1
00:00:13,039 --> 00:00:19,179
vamos a resolver ahora un ejercicio de la selectividad de la evau de andalucía

2
00:00:19,179 --> 00:00:27,829
año 2018 junio a 2 sobre integrales entonces

3
00:00:27,829 --> 00:00:31,910
lo primero que vamos a hacer es marcar la vista gráfica 2 para tener el

4
00:00:31,910 --> 00:00:37,710
problema siempre visible vemos que mientras esto esté desplegado la vista

5
00:00:37,710 --> 00:00:43,210
las ventanas salen con ese icono que haciendo clic y arrastrar me permite

6
00:00:43,210 --> 00:00:52,229
ponerlo donde quiera, quito los ejes y ahora voy a insertar la imagen con el texto que

7
00:00:52,229 --> 00:00:58,630
ya hemos dicho que podremos coger con el recorte de Windows o en mi caso con otro programa

8
00:00:58,630 --> 00:01:06,370
que utilizo que hace lo mismo en Más Madrid Linux que es un Ubuntu 18 de alguna manera.

9
00:01:06,370 --> 00:01:08,730
bueno, ya tenemos ahí

10
00:01:08,730 --> 00:01:11,849
nuestro texto

11
00:01:11,849 --> 00:01:13,969
de acuerdo

12
00:01:13,969 --> 00:01:17,930
ahora le he puesto debajo para variar

13
00:01:17,930 --> 00:01:18,709
y también para

14
00:01:18,709 --> 00:01:21,409
que veáis que en este caso seguramente

15
00:01:21,409 --> 00:01:23,730
ocupa menos sitio

16
00:01:23,730 --> 00:01:25,790
bueno, pues lo primero que tenemos

17
00:01:25,790 --> 00:01:28,290
son las funciones 6x menos x cuadrado

18
00:01:28,290 --> 00:01:34,540
ahí la tenemos

19
00:01:34,540 --> 00:01:42,000
más bajo

20
00:01:42,000 --> 00:01:44,459
perfecto

21
00:01:44,459 --> 00:01:46,859
la vamos a poner en azul

22
00:01:46,859 --> 00:01:52,989
de acuerdo, y la otra la pondremos en rojo

23
00:01:52,989 --> 00:01:56,329
bueno, ahora tenemos que representar la función g de x

24
00:01:56,329 --> 00:01:59,290
igual a la valor absoluta de x cuadrado menos 2x

25
00:01:59,290 --> 00:02:05,209
hacerlo en GeoGebra es muy sencillo, yo simplemente pongo abs de valor absoluto

26
00:02:05,209 --> 00:02:08,490
paréntesis x al cuadrado menos 2x

27
00:02:08,490 --> 00:02:12,990
pues evidentemente GeoGebra hace todo el trabajo

28
00:02:12,990 --> 00:02:15,349
ahí la tenemos, la función g

29
00:02:15,349 --> 00:02:21,129
pero en general no habría sido tan sencillo de hacer

30
00:02:21,129 --> 00:02:28,110
y lo que yo les propongo a mis alumnos es que todas las funciones como era absoluto

31
00:02:28,110 --> 00:02:31,289
las descompongan o las convierta en una función a trozos

32
00:02:31,289 --> 00:02:36,770
para ello me vais a permitir que en este caso vamos a trabajar también con la vista CAS

33
00:02:36,770 --> 00:02:41,849
de acuerdo, ahí la tenemos, nos la ha puesto aquí

