1 00:00:00,000 --> 00:00:10,000 Buenos días a todos. En este ejemplo de programación lineal vamos a resolver un ejercicio en el que se pide calcular el máximo y el mínimo de una función objetiva 2 00:00:10,000 --> 00:00:16,000 sujeto a una serie de restricciones. Estas restricciones van a determinar un recinto no acotado. 3 00:00:16,000 --> 00:00:23,000 Y vamos a ver cómo se resuelve. En primer lugar, lo que vamos a hacer es representar las restricciones. 4 00:00:23,000 --> 00:00:29,000 Las restricciones que tenemos son estas que aparecen en el enunciado 2X más Y mayor o igual que 300, 5 00:00:29,000 --> 00:00:35,000 2X más 3Y mayor o igual que 600, X mayor o igual que 0, Y mayor o igual que 0. 6 00:00:35,000 --> 00:00:42,000 En este ejercicio recordemos que se trata de calcular el máximo y el mínimo de esta función objetivo sujeta a estas restricciones. 7 00:00:43,000 --> 00:00:49,000 Representamos en primer lugar la primera restricción. Cogemos y igualamos 2X más Y igual a 300. 8 00:00:49,000 --> 00:00:55,000 Despejamos la Y. Y igual a 300 menos 2X. Y esta es la que tenemos que representar. 9 00:00:55,000 --> 00:01:02,000 Vamos a ir a los puntos de corte. Para X igual a 0, Y igual a 300 menos 2 por 0, que es 300. 10 00:01:02,000 --> 00:01:09,000 Luego obtenemos el punto 0,300. Es decir, corta al eje Y en el punto 0,300. 11 00:01:09,000 --> 00:01:15,000 El corte con el eje X se calcula de la siguiente manera. Igualamos Y a 0. 300 menos 2X sería 0. 12 00:01:15,000 --> 00:01:22,000 Despejamos la X. Y la X vale 150. Luego el punto de corte con el eje X sería 150, 0. 13 00:01:22,000 --> 00:01:26,000 A continuación vamos a hacer lo mismo con las siguientes restricciones. 14 00:01:26,000 --> 00:01:32,000 Nos ocupamos de la segunda restricción. Recordad que esta es la segunda restricción, 2X más 3Y mayor o igual que 600. 15 00:01:33,000 --> 00:01:38,000 Y lo que hacemos es igualar. Para X igual, resolvemos los puntos de corte. 16 00:01:38,000 --> 00:01:44,000 Para X igual a 0, 3Y igual a 600. Luego despejamos la Y. Y igual a 200. 17 00:01:44,000 --> 00:01:51,000 El punto de corte con el eje Y sería 0,200. Si la Y vale 0, 2X igual a 600. 18 00:01:51,000 --> 00:01:55,000 La X igual a 300. Y entonces obtenemos el punto 0,300. 19 00:01:55,000 --> 00:02:00,000 Este es el punto de corte con el eje X. 20 00:02:00,000 --> 00:02:07,000 Vamos a representar la siguiente restricción. Sería X mayor o igual a 0. 21 00:02:07,000 --> 00:02:10,000 Y la última sería Y mayor o igual a 0. 22 00:02:10,000 --> 00:02:12,000 Vamos a representar la primera y la segunda restricción. 23 00:02:12,000 --> 00:02:17,000 La primera restricción pasa por el punto 0,300. 0,300 es este punto. 24 00:02:17,000 --> 00:02:22,000 Pasa por el punto 150, 0. Se trata de una recta. 25 00:02:22,000 --> 00:02:24,000 Esta recta que vemos por aquí. 26 00:02:24,000 --> 00:02:29,000 Tomamos un punto, en este caso el 0,0. Y sustituimos en la inequación. 27 00:02:29,000 --> 00:02:34,000 2X0 más 0, 0. ¿0 es mayor o igual que 300? No. 28 00:02:34,000 --> 00:02:39,000 Pues entonces será de aquí para acá. Puesto que el 0,0 se encontraba en el otro lado. 29 00:02:41,000 --> 00:02:43,000 Nos ocupamos ahora de la segunda restricción. 30 00:02:43,000 --> 00:02:50,000 La segunda restricción la habíamos resuelto y pasaba por el punto 0,200 y por el punto 300,0. 31 00:02:50,000 --> 00:02:54,000 Se trata de esta recta que aparece aquí. 32 00:02:54,000 --> 00:02:58,000 Cogemos el punto 0,0 y sustituimos en la inequación. 33 00:02:58,000 --> 00:03:03,000 2X0, 0 más 3X0, 0. ¿0 es mayor o igual que 600? No. 34 00:03:03,000 --> 00:03:06,000 Por lo tanto sería de aquí para acá. 35 00:03:06,000 --> 00:03:09,000 La tercera restricción era X mayor o igual que 0. 36 00:03:09,000 --> 00:03:11,000 Esta es la recta X igual a 0. 