso

145
00:10:33,759 --> 00:10:36,659
3 elevado a 2x menos 1 que es

146
00:10:36,659 --> 00:10:38,379
esto es 3 al cuadrado

147
00:10:38,379 --> 00:10:41,399
a 2x por 3 elevado a menos 1

148
00:10:41,399 --> 00:10:42,840
y esto es 3 al cuadrado

149
00:10:42,840 --> 00:10:43,840
elevado a x

150
00:10:43,840 --> 00:10:45,940
por 3 elevado a menos 1

151
00:10:45,940 --> 00:10:47,700
esto es 9 elevado a x

152
00:10:47,700 --> 00:10:48,840
por 3 elevado a menos 1

153
00:10:48,840 --> 00:10:50,539
entonces

154
00:10:50,539 --> 00:10:59,159
Entonces lo que indica la orden no es el 3, sino el 3 junto con este 2 que está aquí, ¿de acuerdo?

155
00:10:59,360 --> 00:11:09,259
Y lo mismo aquí, con lo cual las bases que tendríamos en realidad, porque es menos 1 y hemos visto que no afecta,

156
00:11:09,259 --> 00:11:23,179
Las bases que tendríamos aquí serían 4 elevado a x, 3 al cuadrado elevado a x, 5 elevado a x y 2 elevado a x.

157
00:11:23,419 --> 00:11:24,759
Estas son las que tenemos que comparar.

158
00:11:25,360 --> 00:11:28,720
Borro un momento lo que tenemos aquí para poder trabajar mejor.

159
00:11:30,700 --> 00:11:37,820
Bien, entonces, pues de 4, 3 al cuadrado y 5, el mayor es 3 al cuadrado que es 9.

160
00:11:37,820 --> 00:11:44,799
Por tanto, eso sería el límite cuando x tiende a infinito de 3 elevado a 2x menos 1

161
00:11:44,799 --> 00:11:52,740
Y de aquí, de 3, 2 elevado a x y 3 elevado a 2, que es 9, la más grande es 3 al cuadrado

162
00:11:52,740 --> 00:11:56,799
Con lo cual aquí pondríamos 3 elevado a 2x menos 1

163
00:11:56,799 --> 00:12:00,340
Bueno, en este caso coincidencias son iguales, el límite es 1

164
00:12:00,340 --> 00:12:04,250
Bien, hagamos la última

165
00:12:04,250 --> 00:12:10,389
Aquí tenemos 3 elevado a 2x, 3 elevado a 2x y esta

166
00:12:10,389 --> 00:12:14,110
Bueno, todos son del mismo orden, con lo cual no quitamos ninguno

167
00:12:14,110 --> 00:12:19,509
Únicamente aplicamos las propiedades de las potencias

168
00:12:19,509 --> 00:12:23,009
Esto es el límite cuando x tiende a infinito

169
00:12:23,009 --> 00:12:26,950
De 3 elevado a 2x por 3 elevado a menos 1

170
00:12:26,950 --> 00:12:33,309
Menos 3 elevado a 2x por 3 elevado a 1 entre 3 elevado a 2x

171
00:12:33,309 --> 00:12:36,529
Eso es el límite cuando x tiende a infinito

172
00:12:36,529 --> 00:12:39,250
De 3 elevado a 2x

173
00:12:39,250 --> 00:12:40,250
Factor común

174
00:12:40,250 --> 00:12:41,889
Sacamos factor común

175
00:12:41,889 --> 00:12:43,230
3 a la menos 1

176
00:12:43,230 --> 00:12:45,110
Más 3

177
00:12:45,110 --> 00:12:48,070
Entre 3 a 2x

178
00:12:48,070 --> 00:12:49,909
Ahora bien, bueno

179
00:12:49,909 --> 00:12:51,389
Esto y esto se va

180
00:12:51,389 --> 00:12:54,590
Y 3 a la menos 1 más 3

181
00:12:54,590 --> 00:12:56,769
Es 1 tercio más 3

182
00:12:56,769 --> 00:12:58,590
Que es 4 tercios

183
00:12:58,590 --> 00:13:01,129
El límite sería 4 tercios

184
00:13:01,129 --> 00:13:04,149
y así se realizarían todos estos límites

185
00:13:04,149 --> 00:13:09,809
bien

186
00:13:09,809 --> 00:13:13,269
no obstante hay que tener cuidado con otras cosas

