1
00:00:00,820 --> 00:00:06,040
Hola de nuevo, aquí estamos y vamos a empezar corrigiendo los ejercicios pendientes del otro día.

2
00:00:06,960 --> 00:00:09,759
Calcula el dominio y la expresión de las siguientes funciones.

3
00:00:11,730 --> 00:00:16,559
Bien, la función f más g.

4
00:00:18,260 --> 00:00:25,940
Bueno, antes de empezar, vamos a recordar que para que las nuevas funciones existan,

5
00:00:27,039 --> 00:00:31,019
tienen que existir en el dominio común de ambas.

6
00:00:31,019 --> 00:00:51,880
Y además, cuando dividimos funciones, además del dominio común, serían los números que no anule el denominador

7
00:00:51,880 --> 00:00:57,380
La primera función no existe en el menos 3, la segunda no existe en el 3 y el menos 3

8
00:00:57,380 --> 00:01:01,020
Y la tercera función solo existe del 1 incluido en adelante

9
00:01:01,020 --> 00:01:05,170
Vamos a estudiar la función suma

10
00:01:05,170 --> 00:01:26,700
Ahora, la función suma será x menos 1 partido de x más 3, que le sumo, y ya lo pongo de manera factorizada, x más 3, x menos 3, que esto va a ser el mínimo común múltiplo.

11
00:01:26,700 --> 00:01:36,819
x más 3 y x menos 3 sería x menos 3 veces x menos 1 más 2

12
00:01:36,819 --> 00:01:48,019
En definitiva, x cuadrado menos x menos 3x más 3 más 2

13
00:01:48,019 --> 00:01:58,019
x más 3, x menos 3

14
00:01:58,019 --> 00:02:09,379
Y ya operando la expresión x cuadrado menos 4x más 5 entre x más 3 y x menos 3.

15
00:02:10,560 --> 00:02:19,439
El dominio de la función suma va a ser la intersección de los dos dominios.

16
00:02:19,879 --> 00:02:24,280
Si una no existe en el menos 3 y otra no existe en el 3 y el menos 3,

17
00:02:24,280 --> 00:02:31,180
para que existan en ambas, no pueden existir ni en el 3 ni en el menos 3.

18
00:02:32,039 --> 00:02:38,620
Bien, bastante fácil, siempre la intersección, quitando el caso concreto de la división,

19
00:02:38,719 --> 00:02:40,280
que hay que añadir además los ceros.

20
00:02:41,460 --> 00:02:47,900
Si estudiamos la resta, mirad, estamos considerando nuevas funciones

21
00:02:47,900 --> 00:02:50,520
que se llaman función resta y cómo lo hacemos, restando,

22
00:02:50,900 --> 00:02:54,620
pero esto es una nueva función, luego no basta solo con mirar al final,

23
00:02:54,620 --> 00:02:56,960
hay que mirar que partimos de dos funciones

24
00:02:56,960 --> 00:02:58,699
la función resta

25
00:02:58,699 --> 00:03:00,699
pues va a ser la misma que antes

26
00:03:00,699 --> 00:03:02,639
pero en lugar de hacer

27
00:03:02,639 --> 00:03:05,099
3 más 2, 5, vamos a hacer 3 menos 2

28
00:03:05,099 --> 00:03:05,780
que sale 1

29
00:03:05,780 --> 00:03:11,759
bien, igual que antes

30
00:03:11,759 --> 00:03:14,900
el dominio de esta resta

31
00:03:14,900 --> 00:03:18,009
va a ser lo que tienen

32
00:03:18,009 --> 00:03:19,610
en común los dos conjuntos

33
00:03:19,610 --> 00:03:21,629
que va a ser esto

34
00:03:21,629 --> 00:03:23,509
ahora

35
00:03:23,509 --> 00:03:25,349
f menos h, disculpad

36
00:03:25,349 --> 00:03:27,810
me he precipitado, he visto aquí

37
00:03:27,810 --> 00:03:29,270
todo que era muy fácil

38
00:03:29,270 --> 00:03:46,169
He dicho, venga, pues f menos h, esa es la función f, que era x menos 1 partido de x más 3, el resto, la raíz de x menos 1.

39
00:03:49,659 --> 00:03:59,300
¿Y qué tienen en común todos los números menos el 3 con todos los números de 1 en adelante? Pues todos los números de 1 en adelante.

40
00:03:59,300 --> 00:04:01,139
bien

41
00:04:01,139 --> 00:04:05,039
aquí el menos 3 no es problemático

42
00:04:05,039 --> 00:04:09,520
f más g

43
00:04:09,520 --> 00:04:11,379
f más h por g

44
00:04:11,379 --> 00:04:13,639
f más h

45
00:04:13,639 --> 00:04:15,319
por g

46
00:04:15,319 --> 00:04:18,839
lo he expresado mal

47
00:04:18,839 --> 00:04:23,500
f más h

48
00:04:23,500 --> 00:04:26,319
sería x menos 1

49
00:04:26,319 --> 00:04:28,680
x más 3

50
00:04:28,680 --> 00:04:30,720
menos x menos 1

51
00:04:30,720 --> 00:04:33,720
y que a su vez

52
00:04:33,720 --> 00:04:51,459
lo multiplico por g, que era 2 partido x cuadrado menos 9, bueno, pues yo lo dejaría tal que así, o si queréis podemos operar unos con otros,

53
00:04:51,459 --> 00:05:00,779
y quedaría x más 3, x menos 3 al cuadrado

54
00:05:00,779 --> 00:05:05,300
perdonad, justamente el que era el cuadrado era el otro

55
00:05:05,300 --> 00:05:07,839
va a haber 2x más 3 al cuadrado

56
00:05:07,839 --> 00:05:10,800
menos 2x menos 1

57
00:05:10,800 --> 00:05:14,379
entre x cuadrado menos 9

58
00:05:14,379 --> 00:05:23,540
entonces, ¿qué tienen en común la f, la g y la h?

