1
00:00:03,180 --> 00:00:08,980
Vamos a continuar la clase con lo que es una combinación lineal de vectores.

2
00:00:09,679 --> 00:00:16,679
Anteriormente hemos visto que dentro de V2, el conjunto de los vectores libres del plano,

3
00:00:17,379 --> 00:00:19,059
podemos definir dos operaciones.

4
00:00:19,480 --> 00:00:25,539
La suma de vectores, que ya sabemos sumar vectores tanto analíticamente como gráficamente,

5
00:00:26,500 --> 00:00:30,320
como otra operación que era la de multiplicar un escalar por un vector.

6
00:00:30,320 --> 00:00:34,219
Escalar es sinónimo de número real

7
00:00:34,219 --> 00:00:41,140
En dos operaciones, de las cuales hemos visto ya en propiedades, etc.

8
00:00:41,520 --> 00:00:45,740
Vamos a definir ahora, como hemos dicho, lo que es la combinación lineal de vectores

9
00:00:45,740 --> 00:00:51,920
Imaginar que tenemos n vectores de v2

10
00:00:51,920 --> 00:00:56,759
Lo vamos a denominar u1, u2, así hasta un n

11
00:00:56,759 --> 00:01:03,259
Y luego tenemos una serie de escalares de números reales, lambda 1, lambda 2, así hasta lambda n.

12
00:01:03,820 --> 00:01:12,579
¿Qué es una combinación lineal de vectores? De estos vectores, de U1 hasta Un, pues cualquier combinación que sea de esta forma.

13
00:01:12,579 --> 00:01:27,799
Es decir, escalar por el primer vector más otro escalar por el otro vector más puntos suspensivos, escalar de nuevo otro escalar por el vector u sub n.

14
00:01:28,280 --> 00:01:34,120
El resultado de hacer esta operación, como hemos visto, multiplicar un escalar por un vector me da un vector.

15
00:01:34,920 --> 00:01:38,659
Así que cada uno de estos sumandos que tenemos aquí son vectores.

16
00:01:38,659 --> 00:01:44,000
con lo cual el resultado de sumar vectores, como hemos visto también cuando hemos repasado

17
00:01:44,000 --> 00:01:48,340
cuando hemos visto la suma de vectores, la suma de vectores me da un nuevo vector

18
00:01:48,340 --> 00:01:51,700
es decir, que cuando yo hago una combinación lineal de vectores

19
00:01:51,700 --> 00:01:56,519
lo que vuelvo a obtener es otro vector, otro vector libre del plano

20
00:01:56,519 --> 00:02:01,560
es decir, que el resultado pertenece a V2

21
00:02:01,560 --> 00:02:07,840
vamos a ver aquí gráficamente en este Apple que tenéis de GeoGebra

22
00:02:07,840 --> 00:02:14,259
lo que es una combinación lineal. Fijaros, el vector AX, que está aquí en color negro,

23
00:02:15,360 --> 00:02:20,539
es una combinación lineal de estos dos vectores, del vector AB y del vector AC.

24
00:02:21,000 --> 00:02:25,080
¿Qué combinación lineal concreta de esos dos vectores es?

25
00:02:25,699 --> 00:02:34,319
Pues en este caso, como los escalores toman los valores, el A es 1,5 y B es el otro escalar, 2,

26
00:02:34,319 --> 00:02:40,699
eso quiere decir que el vector AB está multiplicado por 1,5

27
00:02:40,699 --> 00:02:44,099
recordad que al multiplicar un escalar por un vector

28
00:02:44,099 --> 00:02:49,419
teníamos un vector en la misma dirección que el mismo vector de partida

29
00:02:49,419 --> 00:02:50,740
que el vector AB en este caso

30
00:02:50,740 --> 00:02:56,080
el sentido, pues como en este caso el escalar es positivo

31
00:02:56,080 --> 00:03:00,219
era el mismo que el del vector AB

32
00:03:00,219 --> 00:03:07,240
y el módulo quedaba multiplicado por el valor absoluto de este escalar.

33
00:03:07,560 --> 00:03:13,919
Es decir, el módulo de A B' es 1,5 veces mayor que el módulo de A B.

34
00:03:14,939 --> 00:03:17,039
Análogamente haríamos con el vector AC.

