1
00:00:03,180 --> 00:00:05,960
Bien, vamos a ver el concepto de derivada.

2
00:00:08,099 --> 00:00:13,820
La derivada va a ser una herramienta muy útil para estudiar las funciones.

3
00:00:15,080 --> 00:00:19,640
No solamente en una gráfica de una función podemos analizar los valores de las variables,

4
00:00:20,480 --> 00:00:25,679
sino también observar cómo crecen o decrecen y la rapidez con que lo hacen.

5
00:00:26,940 --> 00:00:32,359
En nuestro mundo todo cambia, todo está sujeto a variaciones a lo largo del tiempo o de otras variables.

6
00:00:32,359 --> 00:00:38,259
Por ejemplo, en economía se estudian las variaciones del precio de un producto a lo largo del tiempo

7
00:00:38,259 --> 00:00:41,539
En física se estudia la velocidad de un móvil

8
00:00:41,539 --> 00:00:45,380
que es la variación del espacio que recorre un móvil en función del tiempo

9
00:00:45,380 --> 00:00:50,340
En medicina se estudia la variación del crecimiento de las células cancerígenas

10
00:00:50,340 --> 00:00:54,060
de un tumor en un paciente en determinadas fases del proceso

11
00:00:54,060 --> 00:01:00,259
La herramienta matemática que estudia cuán rápidos son estas variaciones es la derivada

12
00:01:00,259 --> 00:01:07,040
Consideremos la siguiente gráfica que nos muestra el espacio recorrido por un móvil en función del tiempo

13
00:01:07,040 --> 00:01:11,180
El móvil se está moviendo con una velocidad constante

14
00:01:11,180 --> 00:01:15,700
puesto que en tiempos iguales recorre espacios iguales

15
00:01:15,700 --> 00:01:20,939
Su velocidad media coincide con la velocidad que lleva en cada instante de tiempo

16
00:01:20,939 --> 00:01:22,480
velocidad instantánea

17
00:01:22,480 --> 00:01:27,280
Esta velocidad en este caso es de 0,8 metros por segundo

18
00:01:27,280 --> 00:01:29,000
No hay aceleración

19
00:01:29,000 --> 00:01:38,420
En el intervalo que consideramos ahora el móvil, en este caso el coche, se encuentra parado

20
00:01:38,420 --> 00:01:41,620
No hay incrementos en el espacio durante ese tiempo

21
00:01:41,620 --> 00:01:51,829
En el último intervalo vuelve a estar en movimiento pero su velocidad no es constante

22
00:01:51,829 --> 00:01:54,409
El coche está acelerado

23
00:01:54,409 --> 00:02:04,579
La pregunta que nos hacemos es cómo calcular la velocidad instantánea del móvil en cualquier punto del recorrido

24
00:02:04,579 --> 00:02:09,120
en el intervalo considerado desde t sub cero a t sub uno.

25
00:02:10,039 --> 00:02:13,400
Para eso tenemos que recordar un concepto que vimos en el curso pasado

26
00:02:13,400 --> 00:02:19,000
que es el de tasa de variación media de una función en un determinado intervalo a b.

27
00:02:20,300 --> 00:02:29,800
Esa tasa de variación media se define como el cociente entre la variación que toman los valores de la función

28
00:02:29,800 --> 00:02:33,500
entre la variación en x.

29
00:02:35,460 --> 00:02:45,539
Gráficamente va a representar la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos A f de A y B f de B.

30
00:02:47,840 --> 00:02:59,340
La tasa de variación media que estudiamos en matemáticas en el ejemplo del móvil equivale a calcular la velocidad media del móvil en un determinado intervalo de tiempo,

31
00:02:59,340 --> 00:03:06,080
es decir, la variación que hay en el espacio en ese intervalo de tiempo, en ese incremento de T.

32
00:03:10,020 --> 00:03:14,900
Bien, en cinemática lo que estamos ahora interesados es en calcular cuál es la velocidad del móvil

33
00:03:14,900 --> 00:03:17,120
en un determinado instante de tiempo.

34
00:03:18,520 --> 00:03:25,939
Bien, hemos visto que la pendiente de la recta secante me da la tasa de variación media.

35
00:03:26,919 --> 00:03:34,039
Lo que vamos a hacer va a ser calcular ahora las pendientes de las rectas secantes

36
00:03:34,039 --> 00:03:52,349
que pasan por los puntos P de coordenadas A, F de A y Q de coordenadas A más H, F de A más H.

37
00:03:55,289 --> 00:04:01,969
De tal manera que vamos a ir considerando puntos Q cada vez más próximos a P.

38
00:04:01,969 --> 00:04:11,939
Hemos visto que la pendiente de esa recta secante viene dada por la tasa de variación media

39
00:04:11,939 --> 00:04:22,879
Si consideramos esos puntos, será f de a más h menos f en a partido de h

40
00:04:22,879 --> 00:04:32,000
Es decir, la variación entre el cociente de la variación en y entre la variación en x

41
00:04:32,000 --> 00:04:47,860
Si yo voy aproximando cada vez más el punto Q a P, eso significa que lo que estoy haciendo es tender H,

42
00:04:47,860 --> 00:04:54,079
que es la distancia que hay entre estos dos puntos en el eje X, a cero.

43
00:04:54,819 --> 00:05:03,540
Es decir, matemáticamente significa que estoy tomando el límite cuando H tiende a cero de ese cociente.

