1
00:00:12,339 --> 00:00:17,780
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

2
00:00:17,780 --> 00:00:22,679
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

3
00:00:22,679 --> 00:00:34,310
de la unidad AN5 dedicada a las integrales. En la videoclase de hoy estudiaremos la integral

4
00:00:34,310 --> 00:00:51,409
definida de Dagbu. En esta videoclase vamos a estudiar la integral definida. No existe una

5
00:00:51,409 --> 00:00:57,670
única forma de definir esta integral. Existen distintos autores y comúnmente se asocia a Riemann

6
00:00:57,670 --> 00:01:03,990
la definición de esta integral definida. Y entonces vamos a comenzar o comienzo la exposición con la

7
00:01:03,990 --> 00:01:09,609
integral de Riemann, como podéis ver aquí. Tanto en esta diapositiva como en la siguiente tenéis el

8
00:01:09,609 --> 00:01:14,989
desarrollo teórico, así como en los apuntes que están en el aula virtual. No obstante, quisiera

9
00:01:14,989 --> 00:01:20,370
señalar que aunque comúnmente se habla de integral de Riemann, en este nivel de bachillerato la

10
00:01:20,370 --> 00:01:26,930
integral que se utiliza no es precisamente esta de Riemann, sino la integral de Daub. Y esta es la

11
00:01:26,930 --> 00:01:32,450
que voy a describir en esta videoclase. No voy a utilizar, no me voy a apoyar esta vez en este

12
00:01:32,450 --> 00:01:37,890
desarrollo matemático que tenéis aquí en esta diapositiva y en los apuntes de la ola virtual,

13
00:01:38,469 --> 00:01:43,209
sino que me voy a apoyar en un caso particular, en un caso muy concreto, en un ejemplo que voy

14
00:01:43,209 --> 00:01:49,950
a desarrollar con GeoGebra. La integral definida da respuesta a lo que se conoce como el problema

15
00:01:49,950 --> 00:01:54,590
del área. Supongamos que tenemos la representación gráfica de una cierta función real de variable

16
00:01:54,590 --> 00:02:01,189
real f, como esta que tenemos aquí, y queremos calcular el área de la superficie limitada por

17
00:02:01,189 --> 00:02:06,849
la gráfica de la función, el eje de las x y dos rectas verticales que se corresponden en este caso

18
00:02:06,849 --> 00:02:12,770
con las abscisas x igual a menos 2 a la izquierda y x igual a 7 por la derecha. A este área se le

19
00:02:12,770 --> 00:02:18,490
llama área subtendida por la función, puesto que se encuentra por debajo y limitada con el eje de

20
00:02:18,490 --> 00:02:26,729
las X. Nosotros podemos determinar el área de un cuadrado, de un rectángulo, de un triángulo,

21
00:02:27,150 --> 00:02:31,830
de un polígono regular, de un polígono que no sea regular, ese tipo de figuras. Y aquí nos

22
00:02:31,830 --> 00:02:37,610
encontramos con el problema de que esta figura tiene un límite que no es recto, es curvado. En

23
00:02:37,610 --> 00:02:43,050
el caso de figuras con límites curvos podemos calcular el área de un círculo y de otras que

24
00:02:43,050 --> 00:02:48,650
se relacionan con estos, como podría ser un sector circular, una corona circular, etcétera.

25
00:02:49,189 --> 00:02:55,930
Pero no tenemos ahora mismo con los elementos de la geometría básicos forma de calcular el área

26
00:02:55,930 --> 00:03:04,509
de esta figura que tiene este extremo superior curvado. La idea de la integral definida lo que

27
00:03:04,509 --> 00:03:12,069
hace es, bueno, no puedo calcular a lo mejor este área directamente con una fórmula, pero sí puedo

28
00:03:12,069 --> 00:03:18,909
buscar una forma de, utilizando cuerpos geométricos sencillos que van a ser rectángulos, ir encontrando

29
00:03:18,909 --> 00:03:25,689
aproximaciones sucesivas cada vez mejores a cuál será el área de este cuerpo, de

30
00:03:25,689 --> 00:03:28,389
esta superficie.

