1
00:00:00,430 --> 00:00:15,720
Antes de empezar, como siempre, os digo que he empezado a grabar y si alguien tiene algo en contra, como siempre, que lo diga ahora y si no, pues por la clase, como siempre.

2
00:00:15,720 --> 00:00:33,920
Bueno, antes de empezar, como ha habido un cambio de escenario respecto del año pasado, creo que algunos estáis un poco confundidos con cómo va a ser el examen de dentro de dos semanas.

3
00:00:33,920 --> 00:00:47,780
La estructura del examen final es como la del curso pasado, pero la distribución de los temas es distinta.

4
00:00:48,380 --> 00:01:03,939
Entonces, tenéis cuatro ejercicios por evaluación. El que tenga que hacer una evaluación sería la tercera. Tiene que elegir tres de los cuatro ejercicios de la evaluación.

5
00:01:03,939 --> 00:01:13,209
El que tenga dos evaluaciones, de los tres primeros de cada evaluación que tenga que recuperar, tiene que hacer dos.

6
00:01:16,750 --> 00:01:24,510
Son cuatro ejercicios por evaluación, pero el que solo tenga una, yo le quiero dar optatividad como a todo el mundo, entonces de cuatro solo tiene que hacer tres.

7
00:01:24,510 --> 00:01:37,329
Entonces, el que tenga dos evaluaciones hace dos de una y dos de otra, pero no de los cuatro ejercicios, sino de los tres primeros. ¿Por qué? Por equilibrar un poco la adaptatividad de uno para el otro.

8
00:01:38,709 --> 00:01:49,709
Y luego, el que tenga tres evaluaciones tiene que elegir dos, dos y uno. ¿Puede elegir dos de dos evaluaciones? Me parece que es así. Sí, sí, son cinco ejercicios.

9
00:01:49,709 --> 00:02:13,810
Entonces, de todas formas, ¿qué es eso? Había gente que estaba muy preocupada, ¿cómo os voy a hacer esto? ¿Cómo os voy a hacer un examen que puede llegar a ser tan largo? Lo máximo son cinco ejercicios. Si tenéis una evaluación, son tres. Si tenéis dos evaluaciones, son dos. Y dos, cuatro. Y si tenéis las tres evaluaciones, son dos más dos más uno. Ese uno puede ser de la primera, de la segunda, de la tercera evaluación.

10
00:02:13,810 --> 00:02:39,639
Vale. Dicho eso, si hay alguien que ve que tiene aprobada alguna evaluación y le supone alguna mejora, el poder… Por favor, confirmadme que me escucháis por el chat, porque no estoy viendo el micrófono que se mueva. Entonces, no estoy seguro de si os estoy viendo.

11
00:02:39,639 --> 00:02:56,479
Vale, vale. Entonces, si hay alguien que ve que alguna de las modalidades que tiene que hacer más ejercicios le compensa, puede hacerlo. Me ponéis en el examen.

12
00:02:56,479 --> 00:03:16,229
No, no, no. Los que tenéis el final, el que haga el examen completo son dos, dos y uno. Eso es intocable. Pero es que a lo mejor hay alguien que dice, bueno, yo es que la última evaluación la llevo muy mal.

13
00:03:16,229 --> 00:03:31,810
Prefiero hacer solo un ejercicio de geometría y dos de análisis. La actividad es que el que tenga alguna evaluación aprobada o si hay alguien que tiene una aprobada y una suspensa,

14
00:03:31,810 --> 00:03:48,229
O que tenga dos aprobadas y diga, pues yo prefiero hacer dos de la segunda evaluación y dos de la tercera. O sea, eso siempre me lo ponéis, me escribís, elijo esta opción, aunque tengo esta evaluación aprobada.

15
00:03:48,229 --> 00:04:00,409
Bueno, entonces, dicho eso, como os comenté el otro día, antes de las vacaciones, hoy vamos a hacer un repaso de los temas para que veáis lo que son ejercicios completos.

16
00:04:01,129 --> 00:04:09,229
Yo lo digo porque referencias de exámenes de otros años no he encontrado muchos porque están partidos, la geometría está partida en dos evaluaciones.

17
00:04:09,949 --> 00:04:15,409
Eso es lo que he querido evitar porque si no, yo creo que es un follón y sobre todo de cara a esta examen final.

18
00:04:15,409 --> 00:04:28,629
Entonces hay ejercicios que son bastante completos en el sentido de que esta parte, por ejemplo, es del tema de vectores, esta parte es de áreas, esta parte es de volúmenes. Son cosas distintas.

19
00:04:28,629 --> 00:04:31,250
son ejercicios todos de Bauch

20
00:04:31,250 --> 00:04:33,189
y bueno, en este

21
00:04:33,189 --> 00:04:35,209
os pide calcular

22
00:04:35,209 --> 00:04:36,870
la distancia, no me acuerdo muy bien

23
00:04:36,870 --> 00:04:39,029
cuál era el apartado B, pero podéis

24
00:04:39,029 --> 00:04:41,029
verlo en internet, en el enlace

25
00:04:41,029 --> 00:04:42,629
que tenéis de ejercicios de Bauch

26
00:04:42,629 --> 00:04:45,110
que están todos resueltos, podéis echarles

27
00:04:45,110 --> 00:04:45,709
un vistazo

28
00:04:45,709 --> 00:04:49,529
este tercero, os habla de posición relativa

29
00:04:49,529 --> 00:04:50,930
de calcular

30
00:04:50,930 --> 00:04:53,209
la ecuación que contiene a dos rectas

31
00:04:53,209 --> 00:04:54,709
y del ángulo que forman

32
00:04:54,709 --> 00:04:56,870
como veis, barren un poquito

33
00:04:56,870 --> 00:05:03,870
toda la geometría. Esto sería de los dos primeros, no, de los temados de geometría

34
00:05:03,870 --> 00:05:13,029
y este de aquí es del último tema de ángulos y distancias. El siguiente. Dada la ecuación

35
00:05:13,029 --> 00:05:19,350
de una recta y de un plano, posición relativa. Si tienen intersección, pues el punto de

36
00:05:19,350 --> 00:05:26,490
corte. La proyección ortogonal. Este lo he elegido precisamente porque a lo mejor no

37
00:05:26,490 --> 00:05:28,410
sabéis lo que es la proyección ortogonal.

38
00:05:28,930 --> 00:05:30,250
En todos los textos sale.

39
00:05:30,870 --> 00:05:32,029
En el que tenéis también.

40
00:05:32,509 --> 00:05:34,689
Pero si hay algún concepto que no entendéis

41
00:05:34,689 --> 00:05:35,550
me lo preguntáis.

42
00:05:36,350 --> 00:05:38,509
O sea, la proyección ortogonal sería como

43
00:05:38,509 --> 00:05:39,029
la sombra.

44
00:05:40,670 --> 00:05:42,529
Bueno, espero que no os dé tiempo

45
00:05:42,529 --> 00:05:44,610
a hacer este. Y luego a hacer un simétrico.

46
00:05:45,110 --> 00:05:46,389
Entonces, como veis, este es

47
00:05:46,389 --> 00:05:48,370
de posición relativa y

48
00:05:48,370 --> 00:05:49,529
este pues es de

49
00:05:49,529 --> 00:05:52,389
ejercicios variados teniendo

50
00:05:52,389 --> 00:05:54,209
los mismos datos. Este

51
00:05:54,209 --> 00:05:56,850
Otra vez, posición relativa, que aparece mucho.