59
00:05:23,540 --> 00:05:36,920
Bueno, si miramos la f, la g, la h, no vale el menos 3, no vale 3 y el menos 3 y solo vale de 1 de adelante, pues va a ser de 1 a 3 y de 3 en adelante.

60
00:05:39,019 --> 00:05:47,040
Ahora si pensamos en la función d, que es 1 partido de f, es darle la vuelta.

61
00:05:47,040 --> 00:05:50,100
bueno, escribimos tal cual

62
00:05:50,100 --> 00:05:53,680
que sería x menos 1

63
00:05:53,680 --> 00:05:59,110
x más 3

64
00:05:59,110 --> 00:06:03,629
que generalmente lo ponemos de esta manera

65
00:06:03,629 --> 00:06:06,189
pero no hay que olvidar

66
00:06:06,189 --> 00:06:11,180
que el dominio de una función dada la vuelta

67
00:06:11,180 --> 00:06:13,379
va a ser el dominio de partida

68
00:06:13,379 --> 00:06:16,540
no vale pensar en el menos 3

69
00:06:16,540 --> 00:06:19,759
ni en los números que anulen el denominador

70
00:06:19,759 --> 00:06:22,839
luego son todos los reales

71
00:06:22,839 --> 00:06:27,040
menos el menos 3 y el 1

72
00:06:27,040 --> 00:06:32,040
y seguro que os llama la atención, oye Pablo, si x más 3 entre x menos 1

73
00:06:32,040 --> 00:06:35,600
no existe en el 1, pero sí que puede existir en el menos 3

74
00:06:35,600 --> 00:06:39,560
vale 0, no, no vale existir porque hemos construido la función

75
00:06:39,560 --> 00:06:43,300
a partir de otra, si a mí tú me das directamente esta expresión

76
00:06:43,300 --> 00:06:47,519
yo estoy de acuerdo contigo, esta función

77
00:06:47,519 --> 00:06:52,120
solo no existe en el 1, pero si tú me dices esta expresión

78
00:06:52,120 --> 00:06:55,399
entonces tengo que decir

79
00:06:55,399 --> 00:07:00,060
que esta función no existe ni en el 1

80
00:07:00,060 --> 00:07:03,579
ni en el menos 3, porque la función f tampoco existía

81
00:07:03,579 --> 00:07:12,449
el apartado e es g entre h

82
00:07:12,449 --> 00:07:16,290
y g entre h es poner

83
00:07:16,290 --> 00:07:20,230
arriba la función f, g, 2 partido de x cuadrado

84
00:07:20,230 --> 00:07:42,879
menos 9 y abajo la función h que era la raíz de x más 1. Si lo ponemos de la manera habitual

85
00:07:42,879 --> 00:07:54,819
x cuadrado menos 9 raíz de x menos 1. Bueno, pues el dominio de esta nueva función es

86
00:07:54,819 --> 00:08:02,980
lo que tienen en común g y h. La función g no existe en el menos de 3 de menos 3 y

87
00:08:02,980 --> 00:08:05,000
Y la h solo existe de 1 en adelante.

88
00:08:05,680 --> 00:08:12,600
Y además hay que excluir los ceros de la nueva función, que es decir el menos 1.

89
00:08:13,360 --> 00:08:21,500
Luego es desde menos 1 sin incluir hasta 3 y de 3 en adelante.

90
00:08:22,120 --> 00:08:26,060
¿Veis que estamos partiendo de unas funciones y no solo miramos al final?

91
00:08:26,660 --> 00:08:30,480
Suele ayudar mirar al final, pero hay que saber de dónde partimos al principio.

92
00:08:30,480 --> 00:08:34,320
Por lo cual es fundamental saber los dominios de partida.

93
00:08:35,360 --> 00:08:45,659
Y por último, la función h partido de f es la función que era x más 1 o x menos 1, que lo estoy copiando mal.

94
00:08:51,970 --> 00:09:01,919
x menos 1 entre la función f, que era x menos 1, x más 3.

95
00:09:01,919 --> 00:09:34,179
De la manera habitual lo pondríamos como x más 3 veces x menos 1 entre x menos 1 y el dominio de esta función es lo que tengan en común h y f, h y f solo no existen en menos 3 y la h de 1 en adelante, muy bien, luego va a ser de 1 a 3 y 3 en adelante

96
00:09:34,179 --> 00:09:37,740
y además excluir los nuevos ceros

97
00:09:37,740 --> 00:09:39,600
los nuevos ceros son el 1

98
00:09:39,600 --> 00:09:42,059
luego vuelve a ser como en el apartado anterior

99
00:09:42,059 --> 00:09:45,980
de 1 a 3

100
00:09:45,980 --> 00:09:48,419
y de 3 en adelante

101
00:09:48,419 --> 00:09:51,779
mirad, a tener en cuenta

102
00:09:51,779 --> 00:09:53,080
y lo resumo rápido

103
00:09:53,080 --> 00:09:55,820
que en la

104
00:09:55,820 --> 00:10:04,360
suma, resta y multiplicación

105
00:10:04,360 --> 00:10:06,279
el dominio

106
00:10:06,279 --> 00:10:13,259
va a ser la intersección de los dominios

107
00:10:13,259 --> 00:10:15,519
y en el cociente

108
00:10:15,519 --> 00:10:19,059
el dominio va a ser la intersección

109
00:10:19,059 --> 00:10:23,639
y no valen los denominadores igual a cero

110
00:10:23,639 --> 00:10:29,659
entonces siempre hay que mirar la intersección

111
00:10:29,659 --> 00:10:30,820
excepto la división

112
00:10:30,820 --> 00:10:34,980
no vale mirar solo al resultado final de mi ejercicio

113
00:10:34,980 --> 00:10:38,940
bueno, vamos ahora con el ejercicio 12

114
00:10:38,940 --> 00:10:47,000
sean las funciones 2x cuadrado menos 3x más 5

115
00:10:47,000 --> 00:10:50,740
y la función g de x, x más h

116
00:10:50,740 --> 00:10:53,519
donde h es cualquier número real

117
00:10:53,519 --> 00:10:58,480
2x cuadrado

118
00:10:58,480 --> 00:11:05,490
2x cuadrado menos 3x

119
00:11:05,490 --> 00:11:07,509
menos 5

120
00:11:07,509 --> 00:11:16,809
y la función g de x, x más h, donde h es un número real.

