1
00:00:02,859 --> 00:00:07,259
Hola, en este vídeo vamos a empezar a estudiar la suma y resta de matrices.

2
00:00:08,419 --> 00:00:15,199
Para poder sumar y restar matrices lo único que necesitamos es que ambas matrices tengan la misma dimensión.

3
00:00:15,900 --> 00:00:24,079
Si no la tienen no podríamos sumarlas. Necesitamos que tengan exactamente el mismo número de filas y el mismo número de columnas.

4
00:00:24,960 --> 00:00:27,399
La definición más formal es la que tenéis aquí escrita.

5
00:00:27,399 --> 00:00:32,119
da las dos matrices cualesquiera, pero siempre que tengan la misma dimensión, ¿vale?

6
00:00:32,140 --> 00:00:35,020
Como veis aquí en la nomenclatura, en la anotación matemática,

7
00:00:35,520 --> 00:00:39,600
que ambas tienen que tener la misma dimensión, m filas por n columnas,

8
00:00:40,119 --> 00:00:44,719
definimos matriz suma como aquella matriz que tiene la misma dimensión que las dos anteriores,

9
00:00:45,299 --> 00:00:50,060
pero en la que cada uno de los elementos se obtiene como la suma de los elementos

10
00:00:50,060 --> 00:00:54,079
de la primera y la segunda matriz que se encuentran en la misma posición, ¿vale?

11
00:00:54,079 --> 00:01:04,640
¿Vale? Por eso, pues lo que decía al principio, es un requisito indispensable que las matrices tengan la misma dimensión para poder sumar los elementos, claro, porque si no, alguna de las dos matrices me sobraría.

12
00:01:05,500 --> 00:01:13,760
¿Vale? Y también una consecuencia de esto es que la matriz resultado, ¿vale? La matriz suma va a tener la misma dimensión que las dos matrices anteriores.

13
00:01:13,760 --> 00:01:23,819
¿Vale? Bueno, si lo habéis escrito con notación matemática, si escribimos las matrices A y B genéricas de dimensión m por n, ¿vale?

14
00:01:23,859 --> 00:01:32,280
Como podéis ver en el último elemento, pues bueno, simplemente las escribiríamos una detrás de otra sumando, ¿vale?

15
00:01:32,379 --> 00:01:38,319
Y como resultado, pues escribiríamos en cada una de las casillas directamente el resultado de la suma, ¿vale?

16
00:01:39,319 --> 00:01:48,260
Bueno, para hablar de la resta de matrices, sería lo mismo, simplemente al elemento de la primera matriz se le resta el elemento de la segunda matriz.

17
00:01:48,459 --> 00:02:01,790
Dicho esto, vamos a ver ahora un ejemplo de suma y resta de matrices con estas dos matrices 3x2 que tenemos aquí, ¿vale?

18
00:02:02,049 --> 00:02:07,930
Tres filas por dos columnas, ambas tienen la misma dimensión, por tanto, podré sumarlas o restarlas, ¿vale?

19
00:02:08,150 --> 00:02:10,969
Me piden primero que las sume y después que las reste.

20
00:02:11,110 --> 00:02:32,900
Bueno, pues para sumarlas lo primero que tendríamos que hacer simplemente es copiarlas, primero la primera y después la segunda y simplemente ir operando, ¿vale?

21
00:02:33,800 --> 00:02:39,159
Lo que vamos a hacer, por ser esta la primera, es que vamos a escribir toda la operación dentro pero luego no hace falta hacerla.

22
00:02:39,860 --> 00:02:50,979
El primer elemento de la matriz resultado va a ser la suma de los primeros elementos de la, o sea, entender por primer elemento lo que está en la fila 1, columna 1, ¿vale?

23
00:02:50,979 --> 00:02:58,460
Pues va a ser la suma de los elementos que están en las filas 1, columna 1 de sus respectivas columnas, es decir, menos 1 más 1.

24
00:02:58,900 --> 00:03:06,520
El elemento 1, 2, ¿vale? El que está en fila 1, columna 2, será la suma de los elementos que están en esa posición.

25
00:03:07,479 --> 00:03:10,340
Y continuaríamos, ¿vale? Siempre sumando elemento a elemento.

26
00:03:11,460 --> 00:03:15,479
Tendríamos aquí menos 5 más 5, ¿vale? Fila 2, columna 2.