187
00:13:13,269 --> 00:13:14,129
vamos a ver

188
00:13:14,129 --> 00:13:16,370
hemos dicho que

189
00:13:16,370 --> 00:13:17,289
de acuerdo

190
00:13:17,289 --> 00:13:21,230
el logaritmo de un polinomio

191
00:13:21,230 --> 00:13:23,149
es más pequeño que otro polinomio

192
00:13:23,149 --> 00:13:24,269
de acuerdo

193
00:13:24,269 --> 00:13:27,190
pero no confundamos lo que ocurre con esas cosas

194
00:13:27,190 --> 00:13:30,629
cuando tenemos exponenciales y logaritmos

195
00:13:30,629 --> 00:13:32,149
las cosas funcionan de forma diferente

196
00:13:32,149 --> 00:13:35,710
vamos a verlo

197
00:13:35,710 --> 00:13:36,970
voy a hacerlo primero mal

198
00:13:36,970 --> 00:13:43,580
y luego voy a hacerlo bien, voy a hacer lo que estaría mal

199
00:13:43,580 --> 00:13:48,320
pues mira, aquí tenemos que el logaritmo

200
00:13:48,320 --> 00:13:52,559
el x a la 5 es mayor o igual que x a la 4

201
00:13:52,559 --> 00:13:56,200
por tanto el de arriba es más grande que el de abajo, esto es infinito

202
00:13:56,200 --> 00:13:59,779
bueno, pues eso está mal, vamos a ver por qué

203
00:13:59,779 --> 00:14:05,590
borro y seguimos, aquí tenemos

204
00:14:05,590 --> 00:14:09,210
una quebrancia que es el límite cuando x tiende a infinito

205
00:14:09,210 --> 00:14:16,129
Y aquí tenemos, pues, lo de adentro sí que es equivalente al logaritmo de x elevado a 5

206
00:14:16,129 --> 00:14:19,470
Y eso sí que es equivalente al logaritmo de x elevado a 4

207
00:14:19,470 --> 00:14:23,029
Ahora bien, aplicando las propiedades de los logaritmos

208
00:14:23,029 --> 00:14:30,470
Tenemos el límite, cuando x tiende a infinito, de 5 logaritmo de p1 de x entre 4 logaritmo de p1 de x

209
00:14:30,470 --> 00:14:35,250
Ahora, esto se va y el límite es 5 cuartos

210
00:14:35,250 --> 00:14:37,789
Muy distinto a menos infinito

211
00:14:37,789 --> 00:14:40,389
cuando tenemos logaritmo de polinomios

212
00:14:40,389 --> 00:14:42,389
la casa como veis cambia mucho

213
00:14:42,389 --> 00:14:44,610
cada cosa tiene sus reglas

214
00:14:44,610 --> 00:14:46,750
lo que tenemos es que el logaritmo de un polinomio es menor que esto

215
00:14:46,750 --> 00:14:48,230
no otra cosa

216
00:14:48,230 --> 00:14:50,330
sigamos

217
00:14:50,330 --> 00:14:57,200
aquí tenemos otra cosa donde vamos a razonar primero mal

218
00:14:57,200 --> 00:14:59,179
vamos a poner primero lo que está mal

219
00:14:59,179 --> 00:15:00,799
etc

220
00:15:00,799 --> 00:15:03,039
lo que está mal sería decir

221
00:15:03,039 --> 00:15:06,740
bueno pues como el de arriba es equivalente a x al cuadrado