34
00:02:41,849 --> 00:02:44,349
recordar que si ponemos vista

35
00:02:44,349 --> 00:02:46,810
pues podemos cambiarla

36
00:02:46,810 --> 00:02:50,710
vamos a ponerla ahí

37
00:02:50,710 --> 00:02:51,930
debajo, vale

38
00:02:51,930 --> 00:02:54,409
como veis, o sea, tenemos

39
00:02:54,409 --> 00:02:55,930
aquí

40
00:02:55,930 --> 00:02:57,650
bueno, pues lo que decía

41
00:02:57,650 --> 00:03:00,330
es que si yo

42
00:03:00,330 --> 00:03:02,189
G

43
00:03:02,189 --> 00:03:04,909
la pongo en la vista

44
00:03:04,909 --> 00:03:06,810
acá y pido que me

45
00:03:06,810 --> 00:03:07,810
resuelva la ecuación

46
00:03:07,810 --> 00:03:09,250
0,2

47
00:03:09,250 --> 00:03:12,889
lógicamente son los puntos donde toca el eje x

48
00:03:12,889 --> 00:03:15,789
sus raíces, y eso me permite ahora

49
00:03:15,789 --> 00:03:20,969
escribir g realmente como una función a trozos

50
00:03:20,969 --> 00:03:23,569
de tal manera que escribiremos sí

51
00:03:23,569 --> 00:03:28,550
abrimos paréntesis, vamos a ir de izquierda a derecha

52
00:03:28,550 --> 00:03:31,189
x menor o igual que 0

53
00:03:31,189 --> 00:03:36,689
la función a pintar, vemos que es igual que sin valor absoluto

54
00:03:36,689 --> 00:03:40,349
ya que por ejemplo f de menos 3 daría positivo

55
00:03:40,349 --> 00:03:43,530
y el valor absoluto no le haría nada

56
00:03:43,530 --> 00:03:46,430
bueno, estamos metiendo también matemáticas

57
00:03:46,430 --> 00:03:50,110
aunque esto es un curso de GeoGebra

58
00:03:50,110 --> 00:03:54,569
bueno, pues aquí tenemos x cuadrado menos 2x

59
00:03:54,569 --> 00:03:57,229
coma, haremos otro sí

60
00:03:57,229 --> 00:04:01,810
en el que ahora lo que pondremos es el contrario

61
00:04:01,810 --> 00:04:05,629
menos x al cuadrado más 2x

62
00:04:05,629 --> 00:04:30,389
También podríamos haber escrito en algún sitio x cuadrado menos 2x, poner p menos p, pero bueno, y ahora aquí podríamos poner coma y cuando no lo pone, vamos a hacerlo de hecho, ahora aquí otra vez x cuadrado menos 2x, pero mirad lo que pasa cuando escribo esto como una función.

63
00:04:30,389 --> 00:04:31,930
me da la impresión

64
00:04:31,930 --> 00:04:35,009
si, me he comido la condición

65
00:04:35,009 --> 00:04:36,610
claro, ahora sería

66
00:04:36,610 --> 00:04:38,649
x menor o igual que 2

67
00:04:38,649 --> 00:04:40,889
bueno

68
00:04:40,889 --> 00:04:44,310
mirad lo que pasa al caso

69
00:04:44,310 --> 00:04:47,029
al ponerlo, me sale escrito así

70
00:04:47,029 --> 00:04:48,730
que uno puede decir, pues no me importa

71
00:04:48,730 --> 00:04:50,290
efectivamente menor que 0

72
00:04:50,290 --> 00:04:52,910
de 0 a 2 y en caso contrario

73
00:04:52,910 --> 00:04:54,310
a mi no me gusta mucho

74
00:04:54,310 --> 00:04:56,829
entonces lo que hago es

75
00:04:56,829 --> 00:04:58,949
esta última opción

76
00:04:58,949 --> 00:05:03,199
Esta última opción

77
00:05:03,199 --> 00:05:04,899
Vaya, no me va a dejar

78
00:05:04,899 --> 00:05:08,540
En cuanto pincho fuera

79
00:05:08,540 --> 00:05:11,300
No me deja

80
00:05:11,300 --> 00:05:16,300
En cuanto quiero llevarlo aquí para verlo

81
00:05:16,300 --> 00:05:17,920
Bueno, vamos a hacer otra trampa

82
00:05:17,920 --> 00:05:21,019
No me queda más remedio

83
00:05:21,019 --> 00:05:24,819
Este sería

84
00:05:24,819 --> 00:05:26,379
No poner aquí nada

85
00:05:26,379 --> 00:05:30,600
Tampoco me lo va a dejar borrar

86
00:05:30,600 --> 00:05:33,300
De izquierda a derecha, sí

87
00:05:33,300 --> 00:05:45,079
y después del valor poner sí y ahora x mayor que 2