31
00:03:28,389 --> 00:03:32,330
Lo que vamos a hacer, para empezar, es el desarrollo que corresponda a lo que vamos

32
00:03:32,330 --> 00:03:37,870
a llamar dentro de un momento suma inferior y la idea es la siguiente. Voy a ver si pudiera

33
00:03:37,870 --> 00:03:42,729
encontrar un rectángulo, un único rectángulo, cuya área sea calcular longitud de la base

34
00:03:42,729 --> 00:03:49,289
por longitud de la altura, que sea seguro de menor área que la que estoy buscando,

35
00:03:49,449 --> 00:03:52,430
que sea una cota inferior al área que estoy buscando.

36
00:03:53,349 --> 00:03:55,069
Puedo hacerlo de la siguiente manera.

37
00:03:55,409 --> 00:04:01,030
Voy a tomar como base del rectángulo el segmento que va desde el menos 2 hasta el 7,

38
00:04:01,250 --> 00:04:04,330
las dos abstizas que me estaban limitando el área, si recordáis.

39
00:04:04,949 --> 00:04:10,270
Y como altura, puesto que estoy intentando que el área que estoy determinando sea menor que el área real,

40
00:04:10,270 --> 00:04:15,289
voy a tomar el menor valor de la función dentro del intervalo que va de menos 2 a 7

41
00:04:15,289 --> 00:04:18,829
y que en este caso se corresponde con el valor x igual a menos 2.

42
00:04:19,470 --> 00:04:24,790
Este rectángulo que tengo aquí tiene un área que se calcula longitud de la base por longitud de la altura

43
00:04:24,790 --> 00:04:30,810
igual a 5,112 unidades al cuadrado, depende de cuáles sean las unidades de x y de y,

44
00:04:30,810 --> 00:04:35,629
y el área de este rectángulo es seguro menor que el área que estoy buscando,

45
00:04:35,629 --> 00:04:41,329
que se corresponde con ese rectángulo más este trozo que estoy marcando con el ratón

46
00:04:41,329 --> 00:04:43,949
y que no estoy contabilizando todavía.

47
00:04:44,829 --> 00:04:51,829
Es una aproximación. El área que estoy buscando es mayor o igual que 5,112 unidades al cuadrado.

48
00:04:52,209 --> 00:04:55,250
Una aproximación muy burda, como podéis apreciar.

49
00:04:55,750 --> 00:04:59,529
Pero es una aproximación. El área que estoy buscando es mayor o igual que esta.

50
00:05:00,470 --> 00:05:02,730
¿Puedo encontrar una aproximación que sea mejor?

51
00:05:02,730 --> 00:05:07,410
si, en lugar de tomar un único rectángulo, tomara, por ejemplo, dos.

52
00:05:07,709 --> 00:05:13,410
Voy a dividir este segmento a la mitad y voy a construir dos rectángulos, como podéis ver.

53
00:05:14,589 --> 00:05:17,370
Divido en dos mitades iguales.

54
00:05:18,149 --> 00:05:23,529
Tengo dos rectángulos con base, primero, esta longitud y el segundo con esta otra longitud.

55
00:05:24,410 --> 00:05:28,730
Y, puesto que quiero hacer una aproximación inferior, estoy determinando una cota inferior,

56
00:05:28,730 --> 00:05:34,910
lo que voy a hacer es, dentro de cada uno de estos segmentos, buscar cuál es la menor altura de la función.

57
00:05:35,730 --> 00:05:37,410
En este caso sigue siendo este valor.

58
00:05:38,170 --> 00:05:45,189
En el caso del segundo rectángulo, si yo veo las alturas de la función en ese intervalo, el menor valor es este que tengo aquí.

59
00:05:45,829 --> 00:05:48,129
Y ahora ya no tengo un único rectángulo, tengo dos.