52
00:05:57,790 --> 00:06:01,730
Ahora, calcular un elemento, en este caso el plano que contiene a las dos rectas.

53
00:06:02,870 --> 00:06:07,649
Y ahora, la ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q.

54
00:06:09,009 --> 00:06:11,930
Ese sería otro tipo de ejercicio.

55
00:06:13,930 --> 00:06:15,670
Tendréis un plano y una recta.

56
00:06:16,230 --> 00:06:22,709
Verificar que la recta está contenida en el plano y que el punto también está en este plano.

57
00:06:22,709 --> 00:06:25,069
os pide calcular una recta

58
00:06:25,069 --> 00:06:26,670
contenida en el plano que pase por P

59
00:06:26,670 --> 00:06:28,230
y sea perpendicular a R1

60
00:06:28,230 --> 00:06:31,250
como veis son ejercicios

61
00:06:31,250 --> 00:06:32,089
y luego

62
00:06:32,089 --> 00:06:34,670
R1 cuadrado

63
00:06:34,670 --> 00:06:36,990
son ejercicios en los que se combinan

64
00:06:36,990 --> 00:06:38,470
los tres temas de vectores

65
00:06:38,470 --> 00:06:40,689
bueno entonces, dicho eso

66
00:06:40,689 --> 00:06:43,069
me voy al principio y lo que voy a hacer

67
00:06:43,069 --> 00:06:44,930
en la próxima clase empiezo desde el final

68
00:06:44,930 --> 00:06:47,269
si hay algún ejercicio que se haya

69
00:06:47,269 --> 00:06:48,310
quedado sin hacer

70
00:06:48,310 --> 00:06:51,149
bueno como veis he copiado

71
00:06:51,149 --> 00:06:59,350
las soluciones, por si acaso hay algún error en las cuentas, que pueda haberlo. Es susceptible

72
00:06:59,350 --> 00:07:10,649
de que se lo haga y de que haya un error. Y bueno, empezamos diciendo que es muy importante

73
00:07:10,649 --> 00:07:16,750
que sepáis explicar los ejercicios, que digáis más o menos qué hacéis. Entonces, a ver,

74
00:07:16,750 --> 00:07:21,430
Tenemos el primero, más o menos para abrir boca, que nos dan cuatro puntos.

75
00:07:21,670 --> 00:07:22,730
A, B, C y D.

76
00:07:23,310 --> 00:07:26,470
Dice, comprobar que los puntos no son coplanarios.

77
00:07:27,709 --> 00:07:33,230
Coplanarios significa que están en el mismo plano.

78
00:07:37,399 --> 00:07:41,839
Si yo tengo cuatro puntos, para que no sean coplanarios,

79
00:07:44,670 --> 00:07:50,850
a ver, si yo tengo, si yo tomo los vectores A, B, C,

80
00:07:52,250 --> 00:08:04,589
AC y AB. Bueno, aquí como estamos en el espacio, estoy representando el espacio en el plano, yo no sé si esto tira para arriba o es que este está a la izquierda de este girado.

81
00:08:04,589 --> 00:08:30,939
Bueno, deberíais saber que si son coplanarios, entonces el rango de AB, AC y AD es 3. O sea, son linealmente independientes.

82
00:08:30,939 --> 00:08:54,090
Para ver esto, puedo hacer dos cosas. Puedo, o bien, utilizar el método de Gauss, o bien ver que el determinante que forman los vectores es distinto.

83
00:08:54,090 --> 00:09:00,220
cualquiera de las dos cosas funciona

84
00:09:00,220 --> 00:09:01,740
generalmente

85
00:09:01,740 --> 00:09:04,500
se utiliza lo más operativo

86
00:09:04,500 --> 00:09:06,019
que es esto, calcular el determinante

87
00:09:06,019 --> 00:09:08,360
pero si hacéis Gauss, tendría que salir

88
00:09:08,360 --> 00:09:09,620
el rango 3

89
00:09:09,620 --> 00:09:12,059
3 líneas

90
00:09:12,059 --> 00:09:13,440
una vez

91
00:09:13,440 --> 00:09:15,639
escalonada distintas de 0

92
00:09:15,639 --> 00:09:18,100
bueno, entonces, calculo el vector

93
00:09:18,100 --> 00:09:20,059
a ver, esto

94
00:09:20,059 --> 00:09:21,740
como siempre os lo digo

95
00:09:21,740 --> 00:09:23,419
haced vuestra hoja resumen

96
00:09:23,419 --> 00:09:25,100
si esto no lo sabéis

97
00:09:25,100 --> 00:09:27,320
¿no? Si cuatro puntos

98
00:09:27,320 --> 00:09:29,500
no, condición para que cuatro puntos no sean

99
00:09:29,500 --> 00:09:30,200
coplanarios

100
00:09:30,200 --> 00:09:35,000
bueno, aquí, perdón

101
00:09:35,000 --> 00:09:36,659
aquí es que

102
00:09:36,659 --> 00:09:38,580
no son coplanarios

103
00:09:38,580 --> 00:09:40,159
si es distinto a esto

104
00:09:40,159 --> 00:09:42,759
porque puede generar confusión

105
00:09:42,759 --> 00:09:44,460
coplanarios

106
00:09:44,460 --> 00:09:46,480
aquí no son coplanarios

107
00:09:46,480 --> 00:09:49,139
bueno, entonces, el vector a b

108
00:09:49,139 --> 00:09:50,879
sabéis que es extremo menos origen

109
00:09:50,879 --> 00:09:52,139
1 menos 0, 1

110
00:09:52,139 --> 00:09:54,879
1 menos 0, 1

111
00:09:54,879 --> 00:10:20,600
y 0-1-1. El vector AC. El vector AC es 1-0-1, 0-0-0 y menos 1-1-8. Y el vector AB es 1-0-1,

112
00:10:20,600 --> 00:10:53,259
1 menos 0, 1, y 2 menos 1, 1. Entonces calculo el determinante, sale 0, menos 2, menos 1, más 0, aquí sería menos 2 cambiando de signo más 2, y 1 cambiando de signo menos 1.

113
00:10:53,259 --> 00:11:13,860
O sea, que este determinante vale menos 2, distinto de 0. Entonces, no son coplanarios. La primera parte, pues es una parte del tema de vectores.

114
00:11:13,860 --> 00:11:34,360
Ahora, segunda parte

115
00:11:34,360 --> 00:11:37,539
Hallar el área del triángulo

116
00:11:37,539 --> 00:11:43,529
Apartado B

117
00:11:43,529 --> 00:11:49,110
Hallar el área del triángulo que forman los puntos B, C y D

118
00:11:49,110 --> 00:11:53,789
Y el ángulo P del mismo

119
00:11:53,789 --> 00:11:57,429
Vale, entonces como veis es un ejercicio

120
00:11:57,429 --> 00:11:58,870
Todavía sigue siendo del centro

121
00:11:58,870 --> 00:12:07,710
Tengo los puntos B, C y D. No hace falta dibujarlo muchas veces.

122
00:12:12,289 --> 00:12:32,159
Entonces, el área del triángulo, para eso sabéis que el área del parabelogramo es el módulo del producto vectorial de B, C con B, D.

123
00:12:32,159 --> 00:12:59,090
Y todo esto, si no os acordáis, áreas, ¿no? Entonces, el área del triángulo será... Ah, claro, es verdad, el volumen detrás de lo que forma. Ah, es verdad. Bueno, daba menos 2, ¿no? No os preocupéis porque es que está hecho, está hecho.

