1 00:00:04,780 --> 00:00:08,800 En este vídeo vamos a resolver un problema de movimiento armónico simple. 2 00:00:09,460 --> 00:00:12,859 Como es un problema un poco largo, lo vamos a dividir en varios vídeos. 3 00:00:13,679 --> 00:00:14,759 El problema dice así. 4 00:00:15,679 --> 00:00:18,339 Una partícula oscila con un movimiento armónico simple. 5 00:00:18,960 --> 00:00:24,219 En el instante inicial se encuentra a un tercio de la amplitud, alejándose del punto de equilibrio, 6 00:00:24,640 --> 00:00:30,019 y se observa que tarda 0,42 segundos en volver a este punto por primera vez. 7 00:00:30,019 --> 00:00:45,079 Su velocidad en valor absoluto en el punto de equilibrio es de 122 centímetros por segundo. Calcula la fase inicial, la frecuencia angular, escribe la ecuación de la elongación y represéntala gráficamente. 8 00:00:45,079 --> 00:00:48,460 Para empezar vamos a calcular la fase inicial 9 00:00:48,460 --> 00:00:53,759 Para calcular la fase inicial tenemos aquí la pista inicial 10 00:00:53,759 --> 00:01:01,840 Por lo tanto vamos a utilizar la información de que en el instante inicial se encuentra a un tercio de la amplitud 11 00:01:01,840 --> 00:01:08,799 En un movimiento armónico simple recordamos que vamos a tener una ecuación que es 12 00:01:08,799 --> 00:01:20,200 x, que es la elongación en función del tiempo, es amplitud por el coseno de la frecuencia angular por el tiempo más la fase inicial. 13 00:01:22,560 --> 00:01:28,239 Nos dicen que en el instante inicial, es decir, t igual a cero, se encuentra a un tercio de la amplitud. 14 00:01:28,879 --> 00:01:36,700 Entonces, a tercios, es decir, un tercio de la amplitud, es igual a sustituir la t por cero. 15 00:01:36,700 --> 00:01:45,379 Entonces nos queda, la a se queda igual, el coseno de omega por cero, que es cero, más phi sub cero, phi sub cero. 16 00:01:46,459 --> 00:01:55,599 O lo que es lo mismo, dividiendo, se nos va la a, simplificando, el coseno de phi sub cero tiene que ser un tercio. 17 00:01:55,599 --> 00:02:08,680 Si metemos esto en la calculadora nos va a decir que phi sub cero es igual a 0,3918 pi radianes 18 00:02:08,680 --> 00:02:14,159 Recordad que tenéis que tener la calculadora en radianes y que la calculadora os va a dar un número que no es con pi 19 00:02:14,159 --> 00:02:19,379 Dividimos entre pi y nos saldrá 0,3918 y luego le añadimos nosotros el pi 20 00:02:19,379 --> 00:02:32,139 ¿Qué ocurre? Que el coseno es una función tal que así que representa el eje x cuando cogemos un ángulo 21 00:02:32,139 --> 00:02:36,099 Si yo tengo un coseno que es un tercio, un tercio está más o menos aquí 22 00:02:36,099 --> 00:02:40,699 Pues nos va a dar, hay dos ángulos que nos pueden dar el mismo coseno 23 00:02:40,699 --> 00:02:46,340 Uno es este ángulo de aquí y otro es este ángulo de aquí 24 00:02:47,860 --> 00:02:50,759 Fijaros que la calculadora solamente nos da el ángulo positivo 25 00:02:50,759 --> 00:02:58,120 pero también tenemos que considerar si pudiese ser el ángulo negativo, con lo cual tendríamos esta y su opuesta. 26 00:02:58,780 --> 00:03:04,800 ¿Cómo vamos a distinguir cuál de estas dos es la correcta? Pues utilizando la siguiente pista. 27 00:03:05,340 --> 00:03:15,460 Nos dice que se está alejando del punto de equilibrio. Como se está alejando del punto de equilibrio, sabemos que la velocidad en el instante inicial es positiva. 