60
00:05:49,009 --> 00:05:56,569
Voy a calcular o voy a determinar esa cota inferior al área que estoy buscando como la suma de las áreas de este primer rectángulo

61
00:05:56,569 --> 00:06:03,089
con la base que va desde este punto a este punto y con altura la que corresponde a la altura de la función aquí

62
00:06:03,089 --> 00:06:08,509
y este segundo rectángulo con base que sería la longitud que va desde este punto hasta este punto

63
00:06:08,509 --> 00:06:12,410
y longitud de la altura pues la que corresponde a este valor de aquí.

64
00:06:12,910 --> 00:06:18,269
La suma de estas dos áreas ahora resulta ser 10,742.

65
00:06:18,990 --> 00:06:25,310
Sigue siendo una aproximación, una cota inferior, una aproximación por abajo al área que yo estoy buscando.

66
00:06:25,310 --> 00:06:30,569
Es menos burda que la anterior, puesto que, bueno, se aproxima un poquito mejor.

67
00:06:30,949 --> 00:06:37,370
Aún así, sigo teniendo todo este trozo y todo este trozo de aquí que no estoy teniendo en consideración.

68
00:06:38,170 --> 00:06:44,129
Sí tengo un poco en cuenta la forma de la función, mejor que antes, pero todavía no es una buena aproximación.

69
00:06:44,990 --> 00:06:48,850
Podría afinarlo un poco más si en lugar de poner dos intervalos pusiera tres.

70
00:06:49,990 --> 00:06:53,490
O incluso cuatro, o incluso cinco, o incluso seis.

71
00:06:54,269 --> 00:07:03,490
Fijaos lo que estoy haciendo. Estoy subdividiendo el intervalo en el que yo estoy interesado, el que va de menos 2 a 7, con una partición.

72
00:07:04,189 --> 00:07:09,449
Lo estoy partiendo, en este caso, en seis segmentos iguales, uno a continuación del otro.

73
00:07:10,829 --> 00:07:19,930
En la partición, lo que estoy considerando es las alturas dentro de cada uno de estos segmentos en los que he dividido el segmento inicial.

74
00:07:19,930 --> 00:07:23,189
Estoy buscando cuál es la altura de la función mínima.

75
00:07:23,490 --> 00:07:33,069
En este caso sería este punto de aquí, en el intervalo siguiente que va de aquí a aquí sería este, en el siguiente que va de aquí a aquí sería este, así hasta llegar al último,

76
00:07:33,709 --> 00:07:37,990
en cuyo caso, pues estoy viendo que la altura menor de la función se corresponde a esta que tengo aquí.

77
00:07:38,370 --> 00:07:49,149
Voy a multiplicar longitud de base por altura de, en este caso, los seis rectángulos y sumarlo, y veo que obtengo como valor de esa suma inferior 13,705.

78
00:07:49,149 --> 00:07:56,589
El área que estoy buscando es mayor o igual que 13,705 y es un valor aproximado por abajo.

79
00:07:57,069 --> 00:07:58,769
El valor real será mayor o igual que este.

80
00:07:59,910 --> 00:08:06,329
La aproximación es mejor que las anteriores, puesto que lo que no estoy contando, el área que no estoy contando,

81
00:08:06,850 --> 00:08:14,250
que sería de esta parte en blanco y que se encuentra inmediatamente por debajo de la función y hasta llegar a los rectángulos, va siendo cada vez menor.

82
00:08:14,250 --> 00:08:28,399
Si vuelvo hacia atrás, en el caso en el que tenía un único intervalo, me estaba perdiendo todo el área de esta superficie al considerar la siguiente partición con dos intervalos.

83
00:08:28,399 --> 00:08:37,480
Si os habéis dado cuenta, este trozo ya lo estoy contando y el área que no estoy considerando es solamente este trozo y este de aquí, más pequeño que el anterior.

