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00:00:02,290 --> 00:00:10,369
Buenas tardes, me llamo David y soy profesor de matemáticas en un instituto público del sur de la Comunidad de Madrid.

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00:00:11,050 --> 00:00:14,769
Esta tarde vamos a resolver este ejercicio.

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00:00:15,689 --> 00:00:20,410
Estamos aquí utilizando para ello las propiedades de los determinantes.

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00:00:21,649 --> 00:00:24,750
Como vemos, consta de dos apartados.

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00:00:26,690 --> 00:00:31,070
Y vamos a empezar resolviendo en primer lugar el apartado A.

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00:00:31,070 --> 00:00:59,439
Si nos fijamos, el dato que nos dan es que el determinante de la matriz cuyos elementos son mnpq es menos 5 y nos piden que calculemos primeramente el determinante de m más 3n, de p más 3q y el afilado de dicho determinante de orden 2 tenemos niq.

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00:00:59,439 --> 00:01:15,260
Este determinante lo podemos desarrollar como suma de determinantes en el que la primera fila de dicho determinante será

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00:01:15,260 --> 00:01:35,040
M, P, N, Q, más 3N, 3Q y en la fila 2 N, Q.

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00:01:35,040 --> 00:01:57,609
Si nos fijamos en este segundo determinante de orden 2, podemos ver que la fila primera es proporcional a la fila segunda.

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00:01:57,870 --> 00:02:04,079
Es decir, la fila primera es tres veces la fila segunda.

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00:02:04,079 --> 00:02:20,069
Como bien recordamos, hay una propiedad de los determinantes en los que nos decía que cuando en un determinante haya una fila o columna que es proporcional a otra fila o columna, el valor del determinante era cero.

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00:02:22,379 --> 00:02:31,400
Por tanto, el valor de dicho determinante es mpnq.

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00:02:31,400 --> 00:02:46,539
Si nos fijamos en los elementos de este determinante, vemos claramente que los elementos que tiene son exactamente iguales que los elementos del determinante de la matriz A.

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00:02:47,159 --> 00:03:12,150
Pero lo que tenemos cambiado son la fila 1 pasa a columna 1 y la fila 2 ha pasado a ser columna 2.

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00:03:12,150 --> 00:03:28,030
Vemos con esto que nos está indicando, pues que este determinante que tengo aquí es el determinante de la matriz traspuesta de A.

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00:03:29,490 --> 00:03:38,969
Y como bien sabemos, había una propiedad de los determinantes que nos decía que el determinante de la traspuesta de una matriz era igual al determinante de dicha matriz.

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00:03:38,969 --> 00:03:44,409
Por tanto, el valor de este determinante es menos 5.

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00:03:46,680 --> 00:03:56,800
Si nos vamos al segundo determinante, cuyos elementos tiene por fila 1 3n menos m y por fila 2 3q menos p,

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00:03:57,599 --> 00:04:08,340
como podemos observar en dicho determinante, todos los elementos de esa primera columna están multiplicados por 3.

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00:04:08,340 --> 00:04:17,819
Y además, también vemos que todos los elementos de la segunda columna están multiplicados por menos uno.

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00:04:20,399 --> 00:04:32,800
Por tanto, como bien sabemos, hay una propiedad de los determinantes que nos decía que cuando todos los elementos de una fila o de una columna están multiplicados por un mismo número,

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00:04:32,800 --> 00:04:39,699
podemos sacar, extraer fuera dicho número del determinante.

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00:04:40,180 --> 00:04:43,500
De manera que el valor del determinante quedará multiplicado por dicho número.

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00:04:44,160 --> 00:04:50,120
Por tanto, atendiendo a lo dicho, si en la primera columna está multiplicada por 3 todos los elementos,

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00:04:50,120 --> 00:04:56,860
pues saco el 3 de la primera columna y si los elementos de la segunda columna están multiplicados todos por menos 1,

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00:04:57,379 --> 00:05:09,180
pues saco el menos 1 de dicha columna y lo multiplico por el valor del determinante que será N, M, Q, P.

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00:05:12,040 --> 00:05:19,500
Si ahora nos fijamos en los elementos del determinante de la matriz A, que son M, N, P, Q,

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00:05:20,199 --> 00:05:28,459
pues lógicamente que tenemos, los elementos son los mismos pero están cambiados de columnas.

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00:05:28,459 --> 00:05:30,439
Por tanto, ¿qué tenemos que hacer?

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00:05:31,240 --> 00:05:40,199
Pues lo que tenemos que hacer aquí sería un cambio de columnas, es decir, la columna 2 la tendríamos que cambiar a columna 1.

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00:05:40,199 --> 00:05:59,220
De manera que, como bien sabemos, cuando permutamos o cambiamos dos filas o columnas de un determinante, el valor del determinante cambia de signo y eso matemáticamente lo expresamos multiplicando el valor de dicho determinante por menos uno.