28 00:03:15,460 --> 00:03:20,900 ¿Cómo calcularemos la velocidad? Derivando la ecuación de la elongación 29 00:03:20,900 --> 00:03:29,620 La velocidad en función del tiempo va a ser, para derivar, recordad, derivada de x 30 00:03:29,620 --> 00:03:32,639 La a es constante, se queda igual 31 00:03:33,759 --> 00:03:40,439 La derivada del coseno me da un signo menos y el seno de la misma cantidad 32 00:03:40,439 --> 00:03:46,770 pero como esto de aquí dentro no es únicamente una t tenemos que derivarlo también 33 00:03:46,770 --> 00:03:52,469 esta es constante y queda cero y al derivar esta nos sale una omega que se queda multiplicando fuera 34 00:03:52,469 --> 00:03:58,229 de la velocidad no nos interesa el valor porque omega no lo sabemos y a tampoco 35 00:03:58,229 --> 00:04:04,150 no lo podríamos calcular sin embargo sí que nos interesa el signo en el instante inicial 36 00:04:04,150 --> 00:04:11,569 en el instante inicial omega por t sale cero por lo tanto la velocidad en el instante inicial 37 00:04:11,569 --> 00:04:20,769 es menos a omega por el seno de phi sub cero. Si phi sub cero fuese este ángulo de aquí 38 00:04:20,769 --> 00:04:25,930 o este ángulo de aquí, tal como nos ha dicho la calculadora, tendríamos que tener en este 39 00:04:25,930 --> 00:04:31,810 caso un signo negativo en el seno. ¿Por qué? Porque la amplitud es positiva, la omega es 40 00:04:31,810 --> 00:04:36,850 positiva y aquí tenemos un signo menos. Por lo tanto, si aquí también tuviésemos un 41 00:04:36,850 --> 00:04:40,769 signo menos, menos con menos es más y nos daría positivo, que es lo que estábamos 42 00:04:40,769 --> 00:04:47,930 buscando. ¿Cuál de estos dos ángulos, el positivo o el negativo, tiene un seno que es negativo? Podemos 43 00:04:47,930 --> 00:04:52,490 meterlo en la calculadora y veremos que es el negativo pero también podemos mirar la circunferencia 44 00:04:52,490 --> 00:04:57,949 de aquí, el seno, recordamos que es la parte vertical, en este caso tendríamos una parte 45 00:04:57,949 --> 00:05:03,569 vertical positiva y en este caso tendríamos una parte vertical negativa, por lo tanto el que 46 00:05:03,569 --> 00:05:09,850 queremos coger es el negativo. Tenemos que descartar el positivo y la fase inicial es 47 00:05:09,850 --> 00:05:27,019 menos 0,392 por pi radianes. Sigamos calculando ahora la frecuencia angular. Para calcular 48 00:05:27,019 --> 00:05:33,560 la frecuencia angular que recordamos que es omega necesitamos el tiempo. ¿Por qué necesitamos 49 00:05:33,560 --> 00:05:38,439 el tiempo? Porque omega está relacionada si recordáis con el periodo. Sin embargo 50 00:05:38,439 --> 00:05:45,759 este valor que nos dan aquí este 0 42 segundos no es el periodo es el tiempo que tarda en volver al 51 00:05:45,759 --> 00:05:57,439 mismo punto por primera vez veamos esto si yo tengo mi muelle y ahora mismo estamos aquí por 52 00:05:57,439 --> 00:06:04,439 ejemplo este es el punto de equilibrio y esto repetido tres veces esto sería la amplitud el 53 00:06:04,439 --> 00:06:12,379 periodo sería el tiempo que tardaría en ir hasta la amplitud volver hasta la amplitud negativa y 54 00:06:12,379 --> 00:06:18,100 volver otra vez hasta llegar al mismo punto eso sería el periodo pero nos dicen por primera vez 55 00:06:18,100 --> 00:06:24,240 fijémonos que cuando me voy hasta la amplitud y vuelvo y llego hasta aquí ya he vuelto a pasar 56 00:06:24,240 --> 00:06:30,560 por este punto por primera