35
00:03:17,219 --> 00:03:21,139
En este caso el vector AC está multiplicado por 2, por el escalar 2,

36
00:03:21,139 --> 00:03:30,099
con lo cual, al ser un escalar positivo, el vector AC' tiene la misma dirección

37
00:03:30,099 --> 00:03:39,919
y sentido que el vector AC y el módulo del vector AC' es dos veces el módulo del vector AC.

38
00:03:40,620 --> 00:03:50,960
Bueno, al sumar este vector, el vector AB' con el vector AC' es como cuando obtenemos el vector AX.

39
00:03:51,659 --> 00:03:56,819
¿Cuántas combinaciones podemos hacer con los vectores AB y AC?

40
00:03:56,819 --> 00:04:02,759
Pues infinitas, porque como yo puedo variar los escalares A y B

41
00:04:02,759 --> 00:04:10,259
Haciendo barrer sus valores en el conjunto de los números reales

42
00:04:10,259 --> 00:04:16,740
Pues en realidad lo que tenemos son infinitas combinaciones lineales de esos dos vectores

43
00:04:16,740 --> 00:04:20,939
Por ejemplo aquí, que si voy variando el escalar

44
00:04:20,939 --> 00:04:26,819
En este caso, tanto A como B varían entre menos 5 y 5

45
00:04:26,819 --> 00:04:35,899
pues lo que hago es multiplicar el vector AB por este escalar, en este caso por menos 1,1

46
00:04:35,899 --> 00:04:45,019
al variar el valor de B, del escalar B, pues también el módulo, dirección

47
00:04:45,019 --> 00:04:53,220
bueno, la dirección es la misma que, la dirección de AC' es la misma que la de AC, la dirección es la misma

48
00:04:54,060 --> 00:05:01,379
El sentido, cuando es positivo, mismo sentido, cuando B es negativo, sentido contrario, el del AC'.

49
00:05:01,379 --> 00:05:09,779
Y la suma de estos dos vectores que yo obtengo, que son los que están punteados aquí en trazo discontinuo, es el vector AX.

50
00:05:09,779 --> 00:05:16,500
El resultado va a ser siempre un nuevo vector libre del plano V2.

51
00:05:16,500 --> 00:05:27,339
Por ejemplo, imaginar que yo tengo dos vectores que van a ser los siguientes.

52
00:05:28,160 --> 00:05:40,060
El vector u de coordenadas 3, 5 y el vector v de coordenadas 1, menos 2.

53
00:05:40,060 --> 00:05:45,600
Si a mí me dicen escribe una combinación lineal de ellos

54
00:05:45,600 --> 00:05:49,100
Yo me puedo inventar unos escalares A y B

55
00:05:49,100 --> 00:05:55,800
De tal manera que una combinación lineal de ellos sería esta

56
00:05:55,800 --> 00:05:58,959
Por ejemplo, si cojo como A

57
00:05:58,959 --> 00:06:01,519
Como el escalar que multiplica al vector U

58
00:06:01,519 --> 00:06:03,399
El menos 2

59
00:06:03,399 --> 00:06:08,189
Y escalar B

60
00:06:08,189 --> 00:06:10,970
Pues más 4, por ejemplo

61
00:06:10,970 --> 00:06:16,250
esto sería una combinación lineal de estos dos vectores

62
00:06:16,250 --> 00:06:19,110
lo podemos calcular analíticamente

63
00:06:19,110 --> 00:06:26,350
y lo que tenemos que hacer primero es

64
00:06:26,350 --> 00:06:30,449
el producto de escalar por vector

65
00:06:30,449 --> 00:06:35,170
recordad que al multiplicar el escalar por el vector

66
00:06:35,170 --> 00:06:38,689
lo que tengo que hacer es multiplicar el escalar por cada componente del vector

67
00:06:38,689 --> 00:06:42,949
en este caso sería menos 6 menos 10

68
00:06:42,949 --> 00:06:50,779
Y al multiplicar 4 por el vector v, me quedaría el vector 4 menos 8.

69
00:06:51,800 --> 00:06:55,480
De nuevo, la suma de estos dos vectores me da un nuevo vector.

70
00:06:55,959 --> 00:06:57,040
¿Qué componentes va a tener?

71
00:06:57,720 --> 00:07:02,180
Pues recordando cómo se sumaban vectores, componente a componente, menos 6 más 4.

