1
00:00:01,580 --> 00:00:18,000
La última parte que nos queda es el teorema de Gauss. Primero vamos a ver lo que es el flujo del campo eléctrico. Se define cualitativamente el flujo del campo eléctrico a través de una superficie como el número de líneas de campo que atraviesan la superficie.

2
00:00:18,000 --> 00:00:29,440
Para entenderlo vamos a observar estos casos. Entonces, si tenemos una superficie, ¿vale? Que es la superficie que veis aquí, esta superficie, ¿vale?

3
00:00:30,260 --> 00:00:40,280
En matemáticas, la superficie, que todavía creo que no lo habéis visto, pero lo veréis cuando veáis la parte de geometría, las superficies se definen por un vector que se llama vector superficie,

4
00:00:40,280 --> 00:00:50,079
que es un vector cuyo módulo, ¿vale? Si ese es el vector superficie, el módulo de este vector es lo que mide la superficie, pues dos metros cuadrados, tres metros cuadrados, lo que sea,

5
00:00:50,659 --> 00:00:57,039
y la dirección siempre es perpendicular a la superficie, ¿vale? Entonces se define el vector superficie como así.

6
00:00:57,159 --> 00:01:07,959
Entonces, claro, siempre cuando es una manera muy rápida de definir la superficie, porque se mueve, ¿vale? Pues va a ser dos metros cuadrados perpendiculares a ese vector, ¿vale?

7
00:01:07,959 --> 00:01:11,239
Entonces siempre es fácil así definir la superficie si se define así.

8
00:01:12,099 --> 00:01:18,140
Bueno, ¿qué pasa que si yo tengo una superficie que es perpendicular a un campo?

9
00:01:18,239 --> 00:01:23,620
Pues que no le atraviesan líneas, porque si daos cuenta que esta línea está más abajo de la superficie

10
00:01:23,620 --> 00:01:26,500
y esta está más arriba, no le atraviesa ninguna línea, ¿vale?

11
00:01:26,500 --> 00:01:36,620
Entonces, bueno, pues si dds es perpendicular a e, el flujo que se pone como una letra fi es cero, ¿vale?

12
00:01:37,959 --> 00:01:49,739
Si empiezo a inclinar la superficie, ¿veis? Si ya empiezo a tomar un ángulo alfa, porque ya lo estoy inclinando, ya tenemos entre las dos, ya el ángulo no es 90 grados, ¿vale? El ángulo no es 90 grados.

13
00:01:49,739 --> 00:02:01,299
Esto era 90 grados. Ahora empiezo a inclinar la superficie y este alfa, ¿vale? El alfa de aquí es menor que 90, porque ya entre estos dos hay menos de 90 grados, ¿vale?

14
00:02:01,299 --> 00:02:13,900
¿Qué pasa? Pues que alguna línea ya atraviesa, fijaos, esta línea ya está atravesando, ya el flujo no es cero, aquí el flujo no es cero, el flujo no es cero, está aumentando, ¿vale?

15
00:02:13,900 --> 00:02:40,319
Si la inclino más, pues ¿qué pasa? Al inclinarla más, el ángulo se reduce más, ¿vale? Sigue siendo distinto, o sea, no es 90, pero no es 0 tampoco, y el campo, el flujo, ahora el flujo, este lo voy a llamar el flujo 1, el flujo 2, pues ahora tengo un flujo 3, que no es 0, ¿vale?

16
00:02:40,319 --> 00:02:58,560
Y además, entran más líneas es mayor que el flujo 2, ¿vale? Porque entran 3 líneas, si lo inclino así, o muchas. Vale, si os dais cuenta, porque si os dais cuenta, en este caso sería en el que entran todas, porque ya no pierdo ninguna, ni por arriba ni por abajo.

17
00:02:59,219 --> 00:03:05,800
Aquí estaba perdiendo la de arriba del todo y no entraba, pero aquí ya entran todas, o sea que aquí el flujo es máximo, el flujo es máximo.

18
00:03:07,120 --> 00:03:10,379
En este caso pues entrarían cinco líneas, ¿vale?

19
00:03:10,379 --> 00:03:17,719
Y aquí el ángulo E y la superficie, ¿vale? Son paralelos.

20
00:03:18,159 --> 00:03:26,159
Esto se pone en matemáticas así, E es paralelo a DDS, quiere decir que el ángulo que forman es cero, ¿vale?

21
00:03:26,159 --> 00:03:36,539
Entonces, fijaos, lo que tengo aquí es una función que cuando son perpendiculares es 0 y cuando son paralelos es máxima, ¿vale?

22
00:03:37,020 --> 00:03:46,849
Cuando son paralelos es máxima, o sea, cuando el ángulo es 0 es máxima y cuando el ángulo es 90 es 0.

23
00:03:47,969 --> 00:03:50,669
Eso es que quiere decir que está relacionado con el coseno, ¿por qué?

