1
00:00:05,320 --> 00:00:20,960
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

2
00:00:20,960 --> 00:00:25,559
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

3
00:00:25,559 --> 00:00:29,839
de la unidad FU2 dedicada a las funciones elementales y definidas a trozos.

4
00:00:31,760 --> 00:00:39,340
En la videoclase de hoy estudiaremos las funciones lineales.

5
00:00:40,820 --> 00:00:52,109
En esta videoclase vamos a estudiar las funciones lineales, que como podemos ver son aquellas

6
00:00:52,109 --> 00:00:57,909
cuya expresión algebraica es un polinomio de primer grado y que habitualmente se suele representar

7
00:00:57,909 --> 00:01:03,530
y igual a m por x más n. m, el coeficiente principal, distinto de cero, puesto que si no,

8
00:01:03,929 --> 00:01:07,689
nos encontraríamos con una función constante como las que hemos visto en la videoclase anterior.

9
00:01:08,870 --> 00:01:13,409
Al coeficiente principal m, el coeficiente que va con la x, se le llama pendiente.

10
00:01:14,049 --> 00:01:17,109
Y al término independiente se le llama ordenada en el origen.

11
00:01:17,989 --> 00:01:22,790
Esta es la ecuación explícita de una recta con la y despejada.

12
00:01:23,269 --> 00:01:26,109
No es la única forma de expresar la ecuación de una línea recta,

13
00:01:26,469 --> 00:01:29,909
sino que hay otras dos que quisiera ver con vosotros que también son importantes.

14
00:01:30,609 --> 00:01:34,290
En primer lugar, si conocemos dos puntos por los cuales pasa la recta,

15
00:01:34,489 --> 00:01:39,269
x1 y 1 y x2 y 2, podemos escribir la ecuación de la recta que pasa por dos puntos,

16
00:01:39,349 --> 00:01:43,629
de la siguiente manera, y menos y1 dividido entre x menos x1,

17
00:01:43,629 --> 00:01:51,329
este y y este x son la variable dependiente e independiente, igual a y2 menos y1 dividido entre

18
00:01:51,329 --> 00:01:57,549
x2 menos x1. Para que esta definición tenga sentido, necesariamente x2 y x1 tienen que ser

19
00:01:57,549 --> 00:02:02,450
diferentes para que no estemos dividiendo entre cero. Así pues, la recta no puede ser vertical

20
00:02:02,450 --> 00:02:08,389
y los dos puntos no pueden ser el mismo. Este cociente que tenemos aquí, y2 menos y1 dividido

21
00:02:08,389 --> 00:02:16,289
entre x2 menos x1 se corresponde con la pendiente de la recta. En cuanto a si conociéramos cuáles

22
00:02:16,289 --> 00:02:20,849
son los puntos de corte con el eje de las x y el eje de las y, la abstisa del punto de corte con

23
00:02:20,849 --> 00:02:26,210
el eje de las x y la ordenada del punto de corte con el eje de las y, podríamos expresar la ecuación

24
00:02:26,210 --> 00:02:33,629
de la recta directamente de esta manera y entre y0 más x entre x0 igual a 1, siendo y0 y x0 la

25
00:02:33,629 --> 00:02:38,729
abscisa del punto de corte con el eje de las y y la ordenada del punto de corte con el eje de las x.

26
00:02:40,009 --> 00:02:44,750
Expresemos como expresemos la ecuación de la recta, todas ellas van a tener como representación

27
00:02:44,750 --> 00:02:49,789
gráfica una recta oblicua, no una recta vertical, no una recta horizontal. En el caso de la recta

28
00:02:49,789 --> 00:02:54,389
vertical no es una función y en el caso de la recta horizontal se trata de una función constante,

29
00:02:54,530 --> 00:03:00,250
como las que hemos visto en la videoclase anterior. En cuanto a las características más importantes,