vez significa esa vez que pasa pero yendo hacia la izquierda cuando pasa 57 00:06:30,560 --> 00:07:00,459 pero yendo hacia la izquierda es decir con velocidad negativa significa que es este ángulo positivo que antes hemos descartado es decir primero estaba en esta posición ha ido hacia allá es decir ha llegado aquí y cuando ha llegado aquí ha vuelto a ir hacia atrás hasta este punto si miramos los ángulos el ángulo ha ido girando hacia allá aquí ha llegado a la amplitud y ha seguido girando y aquí es la primera vez que vuelve a pasar por el mismo punto 58 00:07:00,560 --> 00:07:23,860 Por lo tanto, el interior del coseno va a valer esta phi sub cero que hemos descartado antes positiva, es decir, omega por t más phi sub cero va a ser más 0,3918 por pi, cuando esta t sea 0,42. 59 00:07:23,860 --> 00:07:35,100 Podemos despejar omega y veremos que esta phi pasa restando pero al ser negativa es como sumar y como es el mismo valor es lo mismo que multiplicar por 2 60 00:07:35,100 --> 00:07:45,920 2 por 0,3918pi entre t que es 0,42 61 00:07:45,920 --> 00:08:09,480 El resultado de esta omega es 1,866 pi radianes segundo, por lo tanto omega valdrá 1,877 pi radianes por segundo. 62 00:08:22,480 --> 00:08:29,019 Ya hemos calculado la frecuencia angular y la fase inicial, que las tenemos del vídeo anterior. 63 00:08:29,019 --> 00:08:35,320 Vamos ahora a calcular la amplitud, que es lo único que nos falta para poder escribir la ecuación de la elongación 64 00:08:35,320 --> 00:08:46,879 La ecuación de la elongación es x en función del tiempo es igual a a, que es la amplitud, por el coseno de omega t más phi sub cero 65 00:08:46,879 --> 00:08:54,379 Efectivamente omega y phi sub cero ya los tenemos, t es la variable, por lo tanto nos falta solamente a 66 00:08:54,379 --> 00:09:04,860 ¿Cómo calcularemos a? Pues bien, utilizaremos que en el punto de equilibrio su velocidad en valor absoluto es de 122 centímetros por segundo. 67 00:09:06,159 --> 00:09:17,490 Recordemos que punto de equilibrio significa x igual a 0. 68 00:09:17,570 --> 00:09:22,309 x igual a 0 supone que como a no puede ser 0, este coseno sea 0. 69 00:09:22,309 --> 00:09:40,129 Si recordamos la relación fundamental de la trigonometría, coseno cuadrado de phi más seno cuadrado de phi igual 1, el coseno cuadrado de phi es 0 cuando el seno al cuadrado, y por lo tanto el seno, es 1. 70 00:09:40,129 --> 00:09:45,570 ¿Qué tiene esto que ver? Pues bien, si derivamos la posición nos sale la velocidad 71 00:09:45,570 --> 00:09:51,529 velocidad en función del tiempo es, ya lo hemos derivado en el vídeo anterior 72 00:09:51,529 --> 00:09:57,710 menos a omega seno de omega t más phi sub cero 73 00:09:57,710 --> 00:10:02,470 y nos están diciendo que cuando el coseno es cero, es decir, cuando x es cero 74 00:10:02,470 --> 00:10:07,789 es decir, en la posición de equilibrio, este seno de aquí es o uno o menos uno 75 00:10:07,789 --> 00:10:15,009 porque tenemos el cuadrado. Es decir, nos cancelaría este signo menos. En valor absoluto nos está diciendo que cuando x es 0 76 00:10:15,009 --> 00:10:28,139 estamos en el punto de velocidad máxima. Punto de velocidad máxima significa que 122 es la velocidad máxima, 122 centímetros por segundo. 77 00:10:29,039 --> 00:10:36,960 Esto de aquí se corresponde con la velocidad máxima. En valor absoluto le quitamos el signo menos y el seno como máximo puede valer 1. 