88
00:05:45,079 --> 00:05:48,459
entonces me va a copiar eso en la definición

89
00:05:48,459 --> 00:05:51,459
y ahora aquí x cuadrado menos 2x

90
00:05:51,459 --> 00:05:57,819
ahora como veis en vez de poner en caso contrario pone x mayor que 2

91
00:05:57,819 --> 00:06:00,360
nada más contaros esta curiosidad

92
00:06:00,360 --> 00:06:18,680
Como veis, la función la ha pintado bien, si quisiéramos tenerla igual que G, pues podemos utilizar la herramienta copiar estilo visual, ahora lo mismo poner G que H, podemos poner la que queramos porque es la misma.

93
00:06:18,680 --> 00:06:42,680
Lo único que en H nos sirve para contestar ahora a la pregunta, porque lo que tenemos que hacer es una parábola que corta el eje X en 0 y en 2 con la misma curvatura que X cuadrado, aquí curvatura contraria,

94
00:06:42,680 --> 00:06:47,100
que es lo que solemos llamar cóncava y convexa en matemáticas de secundaria

95
00:06:47,100 --> 00:06:54,759
y bueno, pues yo creo que esto ya cualquiera podría pintarlo

96
00:06:54,759 --> 00:07:01,680
si acaso aquí podríamos poner en G

97
00:07:01,680 --> 00:07:06,920
pues hacer donde tendrá el máximo

98
00:07:06,920 --> 00:07:12,500
entonces podríamos enfocarlo o bien como menos B partido de 2A

99
00:07:12,500 --> 00:07:16,939
que sería menos b

100
00:07:16,939 --> 00:07:20,980
2 partido de 2a, 2, 1

101
00:07:20,980 --> 00:07:23,879
o incluso haciendo

102
00:07:23,879 --> 00:07:28,540
la derivada de menos x cuadrado más 2x

103
00:07:28,540 --> 00:07:31,399
en cualquier caso

104
00:07:31,399 --> 00:07:34,160
nos sale que el extremo está en 1

105
00:07:34,160 --> 00:07:39,439
una parábola fácil de pintar

106
00:07:39,439 --> 00:07:43,939
una vez que tuviéramos las dos hechas

107
00:07:43,939 --> 00:07:46,279
vamos a pasar a lo que me interesaba

108
00:07:46,279 --> 00:07:49,740
que era calcular el área del recinto limitado

109
00:07:49,740 --> 00:07:51,579
bueno, pues para eso

110
00:07:51,579 --> 00:07:54,379
si queremos hacer los puntos de corte entre F y G

111
00:07:54,379 --> 00:07:57,959
hay que igualar las funciones

112
00:07:57,959 --> 00:08:04,110
resolver esta ecuación

113
00:08:04,110 --> 00:08:06,990
nos da 0 y 4

114
00:08:06,990 --> 00:08:10,189
en realidad habría que tener cuidado

115
00:08:10,189 --> 00:08:14,370
y lo suyo sería igualarla a esta

116
00:08:14,370 --> 00:08:17,189
que me valdría para menores que 0 y mayores que 2

117
00:08:17,189 --> 00:08:22,850
y igualarla a esta que me valdría para los valores entre 0 y 2

118
00:08:22,850 --> 00:08:26,910
veríamos que en este caso

119
00:08:26,910 --> 00:08:30,589
me daría 0 y 4 y aquí daría 0

120
00:08:30,589 --> 00:08:33,570
pero bueno, 0 y 4, aquí se ve en el dibujo

121
00:08:33,570 --> 00:08:37,169
bueno, una manera de hacerlo

122
00:08:37,169 --> 00:08:39,909
vemos que tendríamos que dividir para calcular el área