37 00:03:11,000 --> 00:03:14,000 X mayor o igual que 0 sería para acá. 38 00:03:14,000 --> 00:03:16,000 Y la recta Y igual a 0 es esta. 39 00:03:16,000 --> 00:03:18,000 Y mayor o igual que 0 sería para acá. 40 00:03:18,000 --> 00:03:25,000 Si tenemos en cuenta todas estas restricciones tenemos este recinto que observamos que es un recinto no acotado. 41 00:03:25,000 --> 00:03:30,000 Ahora a continuación lo que tenemos que hacer en la siguiente pantalla es calcular los vértices. 42 00:03:30,000 --> 00:03:32,000 ¿Cómo se calculan los vértices? 43 00:03:32,000 --> 00:03:36,000 Pues hay vértices que se pueden observar muy fácilmente. 44 00:03:36,000 --> 00:03:42,000 El 0,300 y el 300,0 salen de observar el dibujo anterior. 45 00:03:42,000 --> 00:03:44,000 Fijémonos. 46 00:03:44,000 --> 00:03:51,000 0,300, 300,0 y nos faltará este vértice que es el que tenemos que calcular. 47 00:03:51,000 --> 00:03:59,000 En realidad los vértices que tenemos que determinar son este, este y este. 48 00:03:59,000 --> 00:04:03,000 Que le vamos a llamar A, B y C. 49 00:04:03,000 --> 00:04:05,000 ¿De acuerdo? 50 00:04:05,000 --> 00:04:07,000 Entonces vamos a determinarlo. 51 00:04:07,000 --> 00:04:10,000 El A es 0,300, sale del dibujo. 52 00:04:10,000 --> 00:04:12,000 El C es 300,0. 53 00:04:12,000 --> 00:04:15,000 Y el B se calcula haciendo la intersección de las dos primeras restricciones. 54 00:04:15,000 --> 00:04:22,000 2X más Y igual a 300. 55 00:04:22,000 --> 00:04:29,000 Y 2X más 3Y igual a 600. 56 00:04:29,000 --> 00:04:33,000 Multiplicamos por menos uno. 57 00:04:33,000 --> 00:04:36,000 Sería menos 2X menos Y menos 300. 58 00:04:36,000 --> 00:04:38,000 2X más 3Y igual a 600. 59 00:04:38,000 --> 00:04:40,000 Multiplicamos por menos uno la primera ecuación para aplicar reducción. 60 00:04:40,000 --> 00:04:42,000 Esto hace que las X se vayan. 61 00:04:42,000 --> 00:04:44,000 Las Y quedarían 2Y. 62 00:04:44,000 --> 00:04:46,000 Y aquí quedaría 300. 63 00:04:46,000 --> 00:04:48,000 Despejamos la Y y la Y vale 150. 64 00:04:48,000 --> 00:04:50,000 Esta 150 la vamos a poner en la primera ecuación. 65 00:04:50,000 --> 00:04:54,000 2X más 150 igual a 300. 66 00:04:54,000 --> 00:04:56,000 2X igual a 300 menos 150. 67 00:04:56,000 --> 00:04:58,000 2X igual a 150. 68 00:04:58,000 --> 00:05:00,000 Y X igual a 75. 69 00:05:00,000 --> 00:05:06,000 Luego el punto B, vértice, que nos faltaba por calcular, es el 75,150. 70 00:05:06,000 --> 00:05:10,000 Pues ya tenemos determinados los 3 vértices A, B y C. 71 00:05:10,000 --> 00:05:12,000 ¿Qué es lo que vamos a hacer ahora? 72 00:05:12,000 --> 00:05:16,000 Vamos a representar la función objetivo dándole valores. 73 00:05:16,000 --> 00:05:20,000 La función objetivo, recordar que era 3X más 4Y. 74 00:05:20,000 --> 00:05:22,000 Esta era la función objetivo. 75 00:05:22,000 --> 00:05:24,000 Vamos a igualar en primer lugar a cero. 76 00:05:24,000 --> 00:05:26,000 A continuación a uno. 77 00:05:26,000 --> 00:05:30,000 Y vamos a ver la dirección que toman las rectas de nivel. 78 00:05:30,000 --> 00:05:32,000 3X más 4Y igual a cero. 79 00:05:32,000 --> 00:05:34,000 4Y igual a menos 3X. 80 00:05:34,000 --> 00:05:36,000 Y igual a menos tres cuartos de X. 81 00:05:36,000 --> 00:05:39,000 Si damos a X el valor cero, la Y vale cero. 82 00:05:39,000 --> 00:05:43,000 Si damos a X el valor cuatro, la Y igual a menos tres. 83 00:05:43,000 --> 00:05:45,000 Hemos dado valores que sean fáciles de calcular. 84 00:05:45,000 --> 00:05:51,000 En este caso hemos cogido el cuatro para que no nos salgan fracciones. 85 00:05:51,000 --> 00:05:57,000 Entonces esta recta sería el 00, pasa por el 00, pasa por el 4 menos 3. 