124
00:12:59,090 --> 00:13:22,299
Porque al hacer el volumen del tetraedro que forman, acordaos que era el determinante, ¿y entre cuánto se dividía? Se dividía entre 6.

125
00:13:22,299 --> 00:13:24,700
acordaos

126
00:13:24,700 --> 00:13:26,740
¿por qué? porque la base

127
00:13:26,740 --> 00:13:28,519
del tetraedro es un triángulo

128
00:13:28,519 --> 00:13:30,860
que es la mitad del

129
00:13:30,860 --> 00:13:32,840
paralelogramo, pero que sabéis

130
00:13:32,840 --> 00:13:34,279
que si tenéis una pirámide

131
00:13:34,279 --> 00:13:36,820
el volumen de la pirámide es la tercera

132
00:13:36,820 --> 00:13:38,620
parte del volumen de

133
00:13:38,620 --> 00:13:40,940
la figura que sería recta

134
00:13:40,940 --> 00:13:42,340
esto os lo explico en su momento

135
00:13:42,340 --> 00:13:44,080
entonces

136
00:13:44,080 --> 00:13:46,799
esto es

137
00:13:46,799 --> 00:13:48,980
el valor absoluto del determinante

138
00:13:48,980 --> 00:13:50,960
el determinante nos había

139
00:13:50,960 --> 00:13:52,100
salido menos 2

140
00:13:52,299 --> 00:14:01,559
Entonces, sale dos sextos, que es un tercio. A mí me gusta más poner el resultado exacto. Unidad es lo que tengo. Muchas gracias.

141
00:14:05,320 --> 00:14:17,559
Entonces, bueno, que sepáis que la cuenta del volumen nos sirve. A ver, si este volumen fuera cero, quiere decir que estamos en el mismo plano, que la figura es plana. Muchas gracias.

142
00:14:17,559 --> 00:14:19,779
bueno, entonces ahora dice

143
00:14:19,779 --> 00:14:21,559
calcula el área del triángulo que forma

144
00:14:21,559 --> 00:14:23,399
los puntos BC y B

145
00:14:23,399 --> 00:14:25,200
y el ángulo B del mismo

146
00:14:25,200 --> 00:14:27,379
bueno, entonces aquí

147
00:14:27,379 --> 00:14:29,299
y me piden este ángulo

148
00:14:29,299 --> 00:14:31,399
vale, entonces

149
00:14:31,399 --> 00:14:34,080
me voy aquí, el vector

150
00:14:34,080 --> 00:14:34,519
BC

151
00:14:34,519 --> 00:14:37,740
es B menos A

152
00:14:37,740 --> 00:14:39,019
lo hemos hecho

153
00:14:39,019 --> 00:14:41,179
perdón, C menos B

154
00:14:41,179 --> 00:14:42,419
1 menos 1, 0

155
00:14:42,419 --> 00:14:45,240
0 menos 1, menos 1

156
00:14:45,240 --> 00:14:48,320
y menos uno menos cero menos uno.

157
00:14:49,200 --> 00:14:55,320
Y el vector BD sería uno menos uno cero,

158
00:14:56,519 --> 00:14:59,879
uno menos uno cero y dos menos cero dos.

159
00:15:02,529 --> 00:15:05,950
Entonces calculo el producto vectorial,

160
00:15:17,440 --> 00:15:21,120
cero menos uno menos uno, cero cero dos.

161
00:15:22,240 --> 00:15:26,580
Esto sale menos dos y, este sale cero, cero, cero, cero, cero, cero.

162
00:15:26,580 --> 00:15:29,639
¿Sale solo menos 2i? Sí, porque está escalonado.

163
00:15:29,980 --> 00:15:32,840
Sale menos 2i, ¿no? O sea, que este es el vector

164
00:15:32,840 --> 00:15:35,659
menos 2, 0, 0, ¿sí?

165
00:15:36,820 --> 00:15:39,000
Os recuerdo que el producto vectorial

166
00:15:39,000 --> 00:15:42,279
es un vector que es perpendicular a estos dos.

167
00:15:43,139 --> 00:15:45,000
Es una cuenta bastante importante.

168
00:15:45,440 --> 00:15:48,340
El producto vectorial sirve para calcular áreas

169
00:15:48,340 --> 00:15:51,059
y para calcular un vector que sea perpendicular

170
00:15:51,059 --> 00:15:52,360
a otro vector.

171
00:15:53,879 --> 00:15:56,419
Entonces, una vez que tengo este resultado,

172
00:15:56,580 --> 00:16:13,159
Y el módulo de este vector es la raíz de menos 2 al cuadrado más 0 al cuadrado más 0 al cuadrado, que sale la raíz de 4, que es 2 unidades de superficie.

173
00:16:13,159 --> 00:16:32,019
Entonces, el área del triángulo es el área del paralelogramo, que es 2 partido por 2, que es una unidad de superficie.

174
00:16:32,019 --> 00:16:37,820
Bueno, ahí falta el ángulo B.

175
00:16:38,779 --> 00:16:39,320
Y el ángulo.

176
00:16:42,250 --> 00:16:43,970
A ver, el ángulo.

177
00:16:43,970 --> 00:17:05,220
El ángulo, tenéis que saber que el coseno del ángulo B es el producto escalar de BC con BD partido por el producto de los módulos.

178
00:17:13,240 --> 00:17:19,220
Entonces, BC es 0, menos 1, menos 1.

179
00:17:19,720 --> 00:17:42,019
Y BD es 0, 0, 2. Y aquí el producto de los módulos, que es meter una epitáloga en tres dimensiones, queda 0 más menos 1 al cuadrado, más menos 1 al cuadrado, por 0 más 0 más 2 al cuadrado.

180
00:17:42,019 --> 00:18:07,700
Bueno, entonces nos queda 0 por 0, 0, menos 1 por 0, 0, menos 1 por 2, menos 2, partido por la raíz cuadrada de, aquí queda, si no me equivoco, 2, y aquí queda 2.

181
00:18:09,480 --> 00:18:12,460
Uy, pues este resultado no está bien, parece.

182
00:18:12,460 --> 00:18:15,819
menos 1 partido por raíz de 12

183
00:18:15,819 --> 00:18:19,720
¿vale?

184
00:18:20,740 --> 00:18:21,599
así sí está bien

185
00:18:21,599 --> 00:18:22,880
135 grados

186
00:18:22,880 --> 00:18:25,700
bueno, aquí como veis se me ha olvidado

187
00:18:25,700 --> 00:18:27,180
poner el resultado del área

188
00:18:27,180 --> 00:18:28,279
que supongo que estará bien

189
00:18:28,279 --> 00:18:29,619
entonces

190
00:18:29,619 --> 00:18:33,779
el ángulo

191
00:18:33,779 --> 00:18:35,359
para hacer el ángulo B

192
00:18:35,359 --> 00:18:37,180
sabéis que tenéis que hacer

193
00:18:37,180 --> 00:18:38,579
el sin coseno

194
00:18:38,579 --> 00:18:42,400
de menos 1 partido por raíz de 2

195
00:18:42,400 --> 00:18:43,900
y sale

196
00:18:43,900 --> 00:18:47,000
calculadora

197
00:18:47,000 --> 00:18:55,960
vale

198
00:18:55,960 --> 00:18:58,579
si sale punto 35

199
00:18:58,579 --> 00:18:59,700
si coseno

200
00:18:59,700 --> 00:19:01,039
de

201
00:19:01,039 --> 00:19:03,920
menos

202
00:19:03,920 --> 00:19:06,400
1 partido por raíz de 2

203
00:19:06,400 --> 00:19:08,299
no hace falta racionalizarlo

204
00:19:08,299 --> 00:19:15,519
y si está esto en grados

205
00:19:15,519 --> 00:19:17,099
135 grados, vale

206
00:19:17,099 --> 00:19:18,859
si a alguien le sale

207
00:19:18,859 --> 00:19:21,380
45 grados

208
00:19:21,380 --> 00:19:22,400
también está bien

209
00:19:22,400 --> 00:19:25,220
porque, bueno, sería

210
00:19:25,220 --> 00:19:51,829
No, sería el otro, 360 menos esto que serían 225. Bueno, pues entonces que veáis que si sabéis hacer las, si tenéis las cuentas, los conceptos claros, los ejercicios son bastante mecánicos.