24
00:03:51,310 --> 00:03:55,830
Porque el coseno, bueno, aquí no he puesto el vector este que debería estar.

25
00:03:57,669 --> 00:04:17,689
el coseno de 0 es igual a 1 y el coseno de 90 es igual a 0, fijaos que está relacionado, o sea, de alguna forma el coseno de 90, ¿vale?

26
00:04:17,689 --> 00:04:29,889
y el coseno es máximo porque su valor máximo es 1 cuando el ángulo es 0, ¿vale?

27
00:04:30,009 --> 00:04:35,569
Eso quiere decir que vamos a definir el flujo en función del coseno, ¿vale?

28
00:04:36,029 --> 00:04:41,110
¿Cómo es esto? Bueno, voy a borrar aquí para que se pueda leer todo esto.

29
00:04:45,139 --> 00:04:48,800
Vale, en A el flujo es 1 ya que ninguna línea la atraviesa, en B ya tiene cierto valor,

30
00:04:48,800 --> 00:04:53,160
pero menor que en C y en D para esa superficie y el campo el flujo es máximo.

31
00:04:54,180 --> 00:04:57,720
Para medirlo cuantitativamente basta suponer que el número de líneas del campo

32
00:04:57,720 --> 00:05:01,420
que atraviesan la unidad de superficie perpendicular a un punto

33
00:05:01,420 --> 00:05:04,019
es igual al valor del campo en dicho punto.

34
00:05:06,379 --> 00:05:08,399
¿En qué traducimos esto?

35
00:05:08,699 --> 00:05:14,600
Pues que en un punto cualquiera el flujo que atraviesa infinitísimal

36
00:05:14,600 --> 00:05:17,360
será, como decía, en función del coseno,

37
00:05:17,360 --> 00:05:27,259
O sea, simplemente, pues ese flujo podemos suponer que será el número de líneas que lo atraviesan en esa superficie, ¿vale? El número de líneas en esa superficie, en una superficie muy pequeñita.

38
00:05:27,899 --> 00:05:42,899
¿Qué quiere decir esto? Pues que si lo hago en el producto escalar, quiere decir el módulo del primero por el módulo del segundo por el coseno del ángulo que forman, que es lo que yo necesitaba, que fuera el coseno porque así me cuadra con todo lo demás.

39
00:05:42,899 --> 00:06:01,800
Será máximo, o sea, cuando alfa, el ángulo que forman, sea cero, pues el ángulo será el coseno de cero, será uno, y el flujo será máximo, que será igual a e por d de s.

40
00:06:01,800 --> 00:06:21,040
Y cuando sea 1, pues el coseno de 90, perdón, cuando sea 90, qué pesada estoy, cuando sea 90 será 0, por lo tanto, el flujo será 0, ¿vale? No hay flujo.

41
00:06:21,279 --> 00:06:24,439
Entonces ya lo tengo montado, ya eso es lo que necesito para hallar el flujo.

42
00:06:24,439 --> 00:06:45,519
Así que lo que pasa es que estoy hallando un flujo muy pequeño, un flujo diferencial. Yo ahora lo que quiero es sumar todas las aportaciones, porque eso sería como hallar el flujo, si yo tengo una superficie, hallar el flujo de una superficie pequeñita y de otra superficie pequeñita y de otra superficie pequeñita.

43
00:06:45,519 --> 00:07:01,199
Eso es DDS, son superficies pequeñitas. Si yo quiero hacer el de la total, pues tengo que hacer la suma de todas esas partes. Y esa suma, en matemáticas, no es una suma así, porque es una suma infinitesimal, de infinitas partes.

44
00:07:02,120 --> 00:07:10,740
Esa suma en infinitas partes es lo que hacemos, es una integral, ¿vale? Es una integral.

45
00:07:13,439 --> 00:07:17,660
Vale, y no sabéis hacer integrales, pero aquí hay que aprendérselo porque no hay otra.

46
00:07:18,439 --> 00:07:24,079
Entonces, para una superficie finita, si ya lo estamos calculando de verdad para una superficie real,

47
00:07:24,279 --> 00:07:27,759
tengo que hacer la suma de las partes y por eso hago la integral, ¿vale?

48
00:07:27,759 --> 00:07:40,980
La integral de infinitas partes pequeñitas será lo que teníamos aquí, ¿vale? Pero integrado, ¿vale? O sea, esto, por así decirlo, lo paso aquí integrando.

49
00:07:41,120 --> 00:07:50,920
El diferencial, que es la derivada, lo paso al otro lado integrando. Bien, pues esto es lo que es el flujo. Lo que representa es la suma de los flujos infinitesimales

50
00:07:50,920 --> 00:07:54,160
para todas las superficies infinitesimalas en las que se divide ese, que ya lo he explicado.