72
00:07:02,339 --> 00:07:07,079
La primera componente sería menos 2 y la segunda componente sería menos 18.

73
00:07:08,399 --> 00:07:10,439
Esto lo estamos haciendo aquí analíticamente

74
00:07:10,439 --> 00:07:16,120
y gráficamente pues sería como hemos visto en el Apple de GeoGebra.

75
00:07:17,040 --> 00:07:23,439
Una combinación lineal, yo variando A y B puedo obtener infinitas combinaciones lineales de ellos.

76
00:07:24,500 --> 00:07:25,959
Vamos a ver otro ejemplo.

77
00:07:27,399 --> 00:07:38,740
En este caso me dan un vector S que va a ser, pongamos, menos 10, 4.

78
00:07:38,740 --> 00:07:50,019
y yo lo que quiero hacer es calcular por qué números, por qué escalares tengo que multiplicar u y v

79
00:07:50,019 --> 00:08:06,839
de tal manera que s sea combinación lineal de ellos, es decir, en este caso yo conozco s

80
00:08:06,839 --> 00:08:14,420
y lo que quiero averiguar es lo que valen a y b para que s sea combinación lineal de estos dos vectores

81
00:08:14,420 --> 00:08:20,360
Entonces, en este caso lo que tengo que plantear es un sistema

82
00:08:20,360 --> 00:08:22,040
¿Cómo vamos a ver?

83
00:08:23,660 --> 00:08:25,920
En este caso las incógnitas son A y B

84
00:08:25,920 --> 00:08:38,600
Multiplicamos escalarmente primero

85
00:08:38,600 --> 00:08:42,179
A por el vector 3, 5

86
00:08:42,179 --> 00:08:45,379
Nos quedaría 3A más 5A

87
00:08:45,379 --> 00:08:51,299
Y B, el escalar B, por el vector V

88
00:08:51,299 --> 00:08:53,940
Y quedaría B menos 2B

89
00:08:53,940 --> 00:09:00,539
Al sumar estos dos vectores, componente a componente, la primera componente sería 3a más b.

90
00:09:01,399 --> 00:09:04,860
La segunda componente sería 5a menos 2b.

91
00:09:07,080 --> 00:09:11,980
Bien, como este vector s tiene que ser el mismo que este otro,

92
00:09:12,919 --> 00:09:19,039
fijaros que lo que aparece, lo que nos resulta es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

93
00:09:19,039 --> 00:09:26,779
La primera ecuación sería menos 10 es igual a 3a más b.

94
00:09:27,259 --> 00:09:35,799
Y la segunda ecuación sería 4, tiene que ser igual a la segunda componente de este vector, que hemos obtenido aquí, 5a menos 2b.

95
00:09:39,789 --> 00:09:46,590
Este sistema lo resolvemos por el método que queramos, sustitución, igualación, reducción.

96
00:09:48,049 --> 00:09:53,789
Por ejemplo, por reducción, si esta la multiplicamos por 2 y sumamos, se nos va a la b, ¿no?

97
00:09:53,789 --> 00:09:59,230
Nos quedaría menos 20 es igual a 6a más 2b.

98
00:09:59,809 --> 00:10:12,500
Sumando con la ecuación de abajo, obtendríamos menos 16 es igual a 11a.

99
00:10:14,559 --> 00:10:20,139
Es decir, que a tiene que valer menos 16 onceavos.

100
00:10:20,860 --> 00:10:24,960
Por ejemplo, b lo podemos hacer por sustitución.

101
00:10:24,960 --> 00:10:32,059
b es igual a menos 10 menos 3a, ya sustituimos el valor de a que era menos 16 onceagos

102
00:10:32,059 --> 00:10:47,740
y realizando las operaciones, menos 110 más 48 menos 62 onceagos

103
00:10:47,740 --> 00:10:58,970
es decir, que los escalares que los valores de a y de b tenemos aquí en esta combinación lineal

104
00:10:58,970 --> 00:11:09,929
serían menos 16 onceavos para la A, o sea, el vector U tiene que ser multiplicado por menos 16 onceavos

105
00:11:09,929 --> 00:11:17,629
y el vector V tiene que ser multiplicado por B, que nos ha dado el valor de menos 62 onceavos.