211
00:19:51,829 --> 00:20:00,089
Las cuentas no son difíciles, lo único que tenéis que saber muy bien para qué calcular, qué tenéis que utilizar en cada caso.

212
00:20:01,750 --> 00:20:11,190
En ese sentido, el primer tema, que muchas veces se pasa de largo porque es el menos desarrollado,

213
00:20:11,829 --> 00:20:18,890
es fundamental que sepáis trabajar con vectores para que siga un producto vectorial, un producto escalar.

214
00:20:18,890 --> 00:20:22,210
producto vectorial, ya os he dicho, para calcular áreas

215
00:20:22,210 --> 00:20:24,829
y para calcular un vector perpendicular

216
00:20:24,829 --> 00:20:27,630
producto escalar para calcular ángulos

217
00:20:27,630 --> 00:20:31,410
y había otra cosa

218
00:20:31,410 --> 00:20:34,269
y calcular el módulo de un vector, que eso no sale constante

219
00:20:34,269 --> 00:20:36,589
y distancia

220
00:20:36,589 --> 00:20:40,069
bueno, el siguiente, hallar uno de los puntos

221
00:20:40,069 --> 00:20:42,690
del plano determinado por A, B y C

222
00:20:42,690 --> 00:20:44,710
A, B y C

223
00:20:44,710 --> 00:20:48,369
A, B y C, yo sé que no están alineados

224
00:20:48,890 --> 00:20:58,269
¿Por qué? Porque si los vectores AB, AC y AB son linealmente independientes, el vector AB y el AC tienen que ser linealmente independientes.

225
00:20:59,109 --> 00:21:05,670
Entonces, os dice, haya uno de los puntos para que esto sea un paralelogramo.

226
00:21:05,670 --> 00:21:12,950
¿Por qué hay varias posibilidades? Porque si yo tomo este vector y este vector, este sería un posible punto.

227
00:21:14,849 --> 00:21:17,849
¿Pero qué es lo que pasa? Que hay otras posibilidades.

228
00:21:17,849 --> 00:21:22,130
Si yo cojo el paralelogramo que hay que por aquí, aquí habría otro posible punto.

229
00:21:23,470 --> 00:21:26,930
O si cojo el paralelogramo que hay por aquí, aquí hay otro punto.

230
00:21:28,150 --> 00:21:32,750
No sé si se me escapa alguna posibilidad, pero si veis, hay otras posibilidades.

231
00:21:33,849 --> 00:21:36,890
Aquí, en todos los casos, se forman paralelogramos.

232
00:21:37,509 --> 00:21:42,609
Entonces, vosotros podéis elegir el que queráis en este ejercicio.

233
00:21:43,269 --> 00:21:49,029
El natural que siempre se me ocurre a mí, porque, vamos, como matemático,

234
00:21:49,250 --> 00:21:53,170
es que generalmente los puntos se ponen en el sentido de las agujas del reloj.

235
00:21:54,369 --> 00:21:58,970
Como matemático debería ser este, porque serían A, B, C y D.

236
00:21:59,990 --> 00:22:02,490
Pero, vamos, como me ha salido este, me ha salido este.

237
00:22:03,910 --> 00:22:06,869
Entonces, este ejercicio, que aparentemente es muy complicado,

238
00:22:06,869 --> 00:22:08,789
pues consiste en decir

239
00:22:08,789 --> 00:22:12,309
que esos tres vectores son

240
00:22:12,309 --> 00:22:17,930
que son iguales

241
00:22:17,930 --> 00:22:20,230
que representan al mismo vector libre

242
00:22:20,230 --> 00:22:23,009
bueno, pues esto lo puedo hacer de dos formas

243
00:22:23,009 --> 00:22:25,829
os lo voy a decir de la forma vectorial

244
00:22:25,829 --> 00:22:27,069
porque es la que más me gusta

245
00:22:27,069 --> 00:22:29,450
que es decir que el vector E

246
00:22:29,450 --> 00:22:32,150
es C más el vector AB

247
00:22:32,150 --> 00:22:36,359
no sé si lo veis

248
00:22:36,359 --> 00:22:37,579
si yo cojo el vector AB

249
00:22:37,579 --> 00:22:41,480
y se lo sumo a C, me pongo aquí.

250
00:22:41,880 --> 00:22:45,480
Recuerdo que sumarle un punto a un vector consiste en trasladar un punto

251
00:22:45,480 --> 00:22:48,319
respecto de lo que hace este vector.

252
00:22:49,099 --> 00:22:59,019
Si alguien lo quiere hacer de otra forma, podéis decir que el vector C

253
00:22:59,019 --> 00:23:05,640
es igual al vector AB.

254
00:23:05,640 --> 00:23:09,259
como tenéis el punto genérico

255
00:23:09,259 --> 00:23:11,900
x menos tal, x menos tal, z menos tal

256
00:23:11,900 --> 00:23:13,640
igual a este vector que conocéis

257
00:23:13,640 --> 00:23:15,000
se puede despesar

258
00:23:15,000 --> 00:23:16,700
¿verdad?

259
00:23:18,160 --> 00:23:20,519
si se te ocurre así está perfecto

260
00:23:20,519 --> 00:23:22,140
¿no? yo prefiero deciroslo así

261
00:23:22,140 --> 00:23:23,240
porque esto es muy útil

262
00:23:23,240 --> 00:23:25,359
para cuando luego os cuente el simétrico

263
00:23:25,359 --> 00:23:27,839
aunque el simétrico también se puede hacer así

264
00:23:27,839 --> 00:23:28,160
¿no?

265
00:23:29,019 --> 00:23:30,440
bueno, entonces

266
00:23:30,440 --> 00:23:34,160
el vector e es c más ab

267
00:23:34,160 --> 00:24:04,240
Bueno, pues el vector AB, lo hemos calculado al principio, es el vector 1, 1, menos 1, y esto como veis, 1 más 1, 2, 0 más 1, 1, y menos 1, menos 1, menos 2, ya está hecho, ya es como tiene más.

268
00:24:04,240 --> 00:24:25,359
Ah, y allá del área de derecho paralelogramo. Pues el área de derecho paralelogramo, como veis, es un ejercicio largo, pero con las cuentas básicas. O sea, este ejercicio sirve muy bien para que fijéis muchos conceptos que necesitáis.