44
00:05:03,540 --> 00:05:16,420
Bien, pues este límite, el límite cuando h tendría cero de esta tasa de variación media

45
00:05:16,420 --> 00:05:21,019
es lo que me da la derivada de la función en a

46
00:05:21,019 --> 00:05:32,540
y gráficamente lo que me va a dar es la pendiente de la recta tangente en p

47
00:05:32,540 --> 00:05:42,019
Es decir, en cinemática cuando hacemos tender incremento de t a cero

48
00:05:42,019 --> 00:05:49,660
Es decir, tomamos el límite cuando incremento de t tiende a cero de la velocidad media

49
00:05:49,660 --> 00:05:55,800
Eso nos va a dar la velocidad instantánea del móvil en un instante de tiempo

50
00:05:55,800 --> 00:06:03,420
Vamos a hacer este ejemplo de cálculo de la derivada aplicando la definición

51
00:06:04,399 --> 00:06:12,319
Vamos a calcular cuánto vale la derivada de esta función en el punto de acisa x igual a 1.

52
00:06:13,160 --> 00:06:28,620
Esta función es la función y igual a x al cuadrado y lo que queremos es calcular cuánto vale la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de acisa x igual a 1.

53
00:06:28,620 --> 00:06:47,139
Según hemos visto, esta derivada es el límite cuando h tiende a 0 de lo que vale la función en a más h,

54
00:06:47,139 --> 00:06:57,100
en este caso a es 1, por lo tanto 1 más h, menos lo que vale la función en 1 partido de h.

55
00:07:06,569 --> 00:07:14,069
f de 1 más h sustituyendo la función será 1 más h elevado al cuadrado.

56
00:07:14,069 --> 00:07:17,170
Menos lo que vale la función en 1

57
00:07:17,170 --> 00:07:23,250
La función en 1, 1 al cuadrado es 1, 1 partido de h

58
00:07:23,250 --> 00:07:33,120
Calculamos ahora este cuadrado en la suma, cuadrado del primero más cuadrado del segundo

59
00:07:33,120 --> 00:07:38,240
Más doble producto del primero por el segundo, menos 1 partido de h

60
00:07:38,240 --> 00:07:41,420
Este 1 se va con este menos 1

61
00:07:41,420 --> 00:07:45,939
Si os fijáis nos queda la indeterminación 0 partido de 0

62
00:07:45,939 --> 00:07:59,199
Pero si sacamos factor común a h en el numerador, se nos puede salvar esa indeterminación.

63
00:08:00,620 --> 00:08:07,420
Este límite finalmente es igual a 2.

64
00:08:09,490 --> 00:08:21,279
Eso significa que esta recta tangente tiene de pendiente la derivada de la función en 1.

65
00:08:21,560 --> 00:08:24,839
Es decir, su pendiente es 2.

66
00:08:25,379 --> 00:08:29,459
Por lo tanto será de la forma 2x más n.

67
00:08:29,459 --> 00:08:35,600
En este caso se ve muy bien cuánto vale la orden en el origen que es menos 1

68
00:08:35,600 --> 00:08:47,820
Así que esta sería la ecuación de la recta tangente a la curva

69
00:08:47,820 --> 00:09:08,120
igual a x al cuadrado en el punto de abscisa x igual a 1

70
00:09:08,120 --> 00:09:22,620
Y la derivada lo que me está indicando es la pendiente de la recta tangente en ese punto

71
00:09:22,620 --> 00:09:33,039
Bien, en este apel de GeoGebra podéis ver cómo calcular la derivada de la función,

72
00:09:33,700 --> 00:09:42,720
en este caso de la función y igual a x al cuadrado, en cualquier punto del dominio.

73
00:09:44,820 --> 00:09:48,000
A la vez nos va pintando la función derivada.

74
00:09:48,000 --> 00:10:08,779
Se puede observar que la derivada de la función y igual a x al cuadrado nos da la gráfica que está pintada en rojo.

75
00:10:08,899 --> 00:10:14,019
Es una recta que corresponde a la función y igual a 2x.

76
00:10:17,549 --> 00:10:29,049
Bien, ahora vamos a calcular la derivada de la función y igual a x al cuadrado para cualquier x.

77
00:10:29,049 --> 00:10:47,919
Aplicando la definición sería el límite cuando h tiende a cero de f de x más h menos f de x partido de h

78
00:10:48,360 --> 00:11:03,250
f de x más h sustituyendo la función donde pone x ponemos x más h sería x más h elevado al cuadrado

79
00:11:03,250 --> 00:11:09,210
menos f de x menos x al cuadrado partido de h

80
00:11:09,210 --> 00:11:16,610
desarrollamos este cuadrado

81
00:11:16,610 --> 00:11:27,809
este x cuadrado se me va con el menos x al cuadrado

82
00:11:27,809 --> 00:11:32,659
nos queda la indeterminación 0 partido de 0

83
00:11:32,659 --> 00:11:38,720
pero es una indeterminación que podemos salvar

84
00:11:38,720 --> 00:11:44,080
sacando factor común a h

85
00:11:44,080 --> 00:11:50,080
ahora cuando tomamos el límite

86
00:11:50,080 --> 00:11:59,070
nos queda que la derivada es 2x

87
00:11:59,070 --> 00:12:04,110
es decir, que para la función y igual a x al cuadrado

88
00:12:04,110 --> 00:12:07,549
la derivada de la función

89
00:12:07,549 --> 00:12:10,730
lo podemos indicar así

90
00:12:10,730 --> 00:12:13,450
o con la anotación de Leibniz

91
00:12:13,450 --> 00:12:17,549
sería 2x