84
00:08:37,480 --> 00:08:54,299
Cuando en lugar de dos intervalos tengo tres, la aproximación es mejor, cada vez es mejor, y si vais viendo, los rectángulos, conforme voy añadiendo cada vez más, van cubriendo cada vez más el área que yo estoy intentando localizar.

85
00:08:54,299 --> 00:08:57,779
En este caso vamos a llegar hasta 20, por ejemplo.

86
00:08:59,799 --> 00:09:07,080
Podemos ver cómo tengo 20 rectángulos, todos en este caso he decidido que tengan la misma longitud en la base,

87
00:09:07,200 --> 00:09:13,120
así que estoy dividiendo el intervalo que va de menos 2 a 7 en 20 intervalos iguales, uno a continuación del otro.

88
00:09:13,799 --> 00:09:19,539
Dentro del cambio de intervalo busco cuál es el mínimo valor de la función y lo que hago es construir los rectángulos de esta manera.

89
00:09:20,299 --> 00:09:24,200
Calculo el área de cada uno de ellos como longitud de la base por longitud de la altura.

90
00:09:24,299 --> 00:09:30,399
que se corresponde con ese mínimo valor de la función, sumo todos estos rectángulos, el área de todos estos rectángulos,

91
00:09:30,500 --> 00:09:36,899
y en este caso esa suma inferior, porque me da una cota por abajo, es igual a 15,381.

92
00:09:36,899 --> 00:09:45,799
Y si os fijáis, este área sigue siendo menor que la que yo deseo, porque sigo dejándome estas ahora muy pequeñitas áreas,

93
00:09:46,059 --> 00:09:51,240
20 pero muy pequeñitas, encima de los rectángulos hasta alcanzar el valor de la función.

94
00:09:51,240 --> 00:09:57,440
Fijaos que aquí la aproximación es bastante buena, pero aquí por ejemplo es peor que en otros casos.

95
00:09:58,019 --> 00:10:03,580
Tal vez la mejor aproximación sea aquí desde luego, a continuación sea un poco mejor, esta sea peor, esta es mejor.

96
00:10:04,799 --> 00:10:14,940
Si hago cada vez más intervalos podéis ir viendo como el valor de la suma inferior va aumentando.

97
00:10:15,759 --> 00:10:21,639
Cada vez me iré aproximando más al valor real del área que yo quiero encontrar.

98
00:10:22,539 --> 00:10:26,960
Cada vez estos espacios en blanco por encima de los rectángulos van a ser más pequeños.

99
00:10:27,860 --> 00:10:34,200
Y lo que yo me pregunto es, ¿qué ocurrirá en el límite en el que n tiende a infinito?

100
00:10:34,200 --> 00:10:39,000
¿Qué ocurre cuando estos intervalos, el número de intervalos, es cada vez mayor?

101
00:10:39,000 --> 00:10:54,799
Pues si llego hasta 100, 80, 90, vamos a ver qué ocurre cuando llego a 100, por ejemplo, fijaos en que los huequitos que yo estoy considerando son muy pequeños.

102
00:10:54,919 --> 00:11:02,480
Aquí se aprecian un poco, aquí no se pueden apreciar, también porque el grosor con el que estoy representando la función tapa todo.

103
00:11:02,919 --> 00:11:08,720
Pero fijaos que conforme ha ido aumentando el número de intervalos, el valor de la suma inferior ha ido creciendo.

104
00:11:08,720 --> 00:11:13,279
La idea es que cada vez me voy aproximando más al valor real.

105
00:11:13,480 --> 00:11:17,399
Pero, una vez más, ¿qué ocurre en el límite cuando n tiende a infinito?

106
00:11:17,980 --> 00:11:21,500
Conforme n crece, el valor es mejor, pero ¿y en el límite?

107
00:11:24,480 --> 00:11:29,360
Podríamos hacer lo mismo, pero en lugar de tomar los valores más pequeños, tomar los valores mayores.

108
00:11:29,519 --> 00:11:33,059
En ese caso, estaríamos definiendo la suma superior.

