1 00:00:00,560 --> 00:00:07,440 Hola, en este vídeo resolveré el problema de la convocatoria ordinaria de la PAU del año 2023 del bloque de estadística. 2 00:00:09,509 --> 00:00:17,949 El problema nos indica que el 65% de los universitarios de 18 años que intenta superar el examen práctico de conducirlo consiguen la primera. 3 00:00:18,690 --> 00:00:24,649 Luego nos dice que se escogen al hacer 10 universitarios de 18 años que sí han superado el examen práctico. 4 00:00:24,649 --> 00:00:35,049 En primer lugar, se pide cuál es la probabilidad de que exactamente tres de ellos necesitaran más de un intento para superar el examen práctico. 5 00:00:36,229 --> 00:00:53,270 Como nos está preguntando sobre las personas que han necesitado más de un intento, vamos a considerar éxito a que el universitario escogido al azar ha superado el examen práctico en más de un intento. 6 00:00:53,270 --> 00:01:20,439 práctico es más de un intento. Y la variable aleatoria discreta, x, va a ser el número 7 00:01:20,439 --> 00:01:35,590 de universitarios de entre los 10 elegidos, entre los 10 seleccionados, que necesitaron 8 00:01:35,590 --> 00:01:53,709 más de un intento para superar el examen, para aprobar. En estas condiciones tenemos 9 00:01:53,709 --> 00:02:12,469 Obviamente una distribución binomial de parámetros n igual a 10 y la probabilidad de éxito, es decir, que necesitará más de un examen, puesto que nos dice que el 65% lo superó a la primera, pues el 35% son los que necesitaron presentarse más de una vez. 10 00:02:12,469 --> 00:02:24,770 por tanto llamaremos P a 0.35, probabilidad de éxito, y la variable va a ser una binomial de parámetros NP, 10, 0.35. 11 00:02:25,669 --> 00:02:32,610 El apartado A entonces nos pide que la probabilidad de que entre estos 10 seleccionados al azar, 3 de ellos necesitarán más de un examen, 12 00:02:32,610 --> 00:02:48,469 Es decir, que exactamente 3 de ellos, es decir, x igual a 3, aplicando la fórmula de la binomial, 10 sobre 3 multiplicado por p elevado a 3 multiplicado por q elevado a 10 menos 3 es 7. 13 00:02:48,469 --> 00:03:01,949 Y haciendo estos cálculos, el resultado es 0,2522. Como en el apartado nos están pidiendo una probabilidad, pues la solución va a ser precisamente ese número. 14 00:03:06,740 --> 00:03:15,120 En el apartado B nos pregunta cuál es la probabilidad de que alguno de ellos, es decir, al menos uno, haya necesitado más de un intento. 15 00:03:15,819 --> 00:03:21,340 O lo que es lo mismo, la probabilidad de X mayor o igual que uno. 16 00:03:23,000 --> 00:03:24,979 Al menos uno. Uno o más de uno. 17 00:03:26,139 --> 00:03:28,159 Es más sencillo hacerlo por el suceso contrario. 18 00:03:28,900 --> 00:03:32,539 Lo contrario de mayor o igual que uno es menor que uno, o lo que es lo mismo, cero. 19 00:03:32,539 --> 00:03:52,139 Y nuevamente aplicando la fórmula de la binomial, 10 sobre 0 por 0.35 elevado a 0 por 0.65 elevado a 10, esto es 1, esto también, es decir, 1 menos 0.65 elevado a 10. 20 00:03:52,139 --> 00:04:07,439 El resultado de este cálculo es 0,9865. Nos pide una probabilidad, por tanto, el resultado sería este mismo. 21 00:04:07,439 --> 00:04:26,720 En el apartado C nos pide que aproximemos la distribución por una normal y determinar la probabilidad de que, dados 60 de estos universitarios, n igual 60, como mínimo la mitad superase el examen práctico de conducir a la primera. 22 00:04:26,720 --> 00:04:58,920 Es decir, que ahora nos está preguntando sobre cuáles son los que lo han superado a la primera. Por tanto, vamos a considerar éxito ahora superarlo a la primera. Es decir, que ahora P va a ser 0,65 y Q 0,35, N es 60. Así que ahora tenemos una binomial X, va a ser una binomial 60, 0,65. 