27
00:03:15,479 --> 00:03:41,479
Y aquí los que están en fila 3, columna 1. Y por último los que están aquí en fila 3, columna 2. ¿De acuerdo? Venga, y simplemente pues nada, hacemos la operación. Esto luego lo haremos de cabeza, ¿vale? Pero bueno, menos 1 más 1, 0, 7, 2, 0, 9, 4. ¿Vale? Esa sería la matriz suma.

28
00:03:41,479 --> 00:04:11,680
Vamos a ver ahora cómo haríamos la siguiente operación, que es la de la resta, que simplemente nos piden que a la segunda de las matrices que nos dan le restemos la segunda, lo vamos a hacer del tirón, le restaríamos menos 1, 4, 2, menos 5, 3, 6,

29
00:04:11,680 --> 00:04:21,620
Y nada, pues simplemente tendríamos que poner como primer elemento la diferencia de 1 menos menos 1, es decir, 1 menos menos 1 es 2.

30
00:04:22,399 --> 00:04:28,500
Segundo, el elemento de fila 1 columna 2, 3 menos 4 sería menos 1.

31
00:04:29,779 --> 00:04:33,220
0 menos 2, menos 2.

32
00:04:33,819 --> 00:04:37,779
5 menos menos 5 sería 5 más 5 que es 10.

33
00:04:37,779 --> 00:04:45,240
4 menos 3 es 1 y por último menos 2 menos 6 sería menos 8

34
00:04:45,240 --> 00:04:52,100
Esta sería el último elemento que está en la fila 3, columna 2

35
00:04:52,100 --> 00:04:58,019
Bueno, si lo habéis entendido podríais parar aquí el vídeo pero yo voy a hacer un segundo ejemplo

36
00:04:58,019 --> 00:05:02,699
Con dos matrices que tengo aquí, 3 por 3, son matrices cuadradas de orden 3

37
00:05:02,699 --> 00:05:11,379
¿Vale? Y nada, pues vamos a ver cómo sería esta suma, pues bastante parecida a la anterior, ¿no?

38
00:05:11,740 --> 00:05:19,420
O sea, simplemente se copian todos los elementos y se van sumando los elementos que están en la misma posición, ¿vale?

39
00:05:20,480 --> 00:05:26,579
Os recomiendo que como yo creo que esto es bastante sencillo, que paréis el vídeo o que intentéis hacerlo a la vez que lo hago yo.

40
00:05:26,939 --> 00:05:29,740
Aquí le he llamado B, pero entendemos que esto se llama D, ¿vale?

41
00:05:29,740 --> 00:05:39,399
entonces esta sería la matriz de pues nada mirad aquí tiene estas dos filas iguales

42
00:05:41,620 --> 00:05:48,079
no pasa nada insisto os recomiendo que intentéis hacerla solos quizá quitar el audio y ahora

43
00:05:48,079 --> 00:05:53,240
comprobéis si la tenéis igual creo que la vais a tener igual porque bueno es bastante sencillo el

44
00:05:53,240 --> 00:06:01,220
El elemento que está en la fila 1, columna 1, que sería la solución, el 1, 1, se da 2 más 1, 3.

45
00:06:02,439 --> 00:06:07,620
El siguiente, menos 1 más 0, menos 1, 7 más menos 4, 3.

46
00:06:08,279 --> 00:06:15,199
Siguiente fila, aquí tendríamos un 4, un 1 y 2 más menos 4, sería menos 2.

47
00:06:15,199 --> 00:06:20,079
Y por último tendríamos aquí 2, 3 y 7.

48
00:06:20,079 --> 00:06:25,259
¿vale? bueno, en el siguiente ejemplo

49
00:06:25,259 --> 00:06:27,339
pues nada, simplemente nos piden las mismas matrices

50
00:06:27,339 --> 00:06:31,980
que teníamos antes, solo que ahora nos piden que restemos, ¿vale?

51
00:06:32,560 --> 00:06:37,199
hallemos la diferencia entre esas dos matrices, pues nada, copiamos los mismos elementos

52
00:06:37,199 --> 00:06:38,759
igual que antes, ¿de acuerdo?

53
00:06:40,220 --> 00:06:45,220
perdonad mi mala letra, uy, perdón, pero ahora nos piden operación resta

54
00:06:45,220 --> 00:07:07,000
Tendríamos aquí 1, 0, menos 4, 1, 0, menos 4, menos 1, 3, 2 y tendríamos que ir restando elemento a elemento, ¿vale? En la primera posición, fila 1, columna 1, tendríamos 2, menos 1, 1, menos 1, menos 0, menos 1, 7, menos menos 4, 7 más 4 es 11.