109
00:11:33,279 --> 00:11:35,100
Vamos a repetir el mismo proceso.

110
00:11:35,100 --> 00:11:41,159
Vamos a intentar aproximar el área que estamos intentando determinar utilizando rectángulos,

111
00:11:41,360 --> 00:11:46,460
pero en este caso lo que queremos es que el área que obtengamos sea una cota superior.

112
00:11:46,700 --> 00:11:49,919
Queremos que el área sea mayor que aquella que queremos determinar.

113
00:11:50,620 --> 00:11:55,259
Vamos a operar de la misma manera, vamos a calcular el área aproximándola con rectángulos

114
00:11:55,259 --> 00:11:59,740
y en este caso lo que vamos a hacer es empezar con un único rectángulo que tenga como base

115
00:11:59,740 --> 00:12:03,340
la longitud del segmento en el que estamos intentando calcular el área,

116
00:12:03,340 --> 00:12:08,399
subtendida por la función y como queremos tener una cota superior lo que vamos a hacer es tomar

117
00:12:08,399 --> 00:12:13,360
como altura el mayor valor de la función dentro de ese intervalo que se corresponde con este punto

118
00:12:13,360 --> 00:12:19,419
de aquí. El área de este rectángulo multiplicando la longitud de esta base por la longitud de la

119
00:12:19,419 --> 00:12:23,799
altura que se corresponde con el máximo valor de la función en el intervalo es en este caso

120
00:12:23,799 --> 00:12:31,759
24,075 unidades al cuadrado, insisto, dependiendo de las unidades de x y de y. Esto me permite

121
00:12:31,759 --> 00:12:38,740
asegurar que el área que estoy buscando es menor o igual que 24,075 unidades al cuadrado.

122
00:12:39,139 --> 00:12:40,279
Se trata de una cota superior.

123
00:12:41,399 --> 00:12:47,080
Esta aproximación, igual que pasaba con la primera aproximación de la suma inferior, es muy burda.

124
00:12:47,500 --> 00:12:55,360
Estoy contando como parte del área este trozo bastante grande y este otro trocito pequeño que tengo aquí a la izquierda y a la derecha.

125
00:12:56,120 --> 00:13:03,399
¿Cómo podría hacer lo mismo una gota superior con rectángulos, pero que sea un poco más aproximada?

126
00:13:03,559 --> 00:13:08,179
Pues igual que antes, en lugar de tomar un intervalo, un rectángulo, vamos a tomar dos.

127
00:13:08,879 --> 00:13:13,700
Voy a partir el intervalo en dos partes iguales, estoy haciendo una partición con dos intervalos.

128
00:13:14,519 --> 00:13:20,340
Voy a considerar dos rectángulos, cada uno de ellos con longitud de base la que corresponda a la mitad del segmento inicial.

129
00:13:20,340 --> 00:13:26,320
y con altura el menor, perdón, en este caso el mayor valor de la función dentro del intervalo.

130
00:13:26,659 --> 00:13:29,240
Aquí seguirá siendo este punto, el máximo de la función,

131
00:13:29,940 --> 00:13:33,019
y dentro de este intervalo el máximo valor sería este que tengo aquí.

132
00:13:33,799 --> 00:13:39,019
Y ahora voy a tomar como aproximación la suma del área de este rectángulo y de este otro.

133
00:13:39,019 --> 00:13:43,279
Y si os dais cuenta, ahora es menor porque este trozo que antes había contabilizado,

134
00:13:43,639 --> 00:13:47,019
cuando tenía solo un rectángulo, ahora ya no lo estoy contabilizando.

135
00:13:47,019 --> 00:14:01,419
Y ahora ya no tengo una aproximación de 24 aproximadamente unidades al cuadrado, sino de 21. Es una mejor aproximación. Sigue siendo un exceso con respecto al área que yo quiero determinar, pero es mejor.