23 00:04:58,920 --> 00:05:02,160 vamos a aproximar por una normal 24 00:05:02,160 --> 00:05:03,199 primero vamos a comprobar 25 00:05:03,199 --> 00:05:05,300 aunque no lo pide el ejercicio explícitamente 26 00:05:05,300 --> 00:05:06,100 lo vamos a comprobar 27 00:05:06,100 --> 00:05:09,519 que tanto n por p como n por q son mayores que 5 28 00:05:09,519 --> 00:05:10,060 y por tanto 29 00:05:10,060 --> 00:05:13,519 la aproximación por la normal 30 00:05:13,519 --> 00:05:14,759 me da un buen resultado 31 00:05:14,759 --> 00:05:17,759 60 multiplicado por 0 32 00:05:17,759 --> 00:05:19,839 65 da 39 33 00:05:19,839 --> 00:05:21,360 que evidentemente es mayor que 5 34 00:05:21,360 --> 00:05:22,600 y n por q 35 00:05:22,600 --> 00:05:25,439 también, 60 por 0 es 35 36 00:05:25,439 --> 00:05:27,180 da 21 37 00:05:27,180 --> 00:05:28,300 que también es mayor que 5 38 00:05:28,300 --> 00:05:42,639 Así que la aproximación va a ser buena. Los parámetros de esta distribución van a ser la media NP, que ya lo hemos calculado, 39, y la desviación típica raíz cuadrada de NPQ, que nos da como resultado 3,6946. 39 00:05:42,639 --> 00:05:51,279 Por tanto, vamos a aproximar esta variable aleatoria discreta X, binomial 60, 0,65, por una variable aleatoria continua. 40 00:05:53,360 --> 00:06:00,139 Distribución normal de parámetros media, 39. Desviación típica, 3,6946. 41 00:06:04,579 --> 00:06:13,500 Nos está pidiendo la probabilidad de que, dado 60, como mínimo la mitad, es decir, más, al menos la mitad, que son de 60, que son 30. 42 00:06:13,500 --> 00:06:20,319 es decir, nos está pidiendo la probabilidad de que el número de universitarios que han superado el examen en la primera sea mayor o igual que 30. 43 00:06:22,910 --> 00:06:34,449 Al hacer el ajuste para hacer la aproximación a variable continua, puesto que el intervalo es cerrado, estamos hablando de 30 o más, 44 00:06:35,589 --> 00:06:41,689 hay que hacer el intervalo más grande para hacer el ajuste a continua, lo aumentamos en media unidad, 45 00:06:41,689 --> 00:06:48,259 por tanto nos tenemos que ir a x' 46 00:06:48,620 --> 00:06:51,399 la variable normal va a ser mayor o igual que 29,5 47 00:06:51,399 --> 00:06:56,240 vamos a tipificar la variable usando el siguiente cambio de variable 48 00:06:56,240 --> 00:07:00,480 x menos mu partido sigma, siendo mu y sigma los valores indicados 49 00:07:00,480 --> 00:07:03,800 y de esta forma z ya va a ser una distribución normal 50 00:07:03,800 --> 00:07:08,480 de parámetro 0,1 y por tanto podemos bujar el cálculo 51 00:07:08,480 --> 00:07:09,660 de la probabilidad en la tabla 52 00:07:09,660 --> 00:07:30,720 Entonces, si restamos mu 39 y dividimos entre la desviación típica a ambos lados, x' menos mu partido de sigma me quedaría, si restamos mu y dividimos entre sigma, aquí nos queda z, y aquí me queda 29,5 menos la media partido de la desviación típica. 53 00:07:34,420 --> 00:07:41,680 Ese cálculo redondeado con dos cifras decimales, que son los valores que tenemos en la tabla, la distribución normal, 54 00:07:42,319 --> 00:07:50,899 nos da como resultado menos 2,57, y lo que nos están pidiendo, lo que queremos averiguar es cuál es la probabilidad de que Z sea, 55 00:07:51,259 --> 00:07:58,639 si es la distribución normal 0, 1 está centrada en 0, un valor negativo, menos 2,57, probabilidad de mayor, que sería este área de aquí, 56 00:07:58,639 --> 00:08:12,639 que debido a que la curva normal es simétrica, esa probabilidad va a ser exactamente la misma que si nos vamos al mismo valor positivo, 2,57, pero hacia la izquierda. 57 00:08:13,100 --> 00:08:23,339 Es decir, esta probabilidad de Z mayor o igual que menos 2,57 es exactamente la misma que la probabilidad de Z menor que 2,57. 58 00:08:23,339 --> 00:08:45,909 El resultado que directamente viene en la tabla de la distribución normal, 2,57, que sería este valor de aquí, 0,9949, puesto que el ejercicio no está pidiendo determinada probabilidad directamente. 59 00:08:45,909 --> 00:09:01,889 Este es el resultado del ejercicio. La probabilidad de que como mínimo 30 o más hayan superado el examen de la primera sería 0,2949. Con esto damos por finalizado la resolución del ejercicio.