121
00:11:18,129 --> 00:11:29,950
Calcula las composiciones g compuesto con f, que es primero hacemos g y luego f.

122
00:11:30,409 --> 00:11:34,789
¿Qué es hacer g? Sumarle a cualquier número un número h.

123
00:11:34,789 --> 00:11:51,570
¿Y qué es hacer F? F coge el número que tú le des, lo eleva al cuadrado, lo multiplica por 2, le resta su triple y le resta 5.

124
00:11:51,570 --> 00:12:15,230
Luego esto es h cuadrado más 2hx más h cuadrado menos 3x menos 3h menos 5, 2x cuadrado y 4xh menos 3 más 4h menos 3x.

125
00:12:15,230 --> 00:12:26,389
y ahora tengo más 2h cuadrado menos 3h menos 5, que todo esto de aquí sería un número, ¿vale?

126
00:12:28,049 --> 00:12:36,610
Bueno, calculo las funciones y ahora es al revés, la función f compuesto con g.

127
00:12:36,610 --> 00:12:39,809
primero hacemos f

128
00:12:39,809 --> 00:12:42,330
y f que hace

129
00:12:42,330 --> 00:12:43,830
a cualquier número

130
00:12:43,830 --> 00:12:46,509
lo eleva al cuadrado

131
00:12:46,509 --> 00:12:48,289
lo multiplica 2 por 2

132
00:12:48,289 --> 00:12:49,830
le resta su triple

133
00:12:49,830 --> 00:12:52,789
y le resta 5

134
00:12:52,789 --> 00:12:58,480
y que hace

135
00:12:58,480 --> 00:13:00,399
la función g

136
00:13:00,399 --> 00:13:02,600
al número que tú le des

137
00:13:02,600 --> 00:13:08,580
que en este caso

138
00:13:08,580 --> 00:13:10,559
le doy 2x cuadrado menos 3x

139
00:13:10,559 --> 00:13:11,240
menos 5

140
00:13:11,240 --> 00:13:12,899
le sumo el número

141
00:13:12,899 --> 00:13:18,120
bueno, bueno nada, estos son el apartado A

142
00:13:18,120 --> 00:13:20,100
el apartado B

143
00:13:20,100 --> 00:13:25,480
¿para qué valores de h tiene la función g compuesto con f?

144
00:13:26,539 --> 00:13:27,720
compuesto con f

145
00:13:27,720 --> 00:13:31,379
una raíz en x igual a 0, ¿vale?

146
00:13:32,000 --> 00:13:40,759
luego nosotros queremos que esto sea 0

147
00:13:40,759 --> 00:13:44,120
si miramos nuestra expresión

148
00:13:44,120 --> 00:13:48,559
g compuesto con f, que era esta de aquí

149
00:13:48,559 --> 00:14:01,299
lo que estamos queriendo saber

150
00:14:01,299 --> 00:14:06,340
es cuando en el

151
00:14:06,340 --> 00:14:08,480
en el valor

152
00:14:08,480 --> 00:14:15,610
x es 0

153
00:14:15,610 --> 00:14:24,659
bien, si yo sustituyo el valor 0

154
00:14:24,659 --> 00:14:29,759
g compuesto con f en el 0

155
00:14:29,759 --> 00:14:39,879
va a salir 0 más 0 más 2h al cuadrado menos 3h menos 5, y yo quiero que esto sea 0.

156
00:14:40,559 --> 00:14:48,679
Y esto es 0 si solo si 2h al cuadrado menos 3h menos 5 es 0.

157
00:14:48,679 --> 00:15:15,940
Y esto ocurre si la h es 3 más menos 9, más 4 por 5 es 20, por 2 es 40, partido entre 4, 49, 7 entre 3 más 7 es 10 cuartos, 10 cuartos son 5 medios, y 3 menos 7 es menos 4, 4 es menos 1.

158
00:15:15,940 --> 00:15:40,899
Bien, pues si h es 5 medios o menos 1, la función g compuesto con f sale 0, en el 0, perdonad, sale 0.

