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00:00:02,540 --> 00:00:11,720
En este vídeo vamos a estudiar la posición relativa de dos planos en el espacio.

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00:00:12,240 --> 00:00:16,760
Como nos dice la intuición, dos planos pueden ser paralelos si no se cortan,

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00:00:17,219 --> 00:00:21,640
pueden ser secantes si su intersección es una recta o pueden coincidir si son idénticos.

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00:00:22,879 --> 00:00:25,280
Recordemos que tenemos dos familias de ecuaciones de un plano.

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00:00:25,820 --> 00:00:28,600
Por un lado, las que se expresan en función de sus vectores directores,

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00:00:29,140 --> 00:00:31,359
que son la ecuación paramétrica o vectorial,

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00:00:31,359 --> 00:00:42,280
Y por otro, la ecuación cartesiana. Esta ecuación es útil, por ejemplo, cuando conocemos el vector normal al plano ABC, pues A, B y C son los coeficientes de las incógnitas en la ecuación.

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00:00:43,119 --> 00:00:49,799
Con dos planos podemos formar un sistema con las ecuaciones cartesianas. A esto le llamaremos estudio analítico.

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00:00:49,899 --> 00:01:00,520
En cuanto al estudio vectorial, el problema es que por cada plano tenemos dos vectores directores, en total cuatro vectores, y uniendo los puntos posición de los dos planos tendremos otro vector más.

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00:01:00,520 --> 00:01:07,319
en total cinco vectores. Si el rango formado por los cuatro vectores directores es 2, los planos

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00:01:07,319 --> 00:01:13,140
son o paralelos o coincidentes. Si el vector pq está contenido en los planos, esto es, si el rango

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00:01:13,140 --> 00:01:17,939
de la matriz de los cinco vectores es también 2, los planos son coincidentes y si el rango aumenta

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00:01:17,939 --> 00:01:25,000
hasta 3 serán paralelos. Para que los planos sean secantes es necesario que el rango de la matriz de

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00:01:25,000 --> 00:01:31,180
vectores directores sea 3. Pasemos ahora al estudio analítico, que es aún más sencillo y conviene

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00:01:31,180 --> 00:01:35,900
utilizar. Calcular la intersección de dos planos equivale a resolver un sistema de dos

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00:01:35,900 --> 00:01:41,239
ecuaciones con tres incógnitas. Por el teorema Roche-Frobenius tenemos que comparar los rangos

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00:01:41,239 --> 00:01:47,420
de una matriz de coeficientes 2x3 y una matriz ampliada 2x4. Si el rango de la matriz de

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00:01:47,420 --> 00:01:52,700
coeficientes es igual al rango de la ampliada es igual a 1, el sistema es compatible e indeterminado.

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00:01:53,060 --> 00:01:59,540
La solución depende de 3-1 igual a dos parámetros, es decir, los planos coinciden. Si el rango

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00:01:59,540 --> 00:02:03,400
de la matriz de coeficientes es igual a 1 y el rango de la ampliada es igual a 2, el

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00:02:03,400 --> 00:02:09,060
sistema es incompatible, con lo que los dos planos son paralelos. Y si el rango de la

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00:02:09,060 --> 00:02:13,879
matriz ampliada coincide con el rango de la matriz de coeficientes y coincide con 2, el

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00:02:13,879 --> 00:02:19,500
sistema es compatible indeterminado y la solución depende de 3 menos 2, un parámetro. Es decir,

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00:02:19,939 --> 00:02:25,939
los planos se cortan en una recta. Vamos a aplicar ahora todo esto con el siguiente ejemplo.

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00:02:25,939 --> 00:02:43,909
En este ejercicio nos piden la posición relativa de dos planos. Esto es más sencillo. ¿Por qué? Porque solo tenemos que escribir los coeficientes del sistema de ecuaciones que forman.

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00:02:43,909 --> 00:02:53,270
Esto va a ser un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas y habrá que mirar si el sistema es compatible o incompatible.

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00:02:53,770 --> 00:02:56,650
Claramente, la matriz A tiene rango 1.

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00:02:58,509 --> 00:03:05,469
Fijaos que la fila 1, si la multiplicamos por menos 3, obtenemos la fila 2.

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00:03:06,689 --> 00:03:09,030
Entonces, vamos a mirar el rango de la ampliada.

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00:03:09,750 --> 00:03:11,250
¿Qué pasa con el rango de la ampliada?

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00:03:11,789 --> 00:03:15,909
La ampliada, vamos a escribirla para no tener dudas, por si acaso.

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00:03:22,139 --> 00:03:22,860
¿Qué pasa aquí?

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00:03:23,400 --> 00:03:25,819
Bueno, pues que aquí obtenemos un menor no nulo.

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00:03:26,699 --> 00:03:28,479
Ese menor, 1.

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00:03:28,800 --> 00:03:43,520
1 menos 3, 3. ¿Qué determinante tiene? Pues 3 menos menos 3. Cuidado con los dobles signos. 6. Significa que esto es, como esto es distinto de 0, el rango de la ampliada valdrá 2.

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00:03:43,960 --> 00:03:57,000
Y eso es mayor que el rango de A, que es igual a 1. ¿Qué significa esto? Pues que pi y pi' no se pueden cortar porque el sistema es incompatible.

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00:03:57,000 --> 00:04:28,680
Y como el sistema es incompatible, son paralelos también. Son paralelos estos dos planos. Ya está. Planos paralelos. Los coeficientes son proporcionales, pero aquí, si hubiésemos tenido un menos tres, si aquí hubiésemos tenido un menos tres en esta casilla, hubiesen sido el mismo, hubiesen sido dos planos coincidentes.

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00:04:28,680 --> 00:04:31,100
Pero como tenemos ahí un 3, pues son paralelos.

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00:04:31,740 --> 00:04:33,540
Espero que os haya gustado, que os haya resultado sencillo.

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00:04:33,600 --> 00:04:34,980
Nos vemos en futuros vídeos. ¡Hasta luego!