51
00:07:54,740 --> 00:07:59,920
Si la superficie encierra una carga, es interesante observar que el flujo es proporcional al valor de la carga.

52
00:07:59,920 --> 00:08:07,740
Claro, más carga, más flujo, porque más líneas van a hacer que pase y cuanta menos carga, pues va a haber menos líneas,

53
00:08:07,819 --> 00:08:14,439
porque decíamos que si yo tengo una carga muy grande, pues lo representaba como poniendo más líneas.

54
00:08:14,860 --> 00:08:19,660
Y si yo tenía una carga muy pequeñita, lo representaba poniendo menos líneas.

55
00:08:19,660 --> 00:08:31,139
Claro, entonces a más carga, si yo ahora cojo una superficie, pues claro, por esta van a pasar más líneas, o sea que el flujo va a ser más grande y aquí el flujo va a ser más pequeño.

56
00:08:31,500 --> 00:08:34,700
Normal, porque pasan más líneas por arriba y menos líneas por abajo.

57
00:08:35,559 --> 00:08:42,820
Vale, si las líneas salen de la carga, el flujo es positivo, mientras que si entran es negativo.

58
00:08:42,820 --> 00:09:11,960
Bien, si además la superficie es cerrada, el flujo neto que la atraviesa solo depende de la carga, no de la forma de la superficie, porque por ejemplo, aquí el flujo, pues yo lo que tengo que, para hallar aquí el flujo, en esta superficie verde, ¿vale?, en esta superficie verde, ¿qué tendría que hacer?, contar las que entran, sumar las que entran, restar las que salen, ¿vale?, pues entonces sumaría esta, esta, esta, esta, estas todas están saliendo, ¿vale?, estas están saliendo,

59
00:09:11,960 --> 00:09:14,600
pero por aquí están entrando, entonces estas habría que restarlas

60
00:09:14,600 --> 00:09:16,500
y da igual la superficie que yo coja

61
00:09:16,500 --> 00:09:18,500
porque que la coja así o que la coja así

62
00:09:18,500 --> 00:09:19,840
va a dar lo mismo

63
00:09:19,840 --> 00:09:22,840
porque van a entrar y salir las mismas líneas

64
00:09:22,840 --> 00:09:25,220
entonces no depende de la superficie

65
00:09:25,220 --> 00:09:26,460
el flujo

66
00:09:26,460 --> 00:09:27,919
las líneas que entren y las que salgan

67
00:09:27,919 --> 00:09:29,700
no depende de la superficie

68
00:09:29,700 --> 00:09:32,279
digo que podría coger una superficie

69
00:09:32,279 --> 00:09:34,320
que fuera así

70
00:09:34,320 --> 00:09:37,700
y tendría el mismo resultado

71
00:09:37,700 --> 00:09:39,120
bueno, perdón, no

72
00:09:39,120 --> 00:10:05,019
Tiene que venir por el mismo lado, pero que no hace falta que sea exactamente la misma, podría coger con picos, da lo mismo, o sea, conteniendo las cargas voy a tener la misma, cogiendo otras superficies sigo teniendo las mismas líneas que entran y las que salen, con lo cual el flujo no depende de la superficie, ¿vale?

73
00:10:05,919 --> 00:10:08,080
Bueno, pues entonces voy a lo que es el teorema de Gauss de verdad.

74
00:10:09,100 --> 00:10:13,279
El teorema de Gauss establece que el flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada

75
00:10:13,279 --> 00:10:18,440
es igual a la carga neta, o sea, que depende de la carga, dividido por épsilon sub cero,

76
00:10:18,519 --> 00:10:22,879
que era la constante que veíamos de la K, que es 1 partido por 4 pi épsilon sub cero.

77
00:10:22,960 --> 00:10:24,539
Ahora vamos a ver por qué, ¿vale?

78
00:10:26,539 --> 00:10:30,159
Vale, esa es sin sub cero, es la que depende de la K, esta de la constante.

79
00:10:31,000 --> 00:10:35,879
Bueno, pues vamos a ver, esto es lo que dice el teorema de Gauss, ¿vale?

80
00:10:35,879 --> 00:10:40,059
Hasta aquí el flujo, ¿vale? Esta es la definición de flujo que le acabamos de ver.

81
00:10:40,559 --> 00:10:47,179
Dice Gauss que el flujo es igual a la carga encerrada dentro de la superficie dividido por epsilon sub cero.

82
00:10:47,299 --> 00:10:54,480
O sea, por ejemplo, en el ejemplo este que veíamos de dos cargas así, que eran como así las líneas, ¿vale?

83
00:10:54,480 --> 00:11:12,860
Vale, estas líneas y entonces cogíamos la superficie y teníamos aquí una superficie, vale, pues sería la carga encerrada, esta carga encerrada que tenemos aquí, dividido por la superficie, ahora sigo que entra mi hija.