86 00:05:57,000 --> 00:06:02,000 Esta de aquí es la recta 3X más 4Y igual a cero. 87 00:06:02,000 --> 00:06:06,000 Vamos a representar ahora 3X más 4Y igual a uno. 88 00:06:06,000 --> 00:06:07,000 Despejamos la Y. 89 00:06:07,000 --> 00:06:09,000 4Y igual a uno menos 3X. 90 00:06:09,000 --> 00:06:11,000 Y igual a uno menos 3X partido de cuatro. 91 00:06:11,000 --> 00:06:14,000 Si la X vale cero, la Y vale un cuarto. 92 00:06:14,000 --> 00:06:17,000 Si la X vale uno, Y igual a menos un cuarto. 93 00:06:17,000 --> 00:06:20,000 En este caso podríamos haber dado otros valores para que fuera más fácil. 94 00:06:20,000 --> 00:06:22,000 Pero bueno, tampoco es muy difícil. 95 00:06:22,000 --> 00:06:25,000 El punto cero un cuarto sería este punto de aquí. 96 00:06:26,000 --> 00:06:30,000 El punto uno menos un cuarto sería este punto de aquí. 97 00:06:30,000 --> 00:06:33,000 Sale una recta que es paralela a la anterior. 98 00:06:33,000 --> 00:06:37,000 Es decir, si vamos aumentando, vamos pasando de cero a uno, 99 00:06:37,000 --> 00:06:41,000 vamos aumentando, las rectas de nivel se van moviendo hacia acá. 100 00:06:41,000 --> 00:06:44,000 Esta recta sería una recta paralela a las anteriores 101 00:06:44,000 --> 00:06:51,000 y correspondería al valor 3X más 4Y igual a dos. 102 00:06:51,000 --> 00:06:54,000 Así iríamos dibujando todas las rectas de nivel. 103 00:06:54,000 --> 00:06:57,000 Esto que nos indica que la dirección de movimiento de la función adjetiva es esta. 104 00:06:57,000 --> 00:07:01,000 Y la primera vez que toque determinará el mínimo. 105 00:07:01,000 --> 00:07:05,000 Y lo que sucederá es que esta función no tendrá máximo 106 00:07:05,000 --> 00:07:08,000 porque el recinto no está acotado superiormente. 107 00:07:08,000 --> 00:07:10,000 Vamos a determinar el mínimo. 108 00:07:10,000 --> 00:07:13,000 Parece, por la forma que tiene, que se va a alcanzar en B. 109 00:07:13,000 --> 00:07:14,000 Pero tenemos que comprobarlo. 110 00:07:14,000 --> 00:07:18,000 Lo que vamos a hacer es sustituir cada uno de los vértices de la función adjetiva 111 00:07:18,000 --> 00:07:22,000 y nos quedaremos con el menor de ellos. 112 00:07:22,000 --> 00:07:24,000 Pues, esto es lo que comentamos aquí. 113 00:07:24,000 --> 00:07:28,000 Viendo lo anterior, la función adjetiva alcanza el mínimo pero no tiene máximo. 114 00:07:28,000 --> 00:07:32,000 El mínimo se va a alcanzar en un vértice y parece que se alcanzará en B. 115 00:07:32,000 --> 00:07:34,000 Pero vamos a comprobarlo, ¿no? 116 00:07:34,000 --> 00:07:36,000 Se alcanzará en B pero vamos a comprobarlo. 117 00:07:36,000 --> 00:07:42,000 Bien, pues, esta es la función adjetiva 3X más 4Y. 118 00:07:42,000 --> 00:07:44,000 Vamos a sustituir en cada uno de los vértices. 119 00:07:44,000 --> 00:07:46,000 El vértice A era 0, 300. 120 00:07:46,000 --> 00:07:48,000 Sustituimos la X por 0, la Y por 300. 121 00:07:48,000 --> 00:07:51,000 Sería 3 por 0 más 4 por 300, 1200. 122 00:07:51,000 --> 00:07:53,000 El vértice B sería 75, 150. 123 00:07:53,000 --> 00:07:58,000 Si sustituyo la X por 75, sería 3 por 75 más 4 por 150. 124 00:07:58,000 --> 00:08:01,000 Da 3 por 75, 225. 125 00:08:01,000 --> 00:08:04,000 4 por 125, 600. En total, 825. 126 00:08:04,000 --> 00:08:07,000 Sustituimos ahora por el último vértice, 300, 0. 127 00:08:07,000 --> 00:08:11,000 Sería 3 por 300 más 4 por 0. En total, 900. 128 00:08:11,000 --> 00:08:18,000 Si vemos los tres valores, 1200, 825 y 900, el mínimo valor se alcanza en el vértice B 129 00:08:18,000 --> 00:08:20,000 que sería 75, 150. 130 00:08:20,000 --> 00:08:28,000 Por lo tanto, este ejercicio de programación lineal tiene mínimo que se alcanza en B, 75, 150, 131 00:08:28,000 --> 00:08:30,000 pero no tiene máximo. 132 00:08:30,000 --> 00:08:39,000 Bueno, espero que os sirva este vídeo para resolver ejercicios de programación lineal de recintos no acotados.