269
00:24:25,359 --> 00:24:29,119
aquí la parte que no está incluida es la de posiciones relativas

270
00:24:29,119 --> 00:24:32,079
y de planos que contienen las rectas y todas estas cosas

271
00:24:32,079 --> 00:24:34,059
el área

272
00:24:34,059 --> 00:24:37,700
sabéis que es el módulo del producto vectorial

273
00:24:37,700 --> 00:24:43,079
de A, B, O, A, C

274
00:24:43,079 --> 00:24:46,440
y os fijáis

275
00:24:46,440 --> 00:24:49,880
no hace falta, si en el examen no sabéis

276
00:24:49,880 --> 00:24:52,960
hacer la primera parte, la segunda sabéis hacerla

277
00:24:52,960 --> 00:24:57,160
que lo sepáis que también

278
00:24:57,160 --> 00:25:03,660
Dentro de los apartados, aunque no sepáis hacer todo, pues podéis saber hacerlo a una mitad o con parte del ejercicio.

279
00:25:04,339 --> 00:25:10,960
Bueno, el vector AB hemos dicho que es el 1, 1, menos 1.

280
00:25:11,960 --> 00:25:16,460
Y el vector AC, como lo hemos hecho ya, lo hago aquí, 1, 0, menos 2.

281
00:25:19,000 --> 00:25:33,180
Entonces esto sale, menos 2I, menos J, menos 2I, menos J, menos K, más 2J.

282
00:25:33,180 --> 00:25:38,619
O sea, que sale el vector menos 2, 1, menos 1.

283
00:25:39,619 --> 00:25:41,720
Y entonces el módulo es,

284
00:25:43,519 --> 00:25:46,480
2 al cuadrado más 1 al cuadrado más 1 al cuadrado,

285
00:25:46,619 --> 00:25:49,819
que es raíz de 6 unidades de longitud.

286
00:25:51,359 --> 00:25:55,799
Lo hago rápido, si queréis en casa que me detengan alguna cosa, me lo decís.

287
00:25:56,559 --> 00:25:59,619
Ya son cálculos que se van repitiendo.

288
00:26:00,400 --> 00:26:01,880
Bueno, voy a comprobar las soluciones,

289
00:26:01,880 --> 00:26:21,279
Por si acaso existen varias posibilidades. Bueno, existen varias posibilidades, pero que veáis que esto siempre tiene que salir en la raíz de 6. Existen varias posibilidades para la primera parte, para la segunda no.

290
00:26:21,279 --> 00:26:30,740
No me había fijado, pero vamos, si buscáis este ejercicio en el documento de ejercicios de BAU, pues podéis encontrarlo.

291
00:26:31,740 --> 00:26:45,380
Bueno, como veis, el ejercicio es largo, pero insisto, dentro de la geometría este es un ejercicio para ver si tenéis claros los conceptos, sobre todo de cálculos con vectores.

292
00:26:45,380 --> 00:27:11,000
Bueno, pasamos al siguiente.

293
00:27:11,779 --> 00:27:12,700
Cambiamos de tercia.

294
00:27:12,819 --> 00:27:14,279
Tenemos una recta y un punto.

295
00:27:14,720 --> 00:27:16,900
Y dice, calcula la distancia de un punto a un ángulo.

296
00:27:17,599 --> 00:27:19,920
Y pregunta que en qué punto de la recta se alza.

297
00:27:20,880 --> 00:27:22,599
La primera parte es muy sencilla.

298
00:27:23,000 --> 00:27:24,259
La segunda no es tan fácil.

299
00:27:29,319 --> 00:27:31,319
Entonces, nos vamos primero a lo fácil.

300
00:27:33,720 --> 00:27:35,700
Calcula la distancia de un punto a un ángulo.

301
00:27:35,700 --> 00:28:09,859
Se supone que sabéis que la distancia de un punto más recto es, yo me acuerdo, haciendo el dibujo, es el área de este paralelogramo dividido entre, este de aquí, ¿no?

302
00:28:10,440 --> 00:28:25,880
Con lo cual, la altura, que es lo que me interesa, que es la distancia de aquí a aquí, es el área del paralelogramo, que es el producto vectorial de AP por U, partido por la base de ese paralelogramo, que es U.

303
00:28:30,019 --> 00:28:39,940
Muchas veces, sin decirlo, nos dan una recta y yo me voy directamente a calcular un punto y un vector directo.

304
00:28:42,910 --> 00:28:45,990
En este caso, como veis, este sistema está escalonado.

305
00:28:46,809 --> 00:28:49,869
Aquí me queda que x es igual a 4 más z.

306
00:28:52,309 --> 00:28:58,930
Si sustituyo aquí, fijaos que las cosas se repiten, lo que pasa es que son muchos procesos.

307
00:28:58,930 --> 00:29:04,869
Si sustituyo aquí me queda 4 más z más y, perdón, más z.

308
00:29:08,130 --> 00:29:13,730
4 más z que es x, más y, más z igual a 2.

309
00:29:13,730 --> 00:29:22,930
Con lo cual me queda 2z igual a menos 2 menos i, ¿no?

310
00:29:24,869 --> 00:29:32,289
Entonces, z es igual a menos 2 menos i partido todo.

311
00:29:34,690 --> 00:29:39,670
Me interesa despejar la A, porque todo aquí es lo que queda en función de z.

312
00:29:39,670 --> 00:30:07,349
O sea, que queda que Y es igual a menos 2 menos 2Z. Entonces, acordaos, he utilizado estas dos ecuaciones para resolver. La Z no la puedo sacar, con lo cual X es igual a 4 más Z, Y es igual a menos 2 menos 2Z y Z puede tomar cualquier valor.

313
00:30:07,349 --> 00:30:27,920
Porque al resolver el sistema no me sale. No puedo saber cuánto vale. Entonces, me queda 4 menos 2, 0, el punto, y el vector director es el 1 menos 2, 1. Estos son los cálculos previos.

314
00:30:27,920 --> 00:30:35,700
entonces, primera parte

315
00:30:35,700 --> 00:30:37,279
tenéis que tener muy claro

316
00:30:37,279 --> 00:30:39,559
que el producto vectorial sirve para

317
00:30:39,559 --> 00:30:41,160
calcular áreas y distancias

318
00:30:41,160 --> 00:30:42,900
¿en qué sentido?

319
00:30:43,079 --> 00:30:45,599
en los que tenéis que tener, espero que tengáis

320
00:30:45,599 --> 00:30:47,420
vuestro uso, entonces

321
00:30:47,420 --> 00:30:48,880
una vez venís aquí

322
00:30:48,880 --> 00:30:50,740
el vector AP

323
00:30:50,740 --> 00:30:53,660
el vector AP

324
00:30:53,660 --> 00:30:57,920
ya veis, coordenadas de extremo menos origen

325
00:30:57,920 --> 00:30:58,119
¿no?

326
00:30:58,880 --> 00:31:00,819
perdón, 4

327
00:31:00,819 --> 00:31:29,269
Menos 4, 0. Menos 2, menos menos 3, 1. Y 0, menos 4, menos 4. Entonces, si hacemos aquí el producto vectorial, 0, 1, menos 4, y menos 2, 1, me sale.

328
00:31:29,269 --> 00:31:39,730
Y menos 4J, aquí me sale 0, menos K, más M menos 8Y y aquí sale 0.

329
00:31:40,730 --> 00:31:49,910
O sea que me sale el vector menos 7, 4, menos 4, menos 1.

330
00:31:49,910 --> 00:32:12,019
Entonces, el módulo del producto vectorial es la raíz de 49 más 16 más 1, que en el denominador me queda, el módulo de U, que es 1 más 4 más 1.

331
00:32:12,019 --> 00:32:21,960
Y esto queda, si no me equivoco, 66 raíz de 66 partido por raíz de 6.