222
00:15:06,740 --> 00:15:13,039
entonces tenemos el límite cuando x tiende a infinito

223
00:15:13,039 --> 00:15:16,179
de elevado a x cuadrado entre elevado a x cuadrado

224
00:15:16,179 --> 00:15:17,299
queda 1

225
00:15:17,299 --> 00:15:19,019
y nos quedamos tan tranquilos

226
00:15:19,019 --> 00:15:21,159
bueno, pues no, eso estaría mal

227
00:15:21,159 --> 00:15:22,620
porque esta propiedad no la hemos demostrado

228
00:15:22,620 --> 00:15:25,059
hemos demostrado, hemos puesto que

229
00:15:25,059 --> 00:15:28,159
elevado a x es más grande que cualquier polinomio

230
00:15:28,159 --> 00:15:29,659
pero no hemos dicho nada

231
00:15:29,659 --> 00:15:31,059
de los exponentes de los polinomios

232
00:15:31,059 --> 00:15:32,559
de elevado a x

233
00:15:32,559 --> 00:15:34,299
vamos a ver lo que pasaría

234
00:15:34,299 --> 00:15:35,980
borro lo que hay y seguimos

235
00:15:35,980 --> 00:15:41,080
a ver, este límite es el mismo

236
00:15:41,080 --> 00:15:44,139
que si hacemos

237
00:15:44,139 --> 00:15:48,419
elevado a x cuadrado más 3x menos 1

238
00:15:48,419 --> 00:15:53,059
y le restamos lo que hay en el denominador, x cuadrado menos 2x

239
00:15:53,059 --> 00:15:56,279
Eso es el límite cuando x tiende a infinito

240
00:15:56,279 --> 00:16:01,000
de elevado a x cuadrado más 3x menos 1

241
00:16:01,000 --> 00:16:05,659
menos x cuadrado más 2x. Y ese es el límite cuando x tiende a infinito

242
00:16:05,659 --> 00:16:10,629
de elevado a x cuadrado y x cuadrado se va

243
00:16:10,629 --> 00:16:15,289
y nos quedaría el 5x menos 1

244
00:16:15,289 --> 00:16:17,090
Y eso es fácil de calcular

245
00:16:17,090 --> 00:16:21,509
Porque 5x menos 1 tiende a infinito

246
00:16:21,509 --> 00:16:23,129
Tenemos e elevado a infinito

247
00:16:23,129 --> 00:16:27,330
Y esto es infinito

248
00:16:27,330 --> 00:16:31,820
Así que el límite es infinito

249
00:16:31,820 --> 00:16:32,940
Muy distinto de lo que daría

250
00:16:32,940 --> 00:16:35,860
Bien, nos quedaría este ejemplo de aquí

251
00:16:35,860 --> 00:16:38,279
Que parece un poco más complicado de ver

252
00:16:38,279 --> 00:16:39,379
Porque tenemos diferente base

253
00:16:39,379 --> 00:16:42,820
Bueno, esto no me dio tiempo de darlo en clase

254
00:16:42,820 --> 00:16:46,340
Lo vemos en el siguiente vídeo

255
00:16:46,340 --> 00:16:47,360
Teniendo la solución

256
00:16:47,360 --> 00:16:50,080
solamente mencionar que

257
00:16:50,080 --> 00:16:52,779
hay algunas reglas que podemos sacar de aquí

258
00:16:52,779 --> 00:16:54,720
la primera es que si tenemos logaritmos

259
00:16:54,720 --> 00:16:58,539
bueno, todo eso también lo explicaré en el otro vídeo

260
00:16:58,539 --> 00:17:01,019
así que

261
00:17:01,019 --> 00:17:05,970
así que nada, pues

262
00:17:05,970 --> 00:17:10,490
seguid con el siguiente vídeo

263
00:17:10,490 --> 00:17:12,130
y ya habréis terminado toda la parte de

264
00:17:12,130 --> 00:17:13,710
límites