1
00:00:00,500 --> 00:00:04,299
Buenas, comenzamos ya con el último ejercicio, el ejercicio 4. Este ejercicio se tiene que hacer bastante rápido.

2
00:00:04,799 --> 00:00:09,140
Cuando nos piden una potencia alta, como en este caso de una matriz, lo que tenemos que buscar es un patrón.

3
00:00:09,539 --> 00:00:14,500
Entonces nosotros lo que siempre vamos a empezar es hallando las distintas potencias.

4
00:00:14,619 --> 00:00:16,699
En este caso el a cuadrado, sabemos que es a por a.

5
00:00:17,620 --> 00:00:25,600
Resulta que si yo multiplico esta matriz por sí misma, 5 por menos 4, 6 menos 5, voy a hacer paso por paso,

6
00:00:25,600 --> 00:00:46,500
Esto sería 5 por 5 más menos 4 por 6. El otro elemento sería 5 por menos 4 más menos 4 por menos 5. Esto de aquí sería 6 por 5 más menos 5 por 6 y este de aquí es 6 por menos 4 más menos 5 por menos 5.

7
00:00:47,439 --> 00:01:02,560
¿Y esto qué ocurre? Pues que resulta que todo esto de aquí es, por 5, 25, menos 24 es 1, 5 por menos 4 es menos 20, menos 4 por menos 5 es más 20, esto es un 0, 6 por 5, 30, menos 5 por 6 es menos 30, por lo tanto esto es un 0, y esto es menos 24 más 25 es 1.

8
00:01:02,799 --> 00:01:05,180
Resulta que tenemos la matriz identidad de orden 2.

9
00:01:05,439 --> 00:01:09,780
¿Qué ocurriría ahora? Que si yo me voy al cubo, pues sería a cuadrado por a.

10
00:01:09,780 --> 00:01:14,040
Como las potencias de matrices sí que conmutan, esto también es lo mismo que a por a cuadrado.

11
00:01:14,219 --> 00:01:18,939
Es el único caso donde se cumple la propiedad conmutativa de las matrices sí o sí.

12
00:01:19,219 --> 00:01:25,379
Entonces resulta que si yo tengo la matriz identidad por a, pues esto es otra vez la matriz a.

13
00:01:25,620 --> 00:01:29,739
Si yo me voy a la cuarta, pues de hecho que a la cuarta podemos hacerlo de dos formas.

14
00:01:30,079 --> 00:01:33,719
O a cuadrado por a, por a cubo por a, o a cuadrado por a cuadrado, como queramos.

15
00:01:33,840 --> 00:01:39,299
De hecho si yo hago a cubo por a, a cubo era a por a, y fijaros que esto es a cuadrado, pero a cuadrado que era.

16
00:01:39,299 --> 00:01:44,879
la identidad o si yo lo hago lo voy a hacer en otro color vale al cuadrado por al cuadrado pues

17
00:01:44,879 --> 00:01:50,040
al cuadrado era la matriz identidad por la matriz identidad esto es y al cuadrado que es también la

18
00:01:50,040 --> 00:01:56,739
matriz identidad con lo cual estamos detectando que cuando n es par si n es par a su n es igual

19
00:01:56,739 --> 00:02:04,140
a la matriz identidad pero si n es impar a su n es a esto realmente cómo se pone pues cuando a

20
00:02:04,140 --> 00:02:10,659
a elevado a 2k, que es un número par, a elevado a 2k más 1 es un número impar. Esto es la matriz identidad y esto es la matriz A.

21
00:02:10,800 --> 00:02:15,379
Por lo cual, como 255 es impar, pues podemos decir que a elevado a 255 es igual a A.

22
00:02:15,780 --> 00:02:21,419
Pero tenemos que poner todo esto de aquí. ¿Cómo se hace mejor? Pues si yo detecto el patrón, resulta que yo divido 155 entre 2,

23
00:02:21,780 --> 00:02:26,840
porque en el 2 ya tengo la matriz identidad y resulta que esto es 127 y me sobra 1.

24
00:02:26,840 --> 00:02:34,280
¿Qué ocurre? Que a elevado a 255, eso es lo mismo que a elevado a 2 por 127 más 1.

25
00:02:34,659 --> 00:02:42,120
Y si recordamos las propiedades de las potencias, pues cuando yo sumo exponentes es porque realmente estoy multiplicando potencias con la misma base.

26
00:02:42,259 --> 00:02:48,580
Y esto es igual a a elevado a 2 por 127 por, y aquí es muy importante, es un por, por a elevado a 1.

27
00:02:48,719 --> 00:02:52,120
Cuando yo multiplico potencias de la misma base, se suman los exponentes y obtengo esto de aquí.

28
00:02:52,120 --> 00:02:57,000
¿Y qué ocurre cuando yo tengo potencia de potencia? Que se multiplican los exponentes.

29
00:02:57,120 --> 00:03:00,719
Y yo lo que sé, que aquí ha habido un error bastante grande, yo aquí lo que sé es cuánto vale a al cuadrado.

30
00:03:00,800 --> 00:03:05,300
Yo no sé cuánto vale 127. Esto es verdad que puede ser a elevado a 127 al cuadrado,

31
00:03:05,400 --> 00:03:08,879
pero yo no sé cuánto vale a elevado a 127. Lo que yo sí sé es lo que vale al cuadrado.

32
00:03:08,879 --> 00:03:13,500
Y esto lo multiplico por a. ¿Y qué ocurre? Que a al cuadrado nos daba la matriz identidad.

33
00:03:13,840 --> 00:03:17,960
Y esto es la matriz identidad elevado a 127 por a. ¿Y qué ocurre con la matriz identidad?

34
00:03:18,120 --> 00:03:21,659
Que cualquier potencia de la matriz identidad es igual también a la matriz identidad.

35
00:03:22,120 --> 00:03:26,520
Y entonces lo multiplicamos por A y cualquier matriz multiplicada por la matriz de identidad es A.

36
00:03:26,659 --> 00:03:31,960
Y así demostraríamos que A elevado a 255 es igual a la matriz A.