332
00:32:22,700 --> 00:32:26,299
Bueno, esto sabéis que se mete en un redecar, 66 entre 6 es 11.

333
00:32:28,299 --> 00:32:31,740
Y esta es la distancia de unidades de un objeto.

334
00:32:32,740 --> 00:32:35,859
Vamos a revisar la solución para que no...

335
00:32:35,859 --> 00:32:37,259
Aquí está, raíz de 11, ¿vale?

336
00:32:37,259 --> 00:32:39,740
porque es para, siempre vamos a evitar

337
00:32:39,740 --> 00:32:42,019
tener problemas con esto

338
00:32:42,019 --> 00:32:42,420
porque

339
00:32:42,420 --> 00:32:45,460
si no, ah

340
00:32:45,460 --> 00:32:45,900
vale

341
00:32:45,900 --> 00:32:51,049
entonces, dice

342
00:32:51,049 --> 00:32:57,240
bueno, ya sé cuál es la distancia

343
00:32:57,240 --> 00:33:14,369
y ahora me pide

344
00:33:14,369 --> 00:33:15,109
en qué

345
00:33:15,109 --> 00:33:18,230
punto de la recta se alcanza

346
00:33:18,230 --> 00:33:19,730
vamos a ver

347
00:33:19,730 --> 00:33:26,329
no, no es el simétrico porque es

348
00:33:26,329 --> 00:33:29,029
el punto medio con el simétrico.

349
00:33:29,150 --> 00:33:29,470
Eso sí.

350
00:33:31,109 --> 00:33:31,390
A ver.

351
00:33:32,269 --> 00:33:34,369
El ejercicio es parecido al del simétrico.

352
00:33:34,650 --> 00:33:37,009
A ver, dice, ¿en qué punto de la recta se alcanza?

353
00:33:37,930 --> 00:33:39,289
Hacemos un pequeño esquema.

354
00:33:39,490 --> 00:33:40,769
Esta es la recta R, ¿no?

355
00:33:42,109 --> 00:33:43,009
Este es

356
00:33:43,009 --> 00:33:44,230
el punto A.

357
00:33:44,849 --> 00:33:46,630
Y nos pide calcular

358
00:33:46,630 --> 00:33:48,950
este punto A'.

359
00:33:48,950 --> 00:33:50,930
Si queréis

360
00:33:50,930 --> 00:33:52,589
lo llamo B porque no es el simétrico.

361
00:33:56,490 --> 00:33:57,470
Si os pidiera

362
00:33:57,470 --> 00:33:58,490
el simétrico, está aquí.

363
00:33:58,670 --> 00:34:08,909
Y sabéis que si tenéis el punto medio, si conocéis este punto y este punto, el simétrico se puede hacer con cálculos con vectores.

364
00:34:08,909 --> 00:34:11,789
Pero os pide esto, es un poquito más corto.

365
00:34:13,030 --> 00:34:28,550
Entonces, ¿cuál es la estrategia? Pues tenéis que acordaros de que, estrategia, primero tengo que calcular el plano perpendicular a R.

366
00:34:28,670 --> 00:34:33,710
que pasa por A

367
00:34:33,710 --> 00:34:36,829
se puede hacer de otras formas

368
00:34:36,829 --> 00:34:38,690
por cierto, porque hay gente que lo hace

369
00:34:38,690 --> 00:34:39,489
con parámetros

370
00:34:39,489 --> 00:34:42,010
poniendo condiciones al vector

371
00:34:42,010 --> 00:34:45,030
plano perpendicular a R que pasa por A

372
00:34:45,030 --> 00:34:47,469
supongo que lo veis

373
00:34:47,469 --> 00:34:48,650
que si yo tengo

374
00:34:48,650 --> 00:34:49,849
una recta así

375
00:34:49,849 --> 00:34:52,230
y le hago un tajo perpendicular

376
00:34:52,230 --> 00:34:55,530
este es el punto A

377
00:34:55,530 --> 00:34:58,030
ese me va a dar

378
00:34:58,030 --> 00:34:59,690
el punto de corte que hay

379
00:34:59,690 --> 00:35:01,690
entonces sería

380
00:35:01,690 --> 00:35:07,789
Tú que estás aquí, tienes la recta, tienes este punto, das un tajo así y esto va a ser el punto de corte.

381
00:35:08,469 --> 00:35:22,519
Bueno, segundo, A' es el punto de corte de pi con R.

382
00:35:26,789 --> 00:35:32,469
Bueno, pues una vez diseñada la estrategia es que se va a discutir a las cuentas.

383
00:35:33,090 --> 00:35:35,550
Plano perpendicular a R que pasa por A.

384
00:35:35,550 --> 00:35:45,070
A ver, si no me equivoco, R, ¿tú tienes los datos? ¿Cuál era el vector directo?

385
00:35:53,260 --> 00:35:54,579
Ese es el punto, ¿no?

386
00:35:56,440 --> 00:36:02,440
Ese es el punto que llamábamos P4-2,0.

387
00:36:02,440 --> 00:36:07,659
Y el vector 1-2,1.

388
00:36:07,659 --> 00:36:28,480
Bueno, entonces, ¿qué me interesa de momento de la recta? El vector director. Porque este yo sé que es este u, es el vector perpendicular al plano. ¿Lo veis?

389
00:36:28,480 --> 00:36:31,079
si yo tengo el vector director de la

390
00:36:31,079 --> 00:36:32,940
recta, es el vector

391
00:36:32,940 --> 00:36:34,500
perpendicular al plano

392
00:36:34,500 --> 00:36:36,679
por definición de perpendicularidad

393
00:36:36,679 --> 00:36:38,980
entonces yo sé que el plano

394
00:36:38,980 --> 00:36:40,360
que busco es

395
00:36:40,360 --> 00:36:43,000
x menos 2y

396
00:36:43,000 --> 00:36:44,900
más punto más b

397
00:36:44,900 --> 00:36:49,289
igual a c. Otra cosa

398
00:36:49,289 --> 00:36:51,590
que tenéis que acordaros

399
00:36:51,590 --> 00:36:52,849
que si tenéis

400
00:36:52,849 --> 00:36:58,349
un plano así

401
00:36:58,349 --> 00:37:00,329
el vector perpendicular

402
00:37:00,329 --> 00:37:02,210
es a, b, c

403
00:37:03,789 --> 00:37:08,170
Como veis son bastantes detalles, las cuentas sencillas, ¿no? Este es el perpendicular.

404
00:37:09,829 --> 00:37:14,030
Bueno, entonces, estoy buscando que pase por A.

405
00:37:19,300 --> 00:37:20,860
Pasa por A.

406
00:37:21,860 --> 00:37:25,820
Para que pase por A tengo que sustituir, aquí es Z,

407
00:37:25,820 --> 00:37:38,900
Tengo que sustituir el punto A, o sea, 4 menos 2 por menos 3 más Z, que es 4, más D, igual a 0.

408
00:37:40,579 --> 00:37:50,599
Sustituyo el punto en el plano para calcular el T que me da el plano que cumple esa ecuación.

409
00:37:50,599 --> 00:37:59,519
Bueno, si aquí despejo me queda 4 más 4, 8, más 6, 14, o sea que D vale menos 14.

410
00:38:00,840 --> 00:38:23,159
Entonces, ya me voy al último paso, que es que el plano es X menos 2Y más Z menos 14 y van a 0.

411
00:38:23,159 --> 00:38:38,769
Y que os recuerdo que para calcular la intersección de un punto con un plano, si se puede, es mejor pasarlo a paramétricas.