30
00:03:00,250 --> 00:03:06,090
como vemos aquí, su dominio va a ser toda la recta real, como corresponde a una función polinómica,

31
00:03:06,389 --> 00:03:11,909
su imagen también va a ser toda la recta real. Los puntos de corte con el eje de las x y de las y

32
00:03:11,909 --> 00:03:18,569
se corresponden con las abstizas que se calculan x igual a menos n partido por m, y igual a n,

33
00:03:19,250 --> 00:03:24,870
en vano al coeficiente n se llama ordenada en el origen, se corresponde con la ordenada del punto

34
00:03:24,870 --> 00:03:30,990
de corte con el eje de las i. En cuanto a la monotonía, dependiendo del valor de la pendiente,

35
00:03:31,129 --> 00:03:35,349
si es positiva va a ser una función monótona creciente, si es negativa va a ser una función

36
00:03:35,349 --> 00:03:41,009
monótona decreciente. No tiene extremos relativos. Al tratarse de la gráfica de una línea recta no

37
00:03:41,009 --> 00:03:45,509
tiene curvatura definida, no tiene puntos de inflexión, no tiene asíntotas, son funciones

38
00:03:45,509 --> 00:03:49,770
continuas en toda la recta real, en todo su dominio, como corresponde a funciones polinómicas,

39
00:03:49,770 --> 00:03:54,129
y no tiene simetría definida tan solo si n es igual a cero,

40
00:03:54,750 --> 00:03:57,750
será una función simétrica con respecto al origen de coordenadas.

41
00:03:57,930 --> 00:03:59,490
Va a ser una función con simetría impar.

42
00:04:01,259 --> 00:04:05,460
Aquí tenemos un par de ejemplos donde eso nos pide que estudiemos y representemos

43
00:04:05,460 --> 00:04:11,240
las funciones adx igual a 3x menos 2 y bdx igual a menos 2x más 1.

44
00:04:12,139 --> 00:04:15,879
A la hora de representar gráficamente una recta tenemos distintas opciones.

45
00:04:16,319 --> 00:04:19,980
La primera y más sencilla tal vez sea hacer una tabla de valores.

46
00:04:20,540 --> 00:04:28,920
Por ejemplo, si damos en la función adx a x el valor 0 y sustituimos, vemos que el valor de la ordenada que le corresponde es 3 por 0 menos 2 igual a menos 2.

47
00:04:28,920 --> 00:04:31,740
Así que esta recta pasa por el punto 0 menos 2.

48
00:04:32,160 --> 00:04:38,600
Si damos a la x el valor 1, pues la ordenada que le corresponde es 3 por 1 menos 2, 3 menos 2 igual a 1.

49
00:04:39,139 --> 00:04:42,620
Así que esta recta pasa por el punto 1, 1.

50
00:04:43,480 --> 00:04:46,620
Podríamos pintar esos dos puntos y trazar la línea recta que pasa por ellos.

51
00:04:47,160 --> 00:04:56,019
Una segunda opción, también muy sencilla, corresponde con echar un vistazo a cuáles son los valores de la ordenada en el origen de la pendiente y utilizarlos.

52
00:04:56,680 --> 00:05:03,980
Por ejemplo, en el caso de la función a, vemos que la ordenada al origen es menos 2, así que corta al eje de las i es a la altura del menos 2.

53
00:05:04,079 --> 00:05:06,800
Pasa por el punto 0 menos 2, como habíamos visto anteriormente, por cierto.

54
00:05:07,319 --> 00:05:13,180
En cuanto al valor de la pendiente que sea 3, lo que quiere decir es que a partir de cualquier punto de la recta,

55
00:05:13,180 --> 00:05:21,980
Si nos desplazamos una unidad hacia la derecha, la ordenada se corresponderá con tantas unidades hacia arriba o hacia abajo como nos indique la pendiente.

56
00:05:22,100 --> 00:05:24,160
Hacia arriba si es positiva, hacia abajo si es negativa.