136
00:14:02,100 --> 00:14:15,360
Igual que antes cuando hablaba de las sumas inferiores, una forma de encontrar cada vez una mejor aproximación consiste en hacer una partición con cada vez más intervalos, lo que equivale a decir a tomar cada vez más rectángulos.

137
00:14:15,860 --> 00:14:21,220
Vamos a incrementar el número de rectángulos. Tenemos 2, 3, 4, 5, 6.

138
00:14:22,240 --> 00:14:29,600
Fijaos como ahora, evidentemente, el área sigue siendo en exceso, la de los rectángulos en exceso, con respecto a la de la función,

139
00:14:30,299 --> 00:14:38,440
pero ahora el exceso, que sería este trocito de la parte de arriba de estos rectángulos, cada vez va siendo menor, cada vez la aproximación va siendo mejor.

140
00:14:38,440 --> 00:14:47,299
Y el área propuesta va disminuyendo. Ya tengo una cota superior que sería 18, aproximadamente 18 unidades al cuadrado.

141
00:14:48,039 --> 00:14:52,960
Igualmente, me pregunto, ¿qué es lo que ocurre conforme aumento el número de rectángulos?

142
00:14:53,480 --> 00:14:58,960
Estoy viendo como la aproximación es cada vez mejor. Voy a llegar a 20, igual que antes.

143
00:14:59,659 --> 00:15:07,039
Ahora tengo 20 rectángulos. El área de estos 20 rectángulos, determinados, como he dicho anteriormente, es excesiva.

144
00:15:07,039 --> 00:15:16,340
tengo estos trocitos que tengo de área computada en exceso, pero cada vez los rectángulos reproducen mejor la curva de la función.

145
00:15:16,779 --> 00:15:23,580
Si os fijáis, aquí arriba casi no se ve diferencia, igual que antes se debe al grosor con el que estoy representando la función.

146
00:15:24,039 --> 00:15:28,179
Aquí en este extremo parece que tengo algo más de exceso que aquí o bien que aquí.

147
00:15:29,100 --> 00:15:35,600
Y me pregunto lo mismo, ¿qué es lo que ocurrirá en el límite cuando el número de intervalos tiende a infinito?

148
00:15:35,600 --> 00:15:48,440
Y en este caso, vamos a hacer igual que antes, vamos a incrementar los intervalos hasta 100, por comparar de una manera más o menos aproximada a lo que teníamos antes.

149
00:15:49,200 --> 00:15:54,840
Ahora tengo 100 rectángulos. He dividido el intervalo inicial con la partición de 100 intervalos.

150
00:15:55,259 --> 00:16:04,120
Tengo 100 rectángulos que he determinado con una altura que sería el máximo valor de la función dentro de cada uno de estos pequeños intervalos que tengo aquí.

151
00:16:04,120 --> 00:16:08,460
Y he calculado esta suma superior como la suma de las áreas de estos 100 rectángulos.

152
00:16:08,600 --> 00:16:11,139
Y ahora tengo el valor 16,196.

153
00:16:13,990 --> 00:16:17,909
La aproximación es cada vez mejor. Me basta con mirar la función.

154
00:16:18,490 --> 00:16:21,769
Desde luego hay un pequeño exceso que se ve mejor en este lado de la derecha.

155
00:16:22,769 --> 00:16:26,269
Aquí en esta parte no se aprecia demasiado bien.

156
00:16:26,730 --> 00:16:28,389
Aquí se vuelve a ver, aquí otra vez no.

157
00:16:29,009 --> 00:16:31,929
La aproximación es por exceso, tal y como lo estoy construyendo.

158
00:16:31,929 --> 00:16:37,929
el área que yo estoy buscando es menor o igual que este valor de 16,196 unidades al cuadrado

159
00:16:37,929 --> 00:16:42,830
y veo que cuantos más intervalos ponga la aproximación va a ser cada vez mejor, lo estoy viendo.

160
00:16:43,389 --> 00:16:49,990
Pero matemáticamente ¿qué ocurrirá? Igual que me preguntaba antes, ¿qué ocurrirá cuando el número de intervalos tienda a infinito?