412
00:38:40,030 --> 00:38:47,989
Aquí yo sé que x es igual a 1, a 4, más t.

413
00:38:47,989 --> 00:39:05,710
Y es igual a menos 2 menos 2T. Y Z es igual a 0 más T. ¿Os acordáis? Punto 4 menos 2, 0. Vector 1 menos 2, 0.

414
00:39:05,710 --> 00:39:28,840
¿Sí? Entonces sustituyo aquí, me queda 4 más t menos 2 por menos 2 menos 2t, que es la i, más z que es t, menos 14 igual a 0.

415
00:39:28,840 --> 00:39:45,119
Entonces, de aquí reduzco, me queda 4 más t, más 4 más 4t, más t menos 14 igual a 0.

416
00:39:45,119 --> 00:39:57,260
O sea que 5, 6t, 6t, 4 y 4, 8, 8 menos 14 menos 6 igual a 0.

417
00:39:58,679 --> 00:40:00,940
Con lo cual me queda que t es igual a 1, ¿no?

418
00:40:01,559 --> 00:40:20,360
Bueno, pues el punto de intersección es aquel en el que x es igual a 4 más 1 y es igual a menos 2 menos 2 por 1, que es 2, y z es 1.

419
00:40:20,360 --> 00:40:22,679
pues el punto me queda

420
00:40:22,679 --> 00:40:26,579
a prima

421
00:40:26,579 --> 00:40:28,179
es el 5

422
00:40:28,179 --> 00:40:30,059
menos 4

423
00:40:30,059 --> 00:40:33,900
si no os gusta esto

424
00:40:33,900 --> 00:40:36,079
yo siempre intento daros

425
00:40:36,079 --> 00:40:36,900
alternativas

426
00:40:36,900 --> 00:40:39,860
si al hacer la intersección del punto

427
00:40:39,860 --> 00:40:41,960
con la recta no queréis hacer

428
00:40:41,960 --> 00:40:44,039
paramétricas, sabéis que

429
00:40:44,039 --> 00:40:45,900
otra forma de

430
00:40:45,900 --> 00:40:48,079
calcular el punto de corte

431
00:40:48,079 --> 00:40:49,780
sería coger esta ecuación

432
00:40:49,780 --> 00:40:51,059
y estas dos

433
00:40:51,059 --> 00:40:53,179
resolvéis el sistema

434
00:40:53,179 --> 00:40:55,039
y os tiene que salir exactamente

435
00:40:55,039 --> 00:40:57,340
lo mismo. Si queréis hacerlo

436
00:40:57,340 --> 00:40:59,039
resolviendo sistemas por Gauss

437
00:40:59,039 --> 00:41:00,440
tenéis más seguridad

438
00:41:00,440 --> 00:41:03,119
si cogéis estas dos ecuaciones y esta

439
00:41:03,119 --> 00:41:04,639
es un sistema de tres ecuaciones

440
00:41:04,639 --> 00:41:07,199
con tres incógnitas que sé

441
00:41:07,199 --> 00:41:09,159
que es compatible

442
00:41:09,159 --> 00:41:11,320
y determinado

443
00:41:11,320 --> 00:41:13,000
porque

444
00:41:13,000 --> 00:41:15,019
la condición de perpendicular

445
00:41:15,019 --> 00:41:17,119
de perpendicularidad que nos

446
00:41:17,119 --> 00:41:17,639
impuesto.

447
00:41:19,400 --> 00:41:20,440
Bueno, entonces

448
00:41:20,440 --> 00:41:22,300
es 5 menos 4, 1.

449
00:41:22,860 --> 00:41:24,460
Está comprobado el resultado, ¿no?

450
00:41:25,599 --> 00:41:25,900
Bueno.

451
00:41:28,900 --> 00:41:30,260
Pongo en este ejercicio

452
00:41:30,260 --> 00:41:34,000
para que, vamos,

453
00:41:34,139 --> 00:41:36,320
que creo que es mejor verlos en su

454
00:41:36,320 --> 00:41:38,079
completitud. Si alguien

455
00:41:38,079 --> 00:41:40,000
se da cuenta, pero aquí tenéis que tener

456
00:41:40,000 --> 00:41:41,960
mucha seguridad, no

457
00:41:41,960 --> 00:41:43,860
hacía falta hacer esta primera parte.

458
00:41:44,719 --> 00:41:46,159
Porque si yo calculo el punto

459
00:41:46,159 --> 00:41:47,599
de la recta en que se alcanza,

460
00:41:48,699 --> 00:41:48,820
¿no?

461
00:41:48,820 --> 00:42:22,050
A ver, me voy a explicar. Primera cosa. Vamos, la primera cosa es que, otra forma, otras formas. Para hacer A', podía haber resuelto el sistema que forma las dos ecuaciones de la recta. ¿Y cuál era la del plano?

462
00:42:22,050 --> 00:42:32,429
menos 14 igual a 0

463
00:42:32,429 --> 00:42:34,690
si a alguien no le gusta

464
00:42:34,690 --> 00:42:35,829
hacerlo de la otra forma

465
00:42:35,829 --> 00:42:37,070
lo hacéis así

466
00:42:37,070 --> 00:42:39,409
otra forma

467
00:42:39,409 --> 00:42:41,170
y otra forma

468
00:42:41,170 --> 00:42:43,869
esto uno, y dos

469
00:42:43,869 --> 00:42:45,969
si hubierais querido hacer

470
00:42:45,969 --> 00:42:48,309
la distancia entre

471
00:42:48,309 --> 00:42:51,010
el punto A y la recta R

472
00:42:51,010 --> 00:42:54,309
no hacía falta hacer el apartado A

473
00:42:54,309 --> 00:42:56,590
podéis haber hecho la distancia entre A y A'

474
00:42:56,590 --> 00:43:23,489
¿No? Entonces, es el punto 4 menos 3, 4. ¿Y cuál es el punto A'? 5, 4, 1. Pues simplemente hacéis la 5 menos 4 al cuadrado más 4 menos menos 3, que es 4 más 3 al cuadrado,

475
00:43:23,489 --> 00:43:29,849
más 1 menos 3 al cuadrado.

476
00:43:34,869 --> 00:43:36,610
Esto debería ser la raíz de 11, ¿no?

477
00:43:42,280 --> 00:43:43,059
Porque no sale.

478
00:43:44,239 --> 00:43:47,420
Es 4 menos 3, 4, y el punto es...

479
00:43:47,420 --> 00:43:50,099
Ah, es que es 5 menos 4, 1, ¿verdad?

480
00:43:51,099 --> 00:43:51,440
Claro.

481
00:43:52,119 --> 00:43:58,179
Entonces, claro, aquí es menos 4 menos 1, menos 1,

482
00:44:00,480 --> 00:44:03,860
y aquí 1 menos 4, 3, menos 3.

483
00:44:05,139 --> 00:44:07,039
Y sale la raíz de 11, ¿no?

484
00:44:07,480 --> 00:44:32,159
Bueno, esto más de dos para que sepáis que la forma de las cosas no tiene una forma única de resolverse y para que veáis que todo, todo, todo en geometría está conectado, ¿no? Bueno, como veis hemos hecho dos ejercicios, pero con un montón de sustancia y ya os digo que el próximo día empiezo por atrás para que tengáis todos los ejercicios de repaso.

485
00:44:32,159 --> 00:44:40,039
¿Vale? Bueno, como mucho no nos va a dar tiempo a hacer este y como veis quedan otros dos.