159
00:15:40,899 --> 00:15:46,809
recordad que la palabra raíz

160
00:15:46,809 --> 00:15:49,269
es que el resultado final

161
00:15:49,269 --> 00:15:51,129
es 0

162
00:15:51,129 --> 00:15:54,940
y en nuestro caso querían

163
00:15:54,940 --> 00:15:55,679
además

164
00:15:55,679 --> 00:15:57,259
que fuese

165
00:15:57,259 --> 00:15:59,679
en el valor 0

166
00:15:59,679 --> 00:16:01,799
pero lo importante es el 0 final

167
00:16:01,799 --> 00:16:03,299
no el 0 del principio

168
00:16:03,299 --> 00:16:05,759
y bueno

169
00:16:05,759 --> 00:16:07,980
si seguimos haciendo los ejercicios

170
00:16:07,980 --> 00:16:09,519
veis que son muy fáciles

171
00:16:09,519 --> 00:16:12,419
son ejercicios, llamémoslos conceptuales

172
00:16:12,419 --> 00:16:14,139
donde hay que hacer operaciones

173
00:16:14,139 --> 00:16:16,000
que ya sabéis, pero hay que tener en cuenta

174
00:16:16,000 --> 00:16:17,879
que es el dominio, que fundirse hace primero

175
00:16:17,879 --> 00:16:20,159
todas las funciones

176
00:16:20,159 --> 00:16:26,000
f de x

177
00:16:26,000 --> 00:16:27,700
x menos 1

178
00:16:27,700 --> 00:16:30,519
entre x más 2

179
00:16:30,519 --> 00:16:33,700
g de x

180
00:16:33,700 --> 00:16:35,179
x menos 4

181
00:16:35,179 --> 00:16:38,639
y h de x

182
00:16:38,639 --> 00:16:40,539
x menos 3

183
00:16:40,539 --> 00:16:42,419
vale, aquí siempre ponen la misma esquema

184
00:16:42,419 --> 00:16:44,440
ah, y k de x

185
00:16:44,440 --> 00:16:47,220
vale, pues podría haberlo puesto un poquito más

186
00:16:47,220 --> 00:16:49,139
para que me queman todas

187
00:16:49,139 --> 00:17:06,269
y K de X es X cuadrado más 1.

188
00:17:07,150 --> 00:17:09,890
Determina el dominio y la expresión de las siguientes funciones.

189
00:17:10,049 --> 00:17:12,490
Bueno, pues para empezar el ejercicio tengo que tener claro

190
00:17:12,490 --> 00:17:15,990
el dominio de las funciones de partida.

191
00:17:16,230 --> 00:17:18,630
Todos los reales menos el menos 2.

192
00:17:22,849 --> 00:17:27,950
El dominio de G son todos los reales.

193
00:17:27,950 --> 00:17:31,900
el dominio de H

194
00:17:31,900 --> 00:17:35,839
es de 3 incluido en adelante

195
00:17:35,839 --> 00:17:38,519
y el dominio de K

196
00:17:38,519 --> 00:17:40,700
vuelven a ser todos los reales

197
00:17:40,700 --> 00:17:44,880
el primer apartado me pide la expresión

198
00:17:44,880 --> 00:17:46,599
G compuesto con F

199
00:17:46,599 --> 00:17:48,279
¿vale?

200
00:17:49,200 --> 00:17:51,359
que es que primero hago G

201
00:17:51,359 --> 00:17:55,779
y lo que me salga le aplico F

202
00:17:55,779 --> 00:17:59,579
G a todos los números le resta 4

203
00:17:59,579 --> 00:18:12,920
Y f, lo que hace a los números que tú le des, en este 4 le restas 1 y en el denominador le sumas 2.

204
00:18:13,579 --> 00:18:20,460
Luego te queda x menos 5 y abajo x menos 2.

205
00:18:21,380 --> 00:18:24,500
¿Y cuál es el dominio de una composición de funciones?

206
00:18:24,500 --> 00:18:52,660
Entonces, hay que ver que el recorrido de la primera, ¿vale?, caiga dentro del dominio de la segunda. En este caso, la G, el recorrido, que es la imagen, son todos los números reales, porque yo puedo tener cualquier número real como cualquier otro menos 4, ¿vale?

207
00:18:52,660 --> 00:19:11,970
Recordar que el recorrido, si la función x menos 4 es esta de aquí, el recorrido son todos los valores que recorre, ¿vale?

208
00:19:12,529 --> 00:19:19,089
Luego la función g recorre todos los valores.

209
00:19:20,230 --> 00:19:27,150
Y de esos no me van a interesar los que se conviertan en menos 2.

210
00:19:27,150 --> 00:19:31,130
¿Y qué valores se convierten en menos 2?

211
00:19:31,589 --> 00:19:39,029
Bueno, pues cuando x menos 4 es menos 2, cuando la x es 2.

212
00:19:39,670 --> 00:19:49,519
Pero este valor ya me aparece al final de la expresión.

213
00:19:50,240 --> 00:19:55,980
Luego aquí en la composición sí que podemos mirar el final de la expresión, que es más rápido.

214
00:19:55,980 --> 00:20:02,059
formalmente la definimos que el recorrido de la primera caiga en el dominio de la segunda

215
00:20:02,059 --> 00:20:09,140
pero en la composición, sobre todo porque los recorridos no suelen ser fáciles de determinar

216
00:20:09,140 --> 00:20:14,900
entonces miramos la expresión final y la expresión final me dice

217
00:20:14,900 --> 00:20:22,759
que el dominio de G compuesto con F son todos los reales menos el 2

218
00:20:22,759 --> 00:20:28,380
luego digamos que la composición que es más difícil de expresar

219
00:20:28,380 --> 00:20:34,220
es más cómodo de mirar su dominio porque miramos la respuesta final

220
00:20:34,220 --> 00:20:38,119
ahora hacemos f de g de x

221
00:20:38,119 --> 00:20:44,160
que la f a cualquier número lo convierte en el siguiente cociente

222
00:20:44,160 --> 00:20:51,579
y la g a cualquier número que le des le resta 4

223
00:20:51,579 --> 00:21:12,410
Bueno, pues el dominio de esta nueva función, pues miro la expresión final y digo no existe para el menos 2 y no me planteo si el recorrido de una cae en la otra. Así es como construyo la teoría, pero no la práctica.

224
00:21:12,410 --> 00:21:24,730
El siguiente apartado es G compuesto con H. Insisto que leemos de derecha a izquierda, ¿vale? G compuesto con H, no H o F.

