1
00:00:01,330 --> 00:00:18,449
El teorema del valor medio del cálculo integral dice que si f es una función continua en el intervalo cerrado a b, existe un número c que verifica que la integral entre a y b de f de x diferencial de x es igual a f de c por b menos a.

2
00:00:19,010 --> 00:00:28,949
Fíjense que esto, la integral entre a y b de f de x diferencial de x, no es otra cosa nada más que el área que había bajo esta curva entre los puntos a y b.

3
00:00:28,949 --> 00:00:40,189
Entonces lo que me dice aquí es que este área es igual a la longitud del intervalo por el valor de la función en un punto.

4
00:00:40,570 --> 00:00:42,710
La interpretación geométrica es esta.

5
00:00:43,670 --> 00:00:50,490
La integral entre a y b de f de x es el área de la zona verde.

6
00:00:50,490 --> 00:00:58,189
Y lo que me dice es que el área de esta zona verde es igual al área de este rectángulo.

7
00:00:58,950 --> 00:01:06,670
que está formado, la base es P-A y la altura es F de C.

8
00:01:07,510 --> 00:01:09,829
Lo que me garantiza el teorema es que existe un punto C,

9
00:01:10,950 --> 00:01:16,049
de manera que yo puedo construir este rectángulo que coincide su área con el de la zona verde.

10
00:01:17,109 --> 00:01:18,189
La demostración.

11
00:01:19,250 --> 00:01:27,109
Como F es una función continua en A-B, yo puedo asegurar que esa función tendrá un mínimo y tendrá un máximo en A-B.

12
00:01:27,109 --> 00:01:31,549
he puesto esto así para simplificar un poco la demostración

13
00:01:31,549 --> 00:01:33,870
el mínimo lo voy a llamar M

14
00:01:33,870 --> 00:01:36,090
y el máximo lo voy a llamar M

15
00:01:36,090 --> 00:01:37,750
M minúscula y M mayúscula

16
00:01:37,750 --> 00:01:40,989
yo puedo asegurar que el área de este rectángulo

17
00:01:40,989 --> 00:01:50,159
es más pequeña que el área de la zona que me piden

18
00:01:50,159 --> 00:01:55,260
y a su vez esto es más pequeño que el área de este otro rectángulo

19
00:01:55,260 --> 00:01:58,879
es decir, la función, el área que me piden a mí

20
00:01:58,879 --> 00:02:02,579
está comprendida entre el rectángulo pequeño y el rectángulo grande.

21
00:02:03,439 --> 00:02:08,500
El área de este rectángulo pequeño será B-A por M

22
00:02:08,500 --> 00:02:13,560
y el área de este otro será B-A por M mayúscula.

23
00:02:14,500 --> 00:02:19,280
Entonces yo puedo asegurar que M por B-A, que es lo rojo,

24
00:02:20,060 --> 00:02:24,819
es más pequeño que lo verde y a su vez esto es más pequeño que lo azul.

25
00:02:27,150 --> 00:02:28,270
Entonces tengo esta desigualdad.

26
00:02:29,009 --> 00:02:32,530
Si divido en los tres miembros por b menos a, me queda esta otra.

27
00:02:33,669 --> 00:02:37,150
Entonces yo aquí lo que tengo, esto, al fin y al cabo, no es más que un número.

28
00:02:37,949 --> 00:02:41,090
Es un número que está comprendido entre este y este.

29
00:02:42,009 --> 00:02:51,219
Es decir, todo esto es un número que la función va a alcanzar por el teorema de los valores intermedios.

30
00:02:51,340 --> 00:02:59,080
Porque si yo tenía un valor que estaba entre otros dos, y la función es continua y tiene que pasar de aquí a aquí,

31
00:02:59,080 --> 00:03:02,639
tiene que pasar por este del medio, es decir, existe un punto C

32
00:03:02,639 --> 00:03:06,460
en el que f de C será igual a todo esto

33
00:03:06,460 --> 00:03:10,900
esto simplemente era el valor intermedio

34
00:03:10,900 --> 00:03:15,659
de la función, con lo cual existe un punto C

35
00:03:15,659 --> 00:03:18,180
de manera que f de C es igual a todo esto

36
00:03:18,180 --> 00:03:23,300
pasando b-a aquí me queda el enunciado

37
00:03:23,300 --> 00:03:26,879
del teorema del valor medio del cálculo integral