123
00:08:39,909 --> 00:08:44,330
hasta 2 y a la derecha de 2

124
00:08:44,330 --> 00:08:47,070
por ejemplo, aquí podríamos poner

125
00:08:47,070 --> 00:08:53,289
primero lo vamos a hacer gráficamente

126
00:08:53,289 --> 00:08:55,450
y luego veremos cómo se haría numéricamente

127
00:08:55,450 --> 00:09:01,389
la integral de f entre 0 y 2

128
00:09:01,389 --> 00:09:05,289
es 9,33

129
00:09:05,289 --> 00:09:08,830
si este área, por ejemplo

130
00:09:08,830 --> 00:09:10,710
podríamos hacer cosas

131
00:09:10,710 --> 00:09:13,110
como

132
00:09:13,110 --> 00:09:17,200
en estilo

133
00:09:17,200 --> 00:09:20,679
vaya, se nos ha ido

134
00:09:20,679 --> 00:09:22,100
en estilo

135
00:09:22,100 --> 00:09:24,759
poner un relleno rayado

136
00:09:24,759 --> 00:09:26,460
con, por ejemplo

137
00:09:26,460 --> 00:09:28,240
esto

138
00:09:28,240 --> 00:09:30,620
el color le podríamos poner azul

139
00:09:30,620 --> 00:09:32,759
ya que es el área por debajo

140
00:09:32,759 --> 00:09:33,759
de la función azul

141
00:09:33,759 --> 00:09:37,100
y

142
00:09:37,100 --> 00:09:40,100
ahora podríamos hacer

143
00:09:40,100 --> 00:09:43,200
la integral

144
00:09:43,200 --> 00:09:50,429
de g entre 0 y 2

145
00:09:50,429 --> 00:09:54,169
que me da 1,33

146
00:09:54,169 --> 00:09:56,850
lo mismo

147
00:09:56,850 --> 00:09:59,690
si la seleccionamos

148
00:09:59,690 --> 00:10:04,029
y la ponemos en rojo

149
00:10:04,029 --> 00:10:06,750
y el estilo

150
00:10:06,750 --> 00:10:09,529
rayado

151
00:10:09,529 --> 00:10:11,590
ahora podríamos poner

152
00:10:11,590 --> 00:10:16,330
135 para que se viera aquí como una cuadrícula

153
00:10:16,330 --> 00:10:18,830
eso querría decir

154
00:10:18,830 --> 00:10:23,110
vamos a quitar las etiquetas

155
00:10:23,110 --> 00:10:27,250
querría decir que la parte cuadriculada

156
00:10:27,250 --> 00:10:29,490
no es parte del área que buscamos

157
00:10:29,490 --> 00:10:32,950
la parte que buscamos es la que solamente tiene

158
00:10:32,950 --> 00:10:35,490
rayas azules

159
00:10:35,490 --> 00:10:39,570
y bueno

160
00:10:39,570 --> 00:10:42,370
esto mismo lo podríamos hacer de otra manera

161
00:10:42,370 --> 00:10:44,789
si voy a volver a copiar

162
00:10:44,789 --> 00:10:51,259
a ver

163
00:10:51,259 --> 00:10:53,600
si me deja hacerlo bien

164
00:10:53,600 --> 00:11:03,059
tardo menos en volverlo a escribir

165
00:11:03,059 --> 00:11:03,879
integral

166
00:11:03,879 --> 00:11:07,500
de f

167
00:11:07,500 --> 00:11:11,340
entre 2 y 4

168
00:11:11,340 --> 00:11:15,220
bueno, ahora da 17,33

169
00:11:15,220 --> 00:11:17,080
ahora lo voy a cambiar

170
00:11:17,080 --> 00:11:21,120
aparte de ponerlo por supuesto en azul

171
00:11:21,120 --> 00:11:23,080
le voy a poner una opacidad

172
00:11:23,080 --> 00:11:24,500
un poco mayor

173
00:11:24,500 --> 00:11:32,759
y lo vamos a dejar así

174
00:11:32,759 --> 00:11:38,110
aquí vamos a poner la integral

175
00:11:38,110 --> 00:11:42,409
de g entre 2 y 4

176
00:11:42,409 --> 00:11:49,700
que la vamos a poner en rojo

177
00:11:49,700 --> 00:11:58,269
y también con un color

178
00:11:58,269 --> 00:12:03,850
más ampliado de tal manera que nos queda como morado