225
00:21:24,730 --> 00:21:45,319
g compuesto con h es que primero hacemos g, la función g lo que hacía era restar 4 y la función h a lo que le des le resta 3 y hace su raíz cuadrada,

226
00:21:45,319 --> 00:21:48,099
es decir, x menos 7

227
00:21:48,099 --> 00:21:52,740
luego mirando directamente su expresión

228
00:21:52,740 --> 00:21:56,279
va a ser de 7 en adelante

229
00:21:56,279 --> 00:21:59,240
y no me planteo si el recorrido de una

230
00:21:59,240 --> 00:22:00,599
cae en el dominio de la otra

231
00:22:00,599 --> 00:22:03,220
miro la expresión final y acabo antes

232
00:22:03,220 --> 00:22:08,460
la función h compuesto con g

233
00:22:08,460 --> 00:22:13,670
es que primero hago h

234
00:22:13,670 --> 00:22:17,990
que lo que hace es tomar la raíz cuadrada

235
00:22:17,990 --> 00:22:23,559
y mi función f a lo que le des

236
00:22:23,559 --> 00:22:26,420
le resta 4

237
00:22:26,420 --> 00:22:30,579
luego mirando la expresión final

238
00:22:30,579 --> 00:22:36,019
digo que esta función existe de 3 en adelante

239
00:22:36,019 --> 00:22:40,779
ahora voy con h compuesto con k

240
00:22:40,779 --> 00:23:03,099
la función h hace la raíz cuadrada del número menos 3, y la función k, lo que tú le des, bien, lo eleva al cuadrado y le suma 1, ¿vale?

241
00:23:03,099 --> 00:23:21,539
Bien, pues aquí la verdad es que un poco me tengo que desdecir de lo dicho, aquí miramos esta función y en principio mirando al final diríamos, Pablo esta función no tiene ningún problema, a cualquier número le puedo restar 3 elevado al cuadrado,

242
00:23:21,539 --> 00:23:25,279
pero sin embargo como yo he partido de la función h

243
00:23:25,279 --> 00:23:28,380
que es de la primera que empiezo

244
00:23:28,380 --> 00:23:31,019
y solo existe tres en adelante

245
00:23:31,019 --> 00:23:35,059
disculpad mis comentarios

246
00:23:35,059 --> 00:23:39,220
pero aunque yo os diga de una manera práctica

247
00:23:39,220 --> 00:23:42,599
solo hay que mirar el final del ejercicio

248
00:23:42,599 --> 00:23:44,559
bueno, en este ejemplo claro

249
00:23:44,559 --> 00:23:47,160
veo que el principio también es importante

250
00:23:47,160 --> 00:23:50,779
así que siento desdecirme

251
00:23:50,779 --> 00:24:02,099
Pero es la realidad, no podemos concluir que la función h compuesto con k existe siempre, aunque su expresión exista siempre, estamos hablando de una composición de funciones.

252
00:24:03,059 --> 00:24:11,740
Luego en la práctica, pues miramos al final, pero miramos un poco al principio, ¿vale? Disculpad un poco que a veces explico las cosas con mucha alegría.

253
00:24:11,740 --> 00:24:25,670
Y la función K lo que hace es, a lo que tú le des, le va al cuadrado y le suma 1.

254
00:24:26,890 --> 00:24:33,190
Y mi función F lo que hace, a lo que tú le des, le resta 1.

255
00:24:34,869 --> 00:24:40,450
Y a lo que tú le des, le suma 2.

256
00:24:40,450 --> 00:24:46,170
Es decir, x cuadrado entre x cuadrado más 3

257
00:24:46,170 --> 00:24:49,750
Yo miro la expresión final y no tiene ningún problema

258
00:24:49,750 --> 00:24:52,250
Luego yo diría que el dominio son todos los reales

259
00:24:52,250 --> 00:24:54,750
Pero para no pecar, como en el ejercicio anterior

260
00:24:54,750 --> 00:24:57,430
Digo, oye, ¿cuál era el dominio de partida?

261
00:24:57,549 --> 00:24:58,130
El de la K

262
00:24:58,130 --> 00:25:03,509
El dominio de la K eran todos los reales

263
00:25:03,509 --> 00:25:04,150
Ah, bien

264
00:25:04,150 --> 00:25:10,230
Pues la composición convierte todos los reales en una expresión

265
00:25:10,230 --> 00:25:22,390
que no tiene problemas, luego no va a tener ningún problema la función, el dominio de k compuesto con f

266
00:25:22,390 --> 00:25:28,369
van a ser todos los reales, bueno Pablo yo creo que unas veces lo haces de una manera, otras de otra

267
00:25:28,369 --> 00:25:36,849
nos estás engañando, no, ¿qué ocurre? algún momento, en algún momento algún número al cuadrado más uno

268
00:25:36,849 --> 00:25:39,269
va a convertirse en el problema

269
00:25:39,269 --> 00:25:41,789
que tenía nuestra función inicial

270
00:25:41,789 --> 00:25:45,809
que era ser menos 2

271
00:25:45,809 --> 00:25:49,319
nunca va a ocurrir

272
00:25:49,319 --> 00:25:53,579
y eso me lo dice la expresión final

273
00:25:53,579 --> 00:25:57,319
yo si esto lo opero

274
00:25:57,319 --> 00:26:00,779
me sale que x cuadrado tiene que ser menos 3

275
00:26:00,779 --> 00:26:02,680
que esto no ocurre nunca

276
00:26:02,680 --> 00:26:05,880
entonces ¿cuál es la diferencia entre estos dos ejercicios?

277
00:26:06,000 --> 00:26:07,460
porque ahora sí que me has confundido

278
00:26:07,460 --> 00:26:25,849
En el ejercicio anterior yo veo una expresión sin problemas y me dices que tengo que decir que el dominio es de tres en adelante y en esta expresión vuelvo a hacer una función sin problemas y dices que no tiene problemas.