161
00:16:53,470 --> 00:16:59,730
Antes de hacer esta discusión con n tendiendo a infinito en el número de intervalos con el que hacemos la partición,

162
00:16:59,730 --> 00:17:04,970
con el que dividimos este intervalo, vamos a comparar la suma inferior y la suma inferior,

163
00:17:05,289 --> 00:17:07,589
las que hemos estado discutiendo hace un momento.

164
00:17:08,309 --> 00:17:13,750
Y vamos a hacer el mismo desarrollo, pero esta vez simultáneamente comparando suma inferior y suma superior.

165
00:17:14,029 --> 00:17:17,390
Vamos a comenzar con un único intervalo, un único rectángulo.

166
00:17:17,930 --> 00:17:22,150
Y aquí tenemos el rectángulo que correspondía a la suma inferior de partida.

167
00:17:22,930 --> 00:17:27,990
La longitud de la base es el intervalo completo y la altura corresponde con el mínimo valor de la función.

168
00:17:27,990 --> 00:17:35,430
y es este rectángulo que tenemos en color oscuro, cuya área es 5,112, esa suma inferior, unidades al cuadrado, por supuesto,

169
00:17:36,349 --> 00:17:44,450
y como suma superior, ese único rectángulo con la misma base, pero en este caso con una altura que se corresponde con el máximo valor de la función.

170
00:17:45,109 --> 00:17:52,349
Se trata de un rectángulo clarito que tiene como base el eje de las x y que llega hasta este máximo valor de altura.

171
00:17:52,630 --> 00:17:57,349
No es el rectángulo que empieza aquí, es el rectángulo que empieza en el eje de las x, igual que antes.

172
00:17:57,349 --> 00:18:02,329
Lo que pasa es que la suma inferior se va a superponer por encima de la suma superior.

173
00:18:03,490 --> 00:18:09,890
En el caso del rectángulo inferior, el rectángulo de la suma inferior, el área es 5,112 unidades al cuadrado.

174
00:18:09,990 --> 00:18:15,230
En el caso del rectángulo de la suma superior es 24,075 unidades al cuadrado.

175
00:18:15,450 --> 00:18:26,230
De tal forma que tengo garantizado que el área en el que estoy interesado, la subtendida por la gráfica de la función, está comprendida entre 5,112 y 24,075.

176
00:18:26,950 --> 00:18:30,049
Tengo una aproximación, tengo un límite inferior y un límite superior.

177
00:18:30,509 --> 00:18:33,069
El valor del área que busco está acotado por esos valores.

178
00:18:33,529 --> 00:18:37,329
A lo mejor no es la mejor acotación que yo puedo encontrar entre 5 y 24.

179
00:18:37,890 --> 00:18:39,289
Me gustaría afinarlo más.

180
00:18:39,390 --> 00:18:44,569
Me gustaría que la distancia entre la suma inferior y la suma superior disminuyera para tener una mejor acotación.

181
00:18:45,390 --> 00:18:46,329
¿Cómo puedo hacer eso?

182
00:18:46,750 --> 00:18:49,809
Pues igual que veíamos anteriormente, incrementando el número de intervalos.

183
00:18:50,349 --> 00:18:53,710
Vamos a aumentarlo en 2, 3, 4, 5, 6.

184
00:18:53,710 --> 00:19:00,809
veíamos como la suma superior iba disminuyendo y la suma inferior iba aumentando.

185
00:19:01,150 --> 00:19:06,950
De tal forma que podemos comprobar como la acotación tiene una distancia cada vez menor.

186
00:19:06,950 --> 00:19:14,450
Antes teníamos entre 5 y 24, incrementando el número de intervalos de 1 a 6,

187
00:19:14,930 --> 00:19:22,410
vemos como el área va a estar acotada, está limitada, entre 13,705 y 18,084.