57
00:05:25,000 --> 00:05:32,300
En este caso, partiendo del punto 0 menos 2, que es lo que nos dice la ordenada en el origen, dado que la pendiente es más 3,

58
00:05:32,899 --> 00:05:38,120
si nos desplazamos una unidad hacia la derecha, la función tomará un valor 3 unidades por encima.

59
00:05:38,120 --> 00:05:43,899
Así que a partir de aquí, 1, 2, 3, vemos que la función pasa por el punto 1, 1.

60
00:05:44,399 --> 00:05:53,459
Si a partir de aquí nos desplazamos una unidad hacia la derecha, la función tomará un valor 3 unidades por encima, 1, 2, 3, vemos que pasa por el punto 2, 4.

61
00:05:54,319 --> 00:06:07,100
Igualmente si hacemos el movimiento en sentido inverso hacia atrás, si nos movemos hacia atrás una unidad, lo que tenemos que hacer ahora es ir hacia abajo 3 unidades, 1, 2, 3, pasa por el punto menos 1, menos 5.

62
00:06:07,519 --> 00:06:12,560
Vemos que no es necesario hacer ningún cálculo, sencillamente con poder contar tenemos más que suficiente.

63
00:06:12,720 --> 00:06:17,779
En este caso tenemos una rejilla cuadriculada y es más sencillo. En cualquier caso podemos dibujarla nosotros.

64
00:06:19,079 --> 00:06:21,819
En el caso de la función b de x, algo similar.

65
00:06:22,879 --> 00:06:28,779
Vemos que la ordenada al origen es 1, así que corta el eje de las i a la altura del 1, pasa por el punto 0, 1.

66
00:06:29,459 --> 00:06:35,660
Vemos que la pendiente es menos 2, así que cada unidad que nos desplacemos hacia la derecha, la función se encuentra dos unidades hacia abajo.

67
00:06:35,660 --> 00:06:45,839
Así que en este caso la función b de x pasa por el punto 1 menos 1, una unidad hacia la derecha, dos unidades hacia abajo, también pasa por el punto 2 menos 3 y así sucesivamente.

68
00:06:46,959 --> 00:06:56,420
En cuanto a las características más importantes, bien, en el caso de la función a, su dominio es toda la recta real, su imagen es toda la recta real, como corresponde a las funciones lineales.

69
00:06:57,100 --> 00:07:02,540
Los puntos de corte con los ejes se pueden determinar o bien gráficamente o bien analíticamente.

70
00:07:03,060 --> 00:07:09,079
En lo que respecta al punto de corte con el eje de las y es el punto 0 menos 2 nos lo indica la ordenada en el origen.

71
00:07:09,519 --> 00:07:19,000
Y en cuanto al punto de corte con el eje de las x, que la abstisa sea 2 tercios, se puede determinar sin más que igualar 3x menos 2 igual a 0 y de ahí despejar x.

72
00:07:19,160 --> 00:07:20,500
Obtenemos el valor 2 tercios.

73
00:07:21,180 --> 00:07:30,319
Puesto que la pendiente es positiva, o bien porque lo estamos viendo, esta función va a ser creciente en todo su dominio, en toda la recta real, y por supuesto va a ser una función continua en todo su dominio.

74
00:07:31,220 --> 00:07:36,319
En lo que respecta a la función b, su dominio y su imagen son todo el conjunto de los números reales.

75
00:07:37,019 --> 00:07:42,379
Los puntos de corte con los ejes igualmente los podemos determinar o bien a partir de la gráfica o bien analíticamente.

76
00:07:42,379 --> 00:07:50,579
Evidentemente, el punto de corte con el eje de las y es, lo leemos en la ordenada en el origen, vemos un 1, así que corta el eje de las y es en el punto 0, 1.

77
00:07:51,120 --> 00:07:56,639
Y en cuanto al punto de corte con el eje de las x, lo podemos determinar igualando menos 2x más 1 a 0.