279
00:26:25,849 --> 00:26:37,589
Bueno, como lo que yo no voy a hacer es en la práctica meter los recorridos de uno en los dominios de otros, lo que sí que está claro es que si parto de un dominio con ese va a ser hasta el final del ejercicio.

280
00:26:38,430 --> 00:26:45,109
Si yo parto aquí del dominio de la h, que la h hemos visto que va de 3 en infinito,

281
00:26:45,430 --> 00:26:49,890
todos los ejercicios que tengan una h van a partir de 3 a infinito.

282
00:26:51,210 --> 00:26:57,230
Si yo empiezo con el dominio de la g, la g son todos los reales, son la f y la h los que tienen problemas.

283
00:26:57,230 --> 00:27:03,849
Si yo empiezo con un dominio de la f que tiene problemas en el menos 2, mi función va a tener problemas en el menos 2.

284
00:27:03,849 --> 00:27:05,390
luego en la práctica

285
00:27:05,390 --> 00:27:08,269
estudiamos el dominio de salida

286
00:27:08,269 --> 00:27:15,460
el dominio

287
00:27:15,460 --> 00:27:17,119
de salida

288
00:27:17,119 --> 00:27:19,680
y la expresión

289
00:27:19,680 --> 00:27:20,299
de llegada

290
00:27:20,299 --> 00:27:28,339
bien, no es tan complicado

291
00:27:28,339 --> 00:27:30,359
tenéis que pensar que las funciones

292
00:27:30,359 --> 00:27:32,279
se construyen con unas normas y no vale

293
00:27:32,279 --> 00:27:34,759
saltárselas, aunque al final del ejercicio

294
00:27:34,759 --> 00:27:36,720
como nos pase ahí, parece que esa función

295
00:27:36,720 --> 00:27:38,700
no es problemática, si esa función

296
00:27:38,700 --> 00:27:40,380
al principio tenía problemas

297
00:27:40,380 --> 00:27:42,880
antes del 3, los va a seguir teniendo

298
00:27:42,880 --> 00:27:43,759
cada vez que la uses

299
00:27:43,759 --> 00:28:16,740
Bien, bueno, ahora vamos a ver otro apartado que se llama la función inversa, vale, entonces para estudiar la función inversa vamos a un poco a partir de la gráfica que siempre ayuda bastante

300
00:28:16,740 --> 00:28:32,170
Y vamos, por ejemplo, a estudiar la raíz cuadrada, cuyo dibujo ya nos lo sabemos perfectamente.

301
00:28:32,170 --> 00:28:56,940
La raíz cuadrada, si nos fijamos en que mi función sea la parábola y vamos a estudiar de cero en adelante, mi función raíz cuadrada tiene esta expresión.

302
00:28:56,940 --> 00:29:06,559
esta de aquí sería suspensión en la parte negativa

303
00:29:06,559 --> 00:29:09,359
pero estamos de 0 en adelante

304
00:29:09,359 --> 00:29:13,839
bien, si yo quiero buscar

305
00:29:13,839 --> 00:29:17,660
cuál es la función inversa

306
00:29:17,660 --> 00:29:20,660
con este ejercicio estoy haciendo trampa

307
00:29:20,660 --> 00:29:26,240
que la denotaremos por f a la menos 1

308
00:29:26,240 --> 00:29:30,539
como si fuera el inverso del número 3 es 3 a la menos 1

309
00:29:30,539 --> 00:29:33,799
nosotros que sabemos que va a ser

310
00:29:33,799 --> 00:29:35,660
la raíz cuadrada

311
00:29:35,660 --> 00:29:36,539
¿vale?

312
00:29:37,539 --> 00:29:39,500
pero el dominio

313
00:29:39,500 --> 00:29:42,559
de esta función

314
00:29:42,559 --> 00:29:45,839
tiene que ser el recorrido

315
00:29:45,839 --> 00:29:47,079
de la otra

316
00:29:47,079 --> 00:29:51,640
que es esta función

317
00:29:51,640 --> 00:29:56,369
¿vale?

318
00:29:56,569 --> 00:29:57,970
luego el recorrido

319
00:29:57,970 --> 00:30:02,170
el dominio de f a la menos uno

320
00:30:02,170 --> 00:30:03,309
va a ser también

321
00:30:03,309 --> 00:30:06,369
de cero en adelante

322
00:30:06,369 --> 00:30:11,549
voy a ponerlo esto como en

323
00:30:11,549 --> 00:30:23,150
amarillo para que

324
00:30:23,150 --> 00:30:30,680
se entienda, no, no se ve del todo bien

325
00:30:30,680 --> 00:30:33,680
pero bueno, de cero en adelante

326
00:30:33,680 --> 00:30:37,559
el dominio de una es las x y las y

327
00:30:37,559 --> 00:30:44,059
si yo me planteo, por ejemplo

328
00:30:44,059 --> 00:30:53,019
Yo sé que f en 2 es 2 al cuadrado 4.

329
00:30:53,819 --> 00:30:59,059
Luego se tiene que cumplir que la inversa del 4 sea 2.

330
00:31:00,119 --> 00:31:07,819
Luego, si yo busco en el punto 2, 4, está en mi gráfica f.

331
00:31:07,819 --> 00:31:20,480
y en mi punto 4, 2 debería estar en mi gráfica de f a la menos 1.

332
00:31:21,299 --> 00:31:36,210
Estos dos puntos de aquí, si este es el punto A, que es el 2, 4,

333
00:31:36,690 --> 00:31:41,230
este de aquí es el punto B, que es el 4, 2,

334
00:31:41,630 --> 00:31:45,630
f de 2 sale 4 y f menos 1 de 4 sale 2.

335
00:31:46,109 --> 00:31:51,390
¿Cómo podemos construir y entender lo que ha ocurrido?