179
00:12:03,850 --> 00:12:08,669
lo que nos interesaría sería la zona azul

180
00:12:08,669 --> 00:12:12,669
bueno, y ya simplemente

181
00:12:12,669 --> 00:12:15,409
el valor de la integral sería

182
00:12:15,409 --> 00:12:17,909
con las letras que hemos utilizado aquí

183
00:12:17,909 --> 00:12:24,710
a menos b más c menos d

184
00:12:24,710 --> 00:12:31,450
y el resultado sería 18,67

185
00:12:31,450 --> 00:12:34,889
es el resultado del ejercicio 2

186
00:12:34,889 --> 00:12:39,750
ahora lo vamos a hacer de otra manera

187
00:12:39,750 --> 00:12:43,570
en la vista CAS voy a escribir

188
00:12:43,570 --> 00:12:48,070
f menos y le voy a restar

189
00:12:48,070 --> 00:12:51,970
la función g

190
00:12:51,970 --> 00:12:54,309
entre 0 y 2

191
00:12:54,309 --> 00:12:58,090
que es menos x cuadrado más 2x

192
00:12:58,090 --> 00:13:16,009
Eso nos da 4x, vamos a llamar p de x a su integral, para eso escribimos dos puntos igual con objeto de que me la ponga como función, ¿de acuerdo?

193
00:13:16,009 --> 00:13:31,970
Entonces p de x en la función voy a poner dólar 5, que es la línea que quiero integrar, y el dólar significa que es dinámico, es decir, si yo cambiara el contenido de la línea 5, el contenido de la línea 6 se actualizaría.

194
00:13:31,970 --> 00:13:49,929
Bueno, pues ya tengo la función 2x cuadrado, que es la integral, y ahora, como vemos que p de 0 es 0, muy fácilmente, pues lo voy a escribir en una sola línea, p de 0, p de 2 menos p de 0.

195
00:13:49,929 --> 00:14:12,919
De acuerdo, vale 8. Ahora voy a hacer lo mismo que en la línea 5. F menos, pero ahora voy a escribir x cuadrado menos 2x. Voy a llamar q de x a la integral de la línea 8.

196
00:14:12,919 --> 00:14:49,799
Y ahora, pues sí, voy a hacer por separado Q de 4, Q de 2, ¿de acuerdo? Entonces tendríamos Q de 4 menos Q de 2, a ver, lo he hecho mal, menos Q de 2, 32 tercios.

197
00:14:49,799 --> 00:15:05,529
Y lógicamente el dólar 7 más el dólar 12 es lo que me daría 56 tercios, que es la solución.

198
00:15:06,149 --> 00:15:18,809
Si se lo hubiéramos pedido aquí desde el principio, dado que siempre va por encima, sí que me valdría hacer por encima del eje X.

199
00:15:18,809 --> 00:15:37,850
Hubiera podido poner la integral de f menos g entre 0 y 4 y GeoGebra es tan sencillo o tan listo que nos hubiera dado al 18,67 directamente, ¿de acuerdo?

200
00:15:37,850 --> 00:15:40,990
este 18,67

201
00:15:40,990 --> 00:15:43,690
pues se puede poner

202
00:15:43,690 --> 00:15:46,809
con como 56 tercios

203
00:15:46,809 --> 00:15:49,929
si nosotros ponemos texto fracción

204
00:15:49,929 --> 00:15:54,179
y

205
00:15:54,179 --> 00:15:58,600
pues nos sale el 56 tercios

206
00:15:58,600 --> 00:16:00,379
que

207
00:16:00,379 --> 00:16:04,700
podríamos poner aquí como colofón

208
00:16:04,700 --> 00:16:06,679
del área

209
00:16:06,679 --> 00:16:08,480
por cierto, podríamos editarlo

210
00:16:08,480 --> 00:16:23,100
escribiendo aquí delante, entre comillas, área igual, cierro comillas, más texto fracción, área 56 tercios.

211
00:16:23,960 --> 00:16:33,059
Y bueno, pues hemos visto un poco la vista CAS, cómo hacer integrales con el área por debajo de la curva, y ya está.