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00:05:59,220 --> 00:06:18,740
Es decir, esto será 3 por menos 1 que es menos 3, por el cambio de columnas que vamos a hacer, que es menos 1, por el valor del determinante que será mpnq.

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00:06:18,740 --> 00:06:30,660
Y por tanto, pues ya vemos que esto que tengo aquí, que es esto, es el dato que nos dan en el enunciado, que es el determinante de la matriz A, que vale menos 5.

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00:06:30,980 --> 00:06:41,360
Es decir, el resultado final será 3 por menos 5, que será menos 15.

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00:06:43,860 --> 00:06:49,139
Por tanto, ya hemos resuelto este primer apartado de este ejercicio.

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00:06:49,139 --> 00:07:04,720
A continuación vamos a resolver este apartado en el que nos dice que notando matrices B y C que son cuadradas de orden 2

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00:07:04,720 --> 00:07:14,779
y que además su determinante son menos 2 y 2 respectivamente para las matrices B y C.

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00:07:14,779 --> 00:07:23,680
El primer ítem nos pide que calculemos el determinante de B por la traspuesta de C

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00:07:23,680 --> 00:07:28,779
El segundo que sería el determinante de la inversa de B por C

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00:07:28,779 --> 00:07:33,060
Y el tercero el determinante de 3 por B

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00:07:33,060 --> 00:07:40,699
Previamente a dar respuesta a lo que nos piden en la actividad os voy a recordar esta propiedad

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00:07:40,699 --> 00:08:03,129
Y así podremos resolver este apartado.

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00:08:10,910 --> 00:08:12,449
¿Qué nos dice esa propiedad?

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00:08:13,870 --> 00:08:55,340
Pues sean A y B dos matrices cuadradas, del orden que sea, tales que los determinantes de A y de B son distintos de cero.

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00:08:55,340 --> 00:09:01,220
Es decir, tanto la matriz A como la matriz B serían matrices regulares.

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00:09:02,940 --> 00:09:17,820
Cuando a mí me pregunten el determinante de una matriz A por B, pues esto será igual al determinante de la matriz A por el determinante de la matriz B.

47
00:09:17,820 --> 00:09:26,639
Una vez que os he recordado esta propiedad, pues rápidamente vamos a poder dar respuesta a los que nos piden en el apartado B.

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00:09:30,299 --> 00:09:37,559
Bien, aquí tengo un producto de B por C y tenemos que calcular su determinante atendiendo a lo comentado.

49
00:09:38,019 --> 00:09:46,980
Pues esto será el determinante de la matriz B por el determinante de la traspuesta de C.

50
00:09:46,980 --> 00:10:10,029
y yo sé que esto será igual al determinante de B por el determinante,

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00:10:10,509 --> 00:10:17,250
como bien sabemos el determinante de la traspuesta es lo mismo que el determinante de dicha matriz

52
00:10:17,250 --> 00:10:21,850
y si ahora introducimos los datos que nos dan en el enunciado, que los tengo aquí,

53
00:10:29,820 --> 00:10:33,059
pues nada más que tengo que sustituir el determinante de B, que es menos 2,

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00:10:33,059 --> 00:10:39,259
por el determinante de C que es 2 y por tanto esto será menos 4.

55
00:10:40,240 --> 00:10:47,320
Si nos vamos a la segunda, tengo que, tengo también un producto y por tanto esto será el determinante del primero,

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00:10:48,059 --> 00:10:52,899
el determinante de la inversa de B, por el determinante de la matriz C.

57
00:10:52,899 --> 00:11:15,120
Como bien sabemos, el determinante de la inversa de una matriz que es regular y además es cuadrada, pues lógicamente esto será 1 partido del determinante de dicha matriz por el determinante de la matriz C.

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00:11:15,120 --> 00:11:28,600
Y por tanto, sustituyendo 1 partido de menos 2 por 2, esto será igual a 2 partido de menos 2, que es igual a menos 1.

59
00:11:30,100 --> 00:11:41,820
De manera que ya hemos dado respuesta a este apartado que nos solicita el determinante de la inversa de b por c.

60
00:11:41,820 --> 00:11:50,059
Si nos vamos al tercer ítem de este apartado, nos pide el determinante de un número real por una matriz.

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00:11:50,779 --> 00:11:56,639
Pues esto será igual al número real, que en este caso es 3, elevado a qué?

62
00:11:57,419 --> 00:12:05,500
Pues al orden o dimensión que tiene dicha matriz.

63
00:12:05,500 --> 00:12:16,860
En este caso, en el enunciado nos dice que es de orden 2, por tanto, lo tendremos que elevar a ese orden por el determinante de la matriz B.

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00:12:17,860 --> 00:12:29,519
El determinante de la matriz B lo tengo arriba y esto será 9 por menos 2, de manera que el valor de dicho determinante será menos 18.

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00:12:29,519 --> 00:12:35,879
y con esto pues ya habremos terminado de resolver este ejercicio de propiedades de los determinantes

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00:12:35,879 --> 00:12:40,200
que como podéis ver no tiene mayor dificultad