336
00:31:52,289 --> 00:32:06,190
Bueno, pues con una recta muy importante, que es la bisectriz, que es la recta Y igual a X,

337
00:32:06,190 --> 00:32:13,509
veis que el punto A y B son simétricos

338
00:32:13,509 --> 00:32:16,609
respecto a la bisectriz

339
00:32:16,609 --> 00:32:19,670
esto no es una casualidad

340
00:32:19,670 --> 00:32:23,869
sino que por construcción

341
00:32:23,869 --> 00:32:34,640
diremos que F-1 es

342
00:32:34,640 --> 00:32:37,180
inversa

343
00:32:37,180 --> 00:32:54,039
es inversa de f, si f menos 1 compuesto con f de x es x,

344
00:32:54,039 --> 00:32:59,960
y si f compuesto con f menos 1 de x también es x,

345
00:33:00,500 --> 00:33:06,480
a esta función generalmente se le llama la función identidad y se le identifica por un 1.

346
00:33:06,480 --> 00:33:12,119
porque esto está basado en que 3 por 3 a la menos 1

347
00:33:12,119 --> 00:33:15,859
sale 1, igual que 3 a la menos menos 1 por 3

348
00:33:15,859 --> 00:33:19,079
también salga 1, bueno pues

349
00:33:19,079 --> 00:33:24,559
nosotros, esta es nuestra definición

350
00:33:24,559 --> 00:33:28,960
de función inversa, y si existe

351
00:33:28,960 --> 00:33:32,779
tiene que existir por ambos lados, bien

352
00:33:32,779 --> 00:33:37,660
por eso si yo dibujo

353
00:33:37,660 --> 00:33:43,660
cada punto tiene que ser un simétrico cuál va a ser la representación de mi

354
00:33:43,660 --> 00:33:53,420
función inversa a esta mi función raíz cuadrada la hemos dibujado en verde

355
00:33:53,420 --> 00:34:00,180
y de qué color vamos a dibujar la función inversa bueno pues color que se

356
00:34:00,180 --> 00:34:04,180
vea un poco naranja ya lo tenemos tenemos tantos

357
00:34:04,180 --> 00:34:06,000
colores, pues vamos con

358
00:34:06,000 --> 00:34:08,920
con el negro

359
00:34:08,920 --> 00:34:17,099
¿vale? disculpad

360
00:34:17,099 --> 00:34:21,340
si ahora dibujo en negro, este punto

361
00:34:21,340 --> 00:34:24,800
va a estar en la función inversa

362
00:34:24,800 --> 00:34:28,039
porque va a salir el mismo, este punto va a estar en la función

363
00:34:28,039 --> 00:34:31,139
inversa, este punto va a estar en la función inversa

364
00:34:31,139 --> 00:34:33,139
no es difícil imaginar

365
00:34:33,139 --> 00:34:36,760
que lo que yo estoy buscando es una

366
00:34:36,760 --> 00:34:49,340
función simétrica respecto de la identidad. Por eso yo he empezado el ejercicio no considerando

367
00:34:49,340 --> 00:34:59,079
la raíz cuadrada completamente, porque si yo hiciese la inversa respecto de la raíz cuadrada

368
00:34:59,079 --> 00:35:04,400
me saldría algo como, a ver

369
00:35:04,400 --> 00:35:06,920
como así

370
00:35:06,920 --> 00:35:10,980
y esta función no sería

371
00:35:10,980 --> 00:35:13,340
la función negra no sería función

372
00:35:13,340 --> 00:35:15,320
porque dado un valor x

373
00:35:15,320 --> 00:35:20,329
tengo dos is con cual me quedo

374
00:35:20,329 --> 00:35:26,769
luego hay que tener en cuenta

375
00:35:26,769 --> 00:35:34,280
que el dominio de mi función f

376
00:35:34,280 --> 00:35:36,719
tiene que ser el recorrido

377
00:35:36,719 --> 00:35:39,260
de mi función f menos 1

378
00:35:39,260 --> 00:35:43,679
y que el recorrido de mi función f

379
00:35:43,679 --> 00:35:47,860
tiene que ser el dominio de f a la menos 1.

380
00:35:54,469 --> 00:35:56,050
Bueno, Pablo, esto se complica.

381
00:35:56,170 --> 00:35:57,090
No, no se complica.

382
00:35:57,230 --> 00:35:58,670
Son definiciones formales

383
00:35:58,670 --> 00:36:01,949
que solo lo vamos a mirar en ejercicios muy precisos.

384
00:36:01,949 --> 00:36:04,250
En la práctica vamos a operar sin más.

385
00:36:04,789 --> 00:36:07,130
Pero en algún ejercicio que vaya con trampa

386
00:36:07,130 --> 00:36:08,610
tendremos que acordarnos de esto.

387
00:36:09,610 --> 00:36:09,909
¿Vale?

388
00:36:12,630 --> 00:36:16,590
¿Cómo podemos calcular una función inversa?

389
00:36:17,070 --> 00:36:24,929
Bueno, pues lo mejor es ir a por ella, y si se puede, se puede, y si no, no.

390
00:36:25,489 --> 00:36:28,610
Por ejemplo, vamos a primero con un ejercicio.

391
00:36:30,630 --> 00:36:43,530
Calcula f menos 1 si la función f sea x más 1, x más 2, ¿vale?