188
00:19:22,910 --> 00:19:28,029
Todavía hay una cierta separación entre estos valores, pero es mucho mejor la aproximación que la de antes.

189
00:19:28,170 --> 00:19:32,650
La separación entre 13,7 y 18,1 aproximadamente es mejor que anteriormente.

190
00:19:33,349 --> 00:19:39,890
Si vamos incrementando el número de intervalos en nuestro camino n tendiendo infinito,

191
00:19:40,470 --> 00:19:49,009
veremos cómo la suma inferior sube, cómo la suma superior baja y cómo la diferencia entre esos dos valores va siendo cada vez menor.

192
00:19:49,690 --> 00:19:55,910
Vamos a ver qué es lo que ocurre cuando, igual que anteriormente, incrementamos el número de intervalos hasta 100.

193
00:19:56,609 --> 00:20:02,589
Y vamos a ir mirando cómo los valores de la suma inferior, efectivamente, sube y el de la suma superior baja.

194
00:20:04,849 --> 00:20:07,869
Y, por ejemplo, con 100 intervalos llegamos hasta aquí.

195
00:20:08,250 --> 00:20:17,430
La suma inferior toma un valor 15,926, así que el área que yo estoy buscando será mayor o igual que este valor, 15,926 unidades al cuadrado.

196
00:20:17,430 --> 00:20:27,130
La suma superior es 16,196, así que será menor o igual, el área que estoy buscando, a 16,196 unidades al cuadrado.

197
00:20:27,490 --> 00:20:33,750
Fijaos que estoy en torno a 16. Aquí tengo 15,9, aquí tengo 16,2.

198
00:20:34,509 --> 00:20:43,569
Tengo entre 16 y 16,2, si quisiera dar unos valores muy aproximados, como valor para el área que yo estoy buscando.

199
00:20:44,309 --> 00:20:50,369
Fijaos que lo que estaba diciendo anteriormente con la suma inferior por un lado y superior por el otro sigue siendo cierto, por supuesto.

200
00:20:51,210 --> 00:20:56,710
Cada vez la suma inferior se va ajustando más al área que yo busco, la suma superior también.

201
00:20:57,269 --> 00:20:59,930
La suma inferior por abajo, la suma superior por arriba.

202
00:21:00,589 --> 00:21:03,289
¿Qué ocurrirá en el límite cuando n tiende a infinito?

203
00:21:05,849 --> 00:21:13,630
Bien, pues el desarrollo de Dagú lo que dice es que si el límite de la suma inferior cuando n tiende a infinito existe, o sea, converge,

204
00:21:13,630 --> 00:21:23,910
Y el límite de la suma superior también existe y ambos límites coinciden, ese valor común al que van a alcanzar los dos límites va a ser el valor del área que estamos buscando.

205
00:21:24,710 --> 00:21:34,490
En este caso he dividido el intervalo inicial de menos 2 a 7 en 10.000 pequeños intervalos, tengo una partición de 10.000 intervalos.

206
00:21:35,029 --> 00:21:49,089
La suma inferior toma el valor 16,062 unidades al cuadrado, la suma superior 16,065 unidades al cuadrado y vamos a comparar con el valor real del área, que es 16,063 unidades al cuadrado.

207
00:21:49,509 --> 00:21:59,230
Vemos como con 10.000 intervalos el valor de la suma inferior y la superior ha convergido por lo menos hasta las cifras de las centésimas.

208
00:21:59,230 --> 00:22:08,009
De tal forma que podría afirmar que el área es aproximadamente 16,06 unidades al cuadrado.

209
00:22:08,430 --> 00:22:18,750
Sé que es superior a 16,062, inferior a 16,065 y puedo afirmar que estará alrededor de 16,06, como realmente ocurre.

210
00:22:19,829 --> 00:22:25,710
En este caso no voy a intentar aumentar el número de intervalos porque tenemos un problema numérico.

211
00:22:25,710 --> 00:22:31,190
la precisión con la cual GeoGebra va a estar calculando estas áreas no va a