78 00:10:36,960 --> 00:10:46,279 Por lo tanto, para calcular la amplitud utilizaremos 122 centímetros por segundo es igual a A por omega que tenemos aquí calculada. 79 00:10:47,139 --> 00:11:02,220 Si hacemos este cálculo, velocidad máxima es igual a A por omega, nos sale que la amplitud es 20,8 centímetros. 80 00:11:02,220 --> 00:11:07,679 ahora que tenemos la amplitud podemos simplemente sustituir en la ecuación del movimiento 81 00:11:07,679 --> 00:11:14,580 y tendremos que x en función del tiempo es 0,208 para que esté en metros 82 00:11:14,580 --> 00:11:31,340 por el coseno de omega 1,87 pi t más la fase inicial que como es negativa pues menos 0,392 pi 83 00:11:31,340 --> 00:11:42,220 y esto está en unidades del sistema internacional y esta sería la ecuación de la elongación o ecuación del movimiento 84 00:11:42,220 --> 00:11:52,000 ¿Cómo la representamos? Pues bien, como es un coseno, sabemos que va a tener un punto máximo y un punto mínimo 85 00:11:52,000 --> 00:11:55,919 y que va a oscilar entre este punto máximo y este punto mínimo 86 00:11:55,919 --> 00:12:02,240 Podemos ver que esta línea del centro es lo que llamamos el eje X, donde pintamos el tiempo 87 00:12:02,559 --> 00:12:11,340 La gráfica siempre va a tener una forma senoidal o cosenoidal, es decir, una onda entre una y la otra 88 00:12:11,340 --> 00:12:19,240 pintamos a continuación de un máximo al siguiente máximo un periodo 89 00:12:19,240 --> 00:12:25,600 ¿cuánto vale el periodo? pues tenemos que recordar que el periodo es 2pi dividido entre omega 90 00:12:25,600 --> 00:12:34,720 como tenemos aquí omega calculamos cuánto vale el periodo y sale 1,07 segundos 91 00:12:34,720 --> 00:12:39,259 con lo cual este tiempo es 1,07 segundos 92 00:12:39,259 --> 00:12:42,799 lo que nos falta es colocar donde estaría el eje Y 93 00:12:42,799 --> 00:12:57,799 Es decir, dónde empieza esta gráfica. Podemos hacerlo de varias maneras. Una forma es recordando que este signo menos lo que hace es desplazarnos la gráfica hacia la derecha con respecto del coseno o lo que es lo mismo, el eje hacia la izquierda. 94 00:12:58,659 --> 00:13:03,320 Pero como no sabemos cuánto lo desplaza, es muy difícil aplicar este método. 95 00:13:03,320 --> 00:13:10,860 otro método sería sustituir la T por 0 y calcularse cuánto vale la elongación 96 00:13:10,860 --> 00:13:14,419 veríamos que queda a un tercio de la amplitud 97 00:13:14,419 --> 00:13:21,159 el tercer método es volver a leer el enunciado donde nos dice que inicialmente se encuentra a un tercio de la amplitud 98 00:13:21,159 --> 00:13:24,000 y además nos dice que se está alejando del punto de equilibrio 99 00:13:24,000 --> 00:13:29,440 eso nos ayudará a decidir si lo colocamos aquí que es un tercio de la amplitud 100 00:13:29,440 --> 00:13:32,580 o aquí que también es un tercio de la amplitud 101 00:13:32,580 --> 00:13:36,220 pero observamos que en este punto se aleja del punto de equilibrio 102 00:13:36,220 --> 00:13:39,460 mientras que en este punto se acerca al punto de equilibrio 103 00:13:39,460 --> 00:13:43,659 por lo tanto empezaremos en este punto de aquí 104 00:13:43,659 --> 00:13:46,740 haremos el eje un poco más grande que las líneas de la amplitud 105 00:13:46,740 --> 00:13:59,879 esto será x y la amplitud está en 0,208 metros y menos 0,208 metros 106 00:13:59,879 --> 00:14:04,460 Y ya tendríamos nuestra ecuación de la elongación y nuestra gráfica.