392
00:36:43,809 --> 00:36:58,269
bueno, pues yo lo que tengo es que mi función f-1, mi función f de x sale y,

393
00:36:58,269 --> 00:37:12,489
y la función f-1 de y sale x, pues esto lo único que hago es igualar que la y sea x más 1 entre x más 2

394
00:37:12,489 --> 00:37:37,329
y despejo la x en función de la y, entonces sale yx más 2y es x más 1, 2y es x más 1 menos yx, 2y menos 1 es x que multiplica a 1 a 1,

395
00:37:37,329 --> 00:37:40,090
y aún ahí, bueno, no pongo este paso que si no ya veo

396
00:37:40,090 --> 00:37:42,449
alguno con cara rara

397
00:37:42,449 --> 00:37:46,639
x menos y, x

398
00:37:46,639 --> 00:37:50,599
2y menos 1 es x veces

399
00:37:50,599 --> 00:37:51,860
1 menos y

400
00:37:51,860 --> 00:37:55,880
y sin plantearme si las cosas existen o no

401
00:37:55,880 --> 00:37:59,449
paso dividiendo

402
00:37:59,449 --> 00:38:03,289
y concluyo que me inversa

403
00:38:03,289 --> 00:38:07,530
y en lugar de utilizar la letra y siempre se utiliza la x

404
00:38:07,530 --> 00:38:10,590
es 2x menos 1

405
00:38:10,590 --> 00:38:13,530
entre 1 menos x

406
00:38:13,530 --> 00:38:17,889
entonces ahora que tengo la expresión de partida

407
00:38:17,889 --> 00:38:21,460
cuyo dominio

408
00:38:21,460 --> 00:38:25,280
me voy a ponerlo mejor abajo

409
00:38:25,280 --> 00:38:32,880
f de x era x más 1

410
00:38:32,880 --> 00:38:36,739
entre x más 2

411
00:38:36,739 --> 00:38:38,960
y su dominio

412
00:38:38,960 --> 00:38:41,260
son todos los reales

413
00:38:41,260 --> 00:38:42,760
menos el menos 2

414
00:38:42,760 --> 00:38:45,679
y esta nueva función

415
00:38:45,679 --> 00:38:51,099
la función inversa, su dominio

416
00:38:51,099 --> 00:38:55,239
son todos los reales menos el 1

417
00:38:55,239 --> 00:38:59,860
bien, he operado bien, x más 1

418
00:38:59,860 --> 00:39:01,699
x menos 1

419
00:39:01,699 --> 00:39:07,360
x menos 1, muy bien, entonces

420
00:39:07,360 --> 00:39:10,500
cuando yo cojo

421
00:39:10,500 --> 00:39:14,840
y miro mi expresión

422
00:39:14,840 --> 00:39:19,219
yo he sido capaz de, dado una f, construir una f menos 1

423
00:39:19,219 --> 00:39:21,940
mi f tiene unos problemas en el menos 2

424
00:39:21,940 --> 00:39:28,000
y mi función inversa tiene unos problemas en el 1

425
00:39:28,000 --> 00:39:32,400
yo lo que tendría que comprobar es que el recorrido

426
00:39:32,400 --> 00:39:36,059
de la primera nunca tiene que caer

427
00:39:36,059 --> 00:39:37,820
en el dominio de la segunda

428
00:39:37,820 --> 00:39:43,980
es x más 1 partido de x más 2

429
00:39:43,980 --> 00:39:47,500
¿Alguna vez 1, el valor problemático de f-1?

430
00:39:48,719 --> 00:39:52,119
Pues no, porque nunca es igual a 2.

431
00:39:52,440 --> 00:39:56,280
Luego, en la práctica, como os digo, tú calculas la expresión si puedes,

432
00:39:56,760 --> 00:40:00,059
y calculas su dominio, y no te planteas los recorridos.

433
00:40:00,900 --> 00:40:06,849
Pero esto es un ejercicio que se puede, y yo he empezado diciendo

434
00:40:06,849 --> 00:40:12,150
que en mi función raíz cuadrada,

435
00:40:12,150 --> 00:40:15,150
o elevar al cuadrado

436
00:40:15,150 --> 00:40:18,969
no íbamos a poder

437
00:40:18,969 --> 00:40:22,849
si yo me busco

438
00:40:22,849 --> 00:40:27,309
que funciones y igual a x al cuadrado

439
00:40:27,309 --> 00:40:32,230
me sale que la raíz positiva y negativa de x

440
00:40:32,230 --> 00:40:35,550
de y es x, es decir

441
00:40:35,550 --> 00:40:40,610
necesito dos funciones, porque no vale dar una respuesta que sea doble

442
00:40:40,610 --> 00:40:55,829
Luego, no se puede calcular una única expresión si el dominio de F es todo R.

443
00:40:57,050 --> 00:41:15,690
Si hacemos este mismo ejercicio, que el dominio sea de 0 en adelante,

444
00:41:15,690 --> 00:41:20,679
cuando yo tomo

445
00:41:20,679 --> 00:41:22,719
y igual a x cuadrado

446
00:41:22,719 --> 00:41:25,880
solo estoy tomando

447
00:41:25,880 --> 00:41:28,320
la respuesta positiva de x

448
00:41:28,320 --> 00:41:32,539
porque la función solo existe para una x positiva

449
00:41:32,539 --> 00:41:35,480
luego f a la menos 1

450
00:41:35,480 --> 00:41:38,920
será simplemente raíz de x

451
00:41:38,920 --> 00:41:40,480
y el dominio

452
00:41:40,480 --> 00:41:42,940
de esta función

453
00:41:42,940 --> 00:41:46,019
también será de 0 en adelante

454
00:41:46,019 --> 00:41:49,320
bien, espero que haya quedado claro

455
00:41:49,320 --> 00:41:50,019
un saludo

456
00:41:50,019 --> 00:41:52,719
uy, no he mandado tarea, perdona

457
00:41:52,719 --> 00:41:55,219
para casa

458
00:41:55,219 --> 00:41:59,619
el

459
00:41:59,619 --> 00:42:01,980
15, 16 y 17

460
00:42:01,980 --> 00:42:06,699
un saludo