1
00:00:01,710 --> 00:00:19,030
Esta recta tangente a una función en un punto viene dado por la siguiente expresión. La recta tangente a f en x igual a x sub cero es y menos f de x sub cero igual a f prima en x sub cero por x menos x sub cero.

2
00:00:19,030 --> 00:00:24,550
donde x sub 0, f de x sub 0 es el punto de tangencia

3
00:00:24,550 --> 00:00:31,589
y f' de x sub 0 es la pendiente de la recta tangente

4
00:00:31,589 --> 00:00:34,750
la derivada, su definición es justamente

5
00:00:34,750 --> 00:00:40,570
la derivada en x sub 0 es la pendiente de la recta tangente

6
00:00:40,570 --> 00:00:45,390
es decir, que tenemos una función y esta es la recta tangente

7
00:00:45,390 --> 00:00:49,929
el punto de tangencia es x sub 0, f de x sub 0

8
00:00:49,929 --> 00:00:54,350
y la pendiente es la derivada de la función en ese punto.

9
00:00:55,049 --> 00:00:56,729
Vamos a verlo con dos ejemplos.

10
00:00:57,969 --> 00:01:07,090
El primer ejemplo es hallar la recta tangente a esta función, x por e elevado a x, en x igual a 1.

11
00:01:08,189 --> 00:01:10,430
Por un lado calculamos el punto de tangencia.

12
00:01:11,069 --> 00:01:16,810
Ese punto es x sub 0, f de x sub 0, es decir, 1 f de 1.

13
00:01:16,810 --> 00:01:20,049
sustituimos 1 y nos da e

14
00:01:20,049 --> 00:01:23,769
es decir, que el punto de tangencia es 1, e

15
00:01:23,769 --> 00:01:26,030
ahora vamos con la pendiente

16
00:01:26,030 --> 00:01:28,349
primero hacemos la derivada de la función

17
00:01:28,349 --> 00:01:30,530
la calculamos, es un producto

18
00:01:30,530 --> 00:01:32,189
y obtenemos esta expresión

19
00:01:32,189 --> 00:01:36,230
hallamos el valor de la derivada

20
00:01:36,230 --> 00:01:38,489
en el punto de tangencia

21
00:01:38,489 --> 00:01:39,450
en x igual a 1

22
00:01:39,450 --> 00:01:42,329
f' en 1, al sustituir aquí

23
00:01:42,329 --> 00:01:43,489
nos queda 2e

24
00:01:43,489 --> 00:01:46,569
por tanto, la recta tangente es

25
00:01:46,569 --> 00:01:56,989
Y menos E igual a la pendiente 2E por X menos 1.

26
00:01:58,269 --> 00:01:59,170
Esta es la recta tangente.

27
00:02:01,349 --> 00:02:05,590
Vamos a ver otro ejemplo un poco al revés.

28
00:02:07,370 --> 00:02:16,430
Queremos hallar A y B en esta función para que Y igual a 2X menos 3 sea la recta tangente en X igual a 2.

29
00:02:19,680 --> 00:02:21,879
Este es un problema un poco inverso del otro.

30
00:02:22,319 --> 00:02:28,620
Nos dan la recta tangente y nos piden hallar ciertos valores de la función para que esto sea así.

31
00:02:29,919 --> 00:02:36,259
Por un lado, la función tiene que pasar por el punto de tangencia y es lo primero que vamos a hallar.

32
00:02:36,379 --> 00:02:37,840
¿Cuál es el punto de tangencia?

33
00:02:38,159 --> 00:02:40,939
El punto de tangencia ahora lo vamos a buscar en la función.

34
00:02:41,139 --> 00:02:45,460
Como nos dice que es nx igual a 2, pues nos vamos a la recta tangente.

35
00:02:45,460 --> 00:02:50,879
y en la recta tangente al sustituir 2 obtenemos 2 por 2, 4 menos 3, 1.

36
00:02:51,680 --> 00:02:56,900
Es decir que para x igual a 2 la y vale 1 en la recta tangente

37
00:02:56,900 --> 00:02:59,240
y también por supuesto tiene que ocurrir en la función.

38
00:03:00,060 --> 00:03:03,659
Es decir que cuando yo sustituya aquí en la función f de 2

39
00:03:03,659 --> 00:03:08,620
¿a qué es igual? Sustituimos y queda 4a más 2p

40
00:03:08,620 --> 00:03:11,919
y ¿a qué tiene que ser igual? Tiene que ser igual a 1

41
00:03:11,919 --> 00:03:15,419
para que pase por el punto de tangencia.

42
00:03:15,460 --> 00:03:24,719
Por otro lado, la pendiente de f en x igual a 2 es la de la recta tangente, que en este caso es 2.

43
00:03:26,460 --> 00:03:34,539
Entonces, ¿qué es lo que hacemos? Hallamos la derivada de la función, la derivada de esta función, que es 2ax más b.

44
00:03:35,900 --> 00:03:37,199
2ax más b.

45
00:03:38,439 --> 00:03:44,539
En x igual a 2, la derivada sustituimos y vale 4a más b.

46
00:03:44,539 --> 00:04:04,879
Si lo escribimos aquí, nos sale 4a más b. ¿Y a qué tiene que ser igual? Tiene que ser igual a 2, que es la pendiente de la red tangente. Es decir, que por un lado, 4a más 2b es igual a 1, y por otro, 4a más b es igual a 2.

47
00:04:04,879 --> 00:04:15,000
Esto es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo resolvemos y nos sale que a tiene que valer tres cuartos y b tiene que valer menos uno.

48
00:04:16,019 --> 00:04:28,620
Para estos valores tenemos una función cuya recta tangente en x igual a dos es dos x menos tres.