486
00:44:41,659 --> 00:45:00,980
Vale. Bueno, pues el próximo día empiezo. A ver, dice, consideremos estas rectas. Generalmente yo de estas rectas ya diría que un punto P es el 0, 1, 2 automáticamente

487
00:45:00,980 --> 00:45:03,980
y que un vector u es

488
00:45:03,980 --> 00:45:05,860
1 menos 1

489
00:45:05,860 --> 00:45:09,940
y que está recta

490
00:45:09,940 --> 00:45:12,340
pues aquí me conviene

491
00:45:12,340 --> 00:45:13,900
despejar todo en función de z

492
00:45:13,900 --> 00:45:15,059
porque está arriba y abajo

493
00:45:15,059 --> 00:45:18,199
aquí x es igual a 1 menos 2z

494
00:45:18,199 --> 00:45:20,599
y es igual a

495
00:45:20,599 --> 00:45:21,699
1 más z

496
00:45:21,699 --> 00:45:24,559
a ver, hago esto mecánicamente

497
00:45:24,559 --> 00:45:26,639
porque seguramente

498
00:45:26,639 --> 00:45:28,139
no vayamos a necesitar

499
00:45:28,139 --> 00:45:30,800
y bueno, aquí z es igual a z

500
00:45:30,800 --> 00:45:32,539
las cuentas como veis son muy fáciles

501
00:45:32,539 --> 00:45:51,239
El punto es 1, 1, 0. El vector director es menos 2, 1, 1. Y ahora dice, determine la posición relativa de las rectas y reíse y calcule la intersección si existe.

502
00:45:51,239 --> 00:46:18,630
Entonces, posición relativa. A ver, u y v son proporcionales. Si yo cojo menos 2 partido por 1 igual a 1 partido por menos 1 igual a 1 partido por 1, no son proporcionales.

503
00:46:18,630 --> 00:46:31,570
Entonces, u y v o se cortan o se cruzan.

504
00:46:36,320 --> 00:46:38,179
¿Cómo sé si se cortan o se cruzan?

505
00:46:38,659 --> 00:46:40,099
Pues tomando el vector pq.

506
00:46:44,250 --> 00:46:47,510
Entonces, si el determinante que forman es distinto de cero,

507
00:46:47,610 --> 00:46:50,070
es que los tres vectores son independientes,

508
00:46:50,570 --> 00:46:54,449
las vueltas no son coplanarias, con lo cual se cruzan.

509
00:46:54,449 --> 00:46:57,030
entonces el vector

510
00:46:57,030 --> 00:47:00,610
tomo el vector PQ

511
00:47:00,610 --> 00:47:02,630
y ahora cojo el vector de la recta

512
00:47:02,630 --> 00:47:03,929
1-1, 1

513
00:47:03,929 --> 00:47:05,969
menos 2, 1, 1

514
00:47:05,969 --> 00:47:08,449
y el vector PQ

515
00:47:08,449 --> 00:47:10,369
que es 1-0, 1

516
00:47:10,369 --> 00:47:12,969
1-1, 0

517
00:47:12,969 --> 00:47:15,289
0-2, menos 2

518
00:47:15,289 --> 00:47:17,929
¿no? como veis aquí

519
00:47:17,929 --> 00:47:20,590
hay que tener los conceptos muy claros

520
00:47:20,590 --> 00:47:20,809
¿no?

521
00:47:22,590 --> 00:47:23,909
Q y V

522
00:47:24,809 --> 00:47:33,610
Este determinante sale menos 2, menos 1, 0, menos 1, 0 y más 4.

523
00:47:34,969 --> 00:47:36,369
Este determinante sale 0.

524
00:47:37,429 --> 00:47:41,409
Si sale 0 quiere decir que las dos rectas son coplanarias.

525
00:47:41,409 --> 00:47:49,409
Y si son coplanarias, R y S son secantes, se cortan.

526
00:47:49,769 --> 00:47:51,949
Se cortan en un punto.

527
00:47:53,909 --> 00:48:00,699
Ese punto se calcula resolviendo el sistema.

528
00:48:08,090 --> 00:48:08,730
Consejo.

529
00:48:10,909 --> 00:48:12,789
A ver, ¿cómo podéis resolver?

530
00:48:13,489 --> 00:48:21,929
Sustituir aquí la x por 1 menos 2z, la y por 1 más z y la z por z y resolvéis el sistema.

531
00:48:22,789 --> 00:48:28,000
Ahora, ecuación del plano que contiene a r y a s.

532
00:48:28,599 --> 00:48:32,400
Bueno, pues os voy a decir más o menos las cuentas que hay que ir haciendo.

533
00:48:32,400 --> 00:48:35,800
las cuentas

534
00:48:35,800 --> 00:48:37,900
ecuación del plano que contiene

535
00:48:37,900 --> 00:48:39,880
AR y AS, yo sé que se cortan

536
00:48:39,880 --> 00:48:42,159
elegir cualquier

537
00:48:42,159 --> 00:48:43,920
punto, o el punto P

538
00:48:43,920 --> 00:48:46,179
o el punto Q o el punto de cortes

539
00:48:46,179 --> 00:48:47,739
ese plano

540
00:48:47,739 --> 00:48:49,900
para dar ese plano P

541
00:48:49,900 --> 00:48:52,159
necesito un punto

542
00:48:52,159 --> 00:48:53,440
y dos vectores

543
00:48:53,440 --> 00:48:55,099
pues el punto

544
00:48:55,099 --> 00:48:56,840
puedo escoger

545
00:48:56,840 --> 00:49:01,159
o P o Q

546
00:49:01,159 --> 00:49:02,900
o el punto de cortes

547
00:49:04,360 --> 00:49:13,940
y luego dos vectores que son dado un punto y dos vectores buscar cómo se calcula la ecuación del

548
00:49:13,940 --> 00:49:24,300
plan y el ángulo que forman las tres reyes y ya con esto terminó el ángulo que forman y

549
00:49:24,300 --> 00:49:34,659
reyes es el mismo que el ángulo que forman los vectores uv como veis todos va repitiendo pero

550
00:49:34,659 --> 00:49:36,159
son bastantes procesos

551
00:49:36,159 --> 00:49:38,840
bueno, termino ya

552
00:49:38,840 --> 00:49:40,480
porque no suena el timbre

553
00:49:40,480 --> 00:49:42,460
por el cambio de hora

554
00:49:42,460 --> 00:49:44,139
pues tenemos problemas con el timbre

555
00:49:44,139 --> 00:49:46,519
pero bueno, cualquier cosa, sabéis que

556
00:49:46,519 --> 00:49:48,619
tenemos tutoría individual

557
00:49:48,619 --> 00:49:50,239
esta semana, tenemos a

558
00:49:50,239 --> 00:49:52,719
quinta hora, sobre las doce y media

559
00:49:52,719 --> 00:49:54,380
y

560
00:49:54,380 --> 00:49:57,940
mañana

561
00:49:57,940 --> 00:50:04,510
y mañana también tenemos

562
00:50:04,510 --> 00:50:06,590
una mañana

563
00:50:06,590 --> 00:50:08,230
no, jueves por la tarde tengo otra

564
00:50:08,230 --> 00:50:09,570
a las seis y media, ¿de acuerdo?

565
00:50:10,489 --> 00:50:14,889
Bueno, pues nada, pues gracias por vuestra resistencia, como siempre.

566
00:50:15,809 --> 00:50:19,449
Vamos a detener la grabación y nada, hasta pronto.