78
00:07:57,199 --> 00:08:03,420
Si despejamos x obtenemos el valor 1 medio, de tal forma que corta al eje de las x en el punto 1 medio, 0.

79
00:08:04,199 --> 00:08:07,899
Siendo una función lineal, va a ser continua en toda la recta real.

80
00:08:07,899 --> 00:08:17,899
Y en cuanto a la monotonía, puesto que la pendiente es negativa, o bien porque lo estamos viendo en la representación gráfica, esta función va a ser decreciente en toda la recta real, en todo su dominio.

81
00:08:19,339 --> 00:08:27,459
Igualmente, si se nos pidiera que realizáramos el ejercicio inverso y a partir de la representación gráfica determináramos cuál es la expresión algebraica que le corresponde,

82
00:08:28,199 --> 00:08:35,179
no tenemos más que mirar cuál es el corte con el eje de las i. Eso nos va a indicar cuál es la ordenada en el origen.

83
00:08:35,179 --> 00:08:39,039
Aquí vemos que corta al eje de las y es en menos 2, así que n es menos 2.

84
00:08:39,539 --> 00:08:43,080
Aquí vemos que corta a la altura del 1, así que n vale 1.

85
00:08:43,700 --> 00:08:47,100
Y en cuanto a cómo determinar la pendiente, una posibilidad es,

86
00:08:47,539 --> 00:08:50,240
si a partir de este punto me desplazo una unidad hacia la derecha,

87
00:08:50,700 --> 00:08:53,460
¿dónde encuentro la función? ¿Hacia arriba o hacia abajo?

88
00:08:54,100 --> 00:08:58,159
Si es hacia abajo la pendiente será negativa, si es hacia arriba la pendiente será positiva.

89
00:08:58,519 --> 00:09:02,860
Y en cuanto al valor se corresponde con cuántas unidades tengo que desplazarme para encontrar la función.

90
00:09:03,580 --> 00:09:07,340
Si desde este punto de corte con el eje de las íes me muevo una unidad hacia la derecha,

91
00:09:07,960 --> 00:09:13,600
veo que tengo que subir una, dos, tres unidades para encontrar la función, así que la pendiente va a ser tres.

92
00:09:14,100 --> 00:09:18,960
Voy a corroborarlo. Si desde este punto me muevo una unidad hacia la derecha para encontrarme la función,

93
00:09:19,120 --> 00:09:22,539
veo que tengo que subir una, dos, tres unidades. La pendiente vale tres.

94
00:09:23,179 --> 00:09:29,200
En este caso, algo similar. Si a partir del punto de corte con el eje de las íes me desplazo una unidad hacia la derecha,

95
00:09:29,200 --> 00:09:34,559
veo que tengo que bajar la pendiente, la va a ser negativa, una, dos unidades. Bien, pues la pendiente es menos dos.

96
00:09:35,159 --> 00:09:40,539
Si lo quiero corroborar, vuelvo a repetir la operación. Me desplazo una unidad hacia la derecha desde este punto,

97
00:09:40,659 --> 00:09:44,539
veo que tengo que bajar dos unidades para encontrarme la función, la pendiente es menos dos.

98
00:09:45,200 --> 00:09:52,000
Otra posibilidad sería determinar dos puntos cualesquiera de la recta y utilizar la ecuación punto pendiente

99
00:09:52,000 --> 00:09:54,820
que habíamos visto anteriormente para determinar cuál es la ecuación.

100
00:09:54,820 --> 00:10:01,059
Tal vez sea más sencillo utilizar la ordenada en el origen y determinar la pendiente contando.

101
00:10:04,159 --> 00:10:09,379
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

102
00:10:10,120 --> 00:10:14,220
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

103
00:10:15,059 --> 00:10:19,799
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

104
00:10:20,340 --> 00:10:21,740
Un saludo y hasta pronto.