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00:00:17,579 --> 00:00:22,039
Hola, bienvenidos a un nuevo tutorial de Tutomate. Hoy vamos a hablar del máximo común divisor.

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00:00:22,579 --> 00:00:27,500
Primero, poner un ejemplo. Supongamos dos números, el 12 y el 18.

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00:00:28,679 --> 00:00:31,800
Calcularemos sus divisores. Os recuerdo un poco por encima.

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00:00:32,979 --> 00:00:39,439
Los divisores de 12 son aquellos números más pequeños o iguales que 12 que lo dividen de forma exacta.

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00:00:39,960 --> 00:00:43,700
El 1, el 2, el 3, el 4, el 6 y el 12.

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00:00:44,060 --> 00:00:46,939
De la misma manera haríamos con los divisores de 18.

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00:00:46,939 --> 00:00:53,200
Y ahora si os fijáis en los dos listados, veréis que hay números que coinciden, que están en los dos.

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00:00:53,539 --> 00:00:58,579
El 1, el 2, el 3 y el 6.

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00:00:59,740 --> 00:01:01,979
¿A qué llamamos máximo común divisor?

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00:01:02,439 --> 00:01:07,780
Pues como su propio nombre indica, al mayor de esos divisores comunes.

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00:01:08,560 --> 00:01:11,920
En nuestro ejemplo sería el 6 y lo escribimos de este modo.

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00:01:11,920 --> 00:01:23,049
El problema surge cuando nos piden calcular el máximo como un divisor de números que son mucho más grandes y que por lo tanto tienen muchos divisores.

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00:01:23,489 --> 00:01:25,909
En ese caso procedemos del siguiente modo.

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00:01:27,129 --> 00:01:30,230
Primero hacemos la descomposición factorial de esos números.

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00:01:32,829 --> 00:01:44,650
360 entre 2 daría 180, entre 2 90, entre 2 45, ya no se puede dividir entre 2 pero si entre 3, 15, entre 3 daría 5,

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00:01:45,250 --> 00:01:48,290
Y 5, como es primo entre sí mismo, daría 1.

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00:01:49,250 --> 00:01:57,290
Número 84, entre 2 daría 42, entre 2, 21, entre 3, 7, entre 7, 1.

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00:01:57,790 --> 00:02:01,209
Obtenemos así la descomposición factorial de los dos números.

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00:02:02,810 --> 00:02:09,349
El segundo paso consiste en tomar los factores comunes elevados al menor exponente.

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00:02:10,030 --> 00:02:10,590
Me explico.

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00:02:11,590 --> 00:02:19,150
Si os fijáis en la descomposición factorial, veis que tanto arriba como abajo hay potencias de base 2.

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00:02:20,270 --> 00:02:25,550
Del mismo modo, hay dos potencias de base 3, tanto arriba como abajo.

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00:02:26,349 --> 00:02:28,210
Esos van a ser los factores comunes.

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00:02:30,750 --> 00:02:35,210
También tenemos factores no comunes, que serían el 5 y el 7.

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00:02:35,210 --> 00:02:39,250
El 5 está arriba pero no está abajo y el 7 está abajo pero no arriba.

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00:02:39,250 --> 00:02:46,469
Para calcular el máximo común divisor solamente tenéis que fijaros en los factores comunes

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00:02:46,469 --> 00:02:49,509
En este caso están de color azul y rojo

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00:02:49,509 --> 00:02:55,990
De las potencias de base 2 voy a coger la que tiene el exponente más pequeño

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00:02:55,990 --> 00:02:57,629
2 elevado a 2

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00:02:57,629 --> 00:03:04,669
Y las potencias de base 3 lo mismo, el exponente más pequeño sería 3

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00:03:04,669 --> 00:03:07,430
Porque tiene exponente 1

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00:03:07,430 --> 00:03:16,150
Para terminar el ejercicio, calcularíamos esas potencias y multiplicamos para obtener el resultado.

33
00:03:16,650 --> 00:03:19,750
El máximo común divisor de estos dos números sería 12.

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00:03:27,180 --> 00:03:31,319
En este ejercicio se nos pide calcular el máximo común divisor de tres números.

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00:03:32,020 --> 00:03:33,960
Vamos a hacer como si fuesen dos.

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00:03:34,680 --> 00:03:37,520
El primer paso, descomponemos factorialmente.

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00:03:41,360 --> 00:03:44,340
40 se puede dividir entre 2, daría 20.

38
00:03:45,340 --> 00:03:47,560
Entre 2 nuevamente sería 10.

39
00:03:47,560 --> 00:04:09,960
entre 2, 5, entre 5, 1. El número 72, entre 2, 36, entre 2, 18, entre 2, 9, entre 3, 3, entre 3, 1.

40
00:04:09,960 --> 00:04:32,040
El número 300, entre 2, 150, dividido entre 2, 75, ya no se puede entre 2, pero sí entre 3, que resulta 25, entre 5, 5, y 5 como es primo entre sí mismo da 1.

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00:04:32,040 --> 00:04:54,370
40 se escribe entonces como 2 al cubo por 5, 72 como 2 al cubo por 3 al cuadrado y 300, 2 al cuadrado por 3 y por 5 al cuadrado.

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00:04:54,370 --> 00:05:16,209
Bien, para calcular el máximo común divisor de esos tres números tenemos que escoger los factores comunes elevados al menor exponente, pero mucho cuidado porque para ser un factor común tiene que aparecer en las tres descomposiciones.

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00:05:16,209 --> 00:05:18,990
Fijaros en el número 2

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00:05:18,990 --> 00:05:26,370
Aparece arriba elevado al cubo, en el medio elevado al cubo y abajo elevado al cuadrado

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00:05:26,370 --> 00:05:29,310
El número 2 será por tanto un factor común

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00:05:29,310 --> 00:05:37,310
El 3 no es un factor común porque aunque aparece en el medio y abajo no está arriba

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00:05:38,129 --> 00:05:45,230
El 5 tampoco será un factor común porque aparece arriba, aparece abajo pero no aparece en el medio

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00:05:45,930 --> 00:05:49,769
Así que, vuelvo a repetir, el único factor común será el 2.

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00:05:50,389 --> 00:05:55,550
Cogeré la potencia más pequeña, que es 2 elevado al cuadrado.

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00:05:56,730 --> 00:06:01,870
Por lo tanto, el máximo común divisor de estos tres números resulta 4.

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00:06:02,569 --> 00:06:07,389
Bien, hasta aquí el tutorial de hoy. Espero que os haya servido de ayuda y nos vemos en el siguiente.