55
00:07:07,000 --> 00:07:14,800
3 menos 1 es 2, 1 menos 0 es 1 y 2 menos menos 4 sería 2 más 4 que es 6

56
00:07:14,800 --> 00:07:20,899
Y en la última fila tendríamos 2 menos 3 y 3

57
00:07:20,899 --> 00:07:31,170
Vamos a terminar el vídeo hablando de las propiedades de la suma de matrices

58
00:07:31,170 --> 00:07:37,189
Habéis visto que lo que es la operación suma o diferencia es bastante sencilla

59
00:07:37,189 --> 00:07:42,689
Y además es que cumple unas propiedades que van a ser bastante buenas y que nos resultan bastante familiares

60
00:07:42,689 --> 00:07:51,889
porque las usábamos en otro tipo de conjuntos numéricos, como eran los números naturales o los números reales.

61
00:07:52,670 --> 00:07:57,009
¿Qué ventajas o qué bondades tiene la suma de matrices?

62
00:07:57,209 --> 00:08:04,410
La suma de matrices, dadas dos matrices que tengan la misma dimensión, es decir, que podamos sumar, como hemos visto hace un ratito,

63
00:08:05,889 --> 00:08:07,850
cumplen las siguientes propiedades.

64
00:08:07,850 --> 00:08:17,449
La primera de ellas es que es conmutativa, ¿vale? La suma de matrices es conmutativa, significa que no importa si yo sumo a más b o b más a, que el resultado va a ser el mismo, ¿vale?

65
00:08:18,410 --> 00:08:28,230
Es también asociativa, o sea, si a mí en un momento dado me dan tres matrices de igual dimensión y las tengo que sumar, no importa el orden en que yo lo haga, ¿de acuerdo?

66
00:08:28,490 --> 00:08:31,110
Porque, bueno, el resultado también va a ser el mismo.

67
00:08:31,110 --> 00:08:35,710
En la suma de matrices también existe elemento neutro, ¿vale?

68
00:08:35,909 --> 00:08:41,789
Y no es más que la matriz nula que tenga la misma dimensión que la misma que a mí me dan, ¿de acuerdo?

69
00:08:41,870 --> 00:08:44,750
Porque, bueno, si no tiene la misma dimensión ya hemos visto que no se pueden sumar

70
00:08:44,750 --> 00:08:51,090
Entonces, en el momento que existe una matriz nula de la misma dimensión que la que a mí me dan

71
00:08:51,090 --> 00:08:55,669
No importa si yo esta matriz nula la sumo por la izquierda o por la derecha, ¿vale?

72
00:08:55,809 --> 00:08:57,129
Por la que es la conmutatividad

73
00:08:57,129 --> 00:09:00,210
No importa esto porque siempre el resultado va a ser el mismo

74
00:09:00,210 --> 00:09:10,470
que no es más que la matriz original, ¿vale? O sea, a una matriz yo le sumo la matriz nula y obtengo la matriz original, ¿de acuerdo?

75
00:09:11,309 --> 00:09:16,850
Y por último, pues bueno, hay que destacar la existencia de elemento simétrico, ¿vale?

76
00:09:16,909 --> 00:09:21,649
Que es el que nos permite hablar de la existencia, bueno, de la operación diferencia, ¿vale?

77
00:09:21,649 --> 00:09:34,049
Lo acabo de explicar antes. O sea, el elemento simétrico, bueno, es aquel que cuando yo se lo sumo a la matriz original me da la matriz nula como resultado.

78
00:09:34,610 --> 00:09:39,090
Este elemento simétrico no es otro que la matriz opuesta a la matriz que a mí me den original.

79
00:09:39,389 --> 00:09:47,409
Ya vimos en el vídeo anterior, en el tercer vídeo del tema, la existencia y cómo se calcula la matriz opuesta a otra que a mí me den.

80
00:09:47,409 --> 00:09:53,549
¿Vale? Entonces si a una matriz yo le sumo su matriz opuesta, el resultado es una matriz nula

81
00:09:53,549 --> 00:09:56,450
¿Vale? Porque todos los elementos se van a ir compensando, ¿vale?

82
00:09:56,470 --> 00:10:04,429
Porque cada elemento que está en la misma posición en las dos matrices, claro, es el elemento opuesto

83
00:10:04,429 --> 00:10:10,490
¿Vale? Tiene el valor opuesto al de la matriz original, por tanto, claro, si a un número yo le sumo su opuesto

84
00:10:10,490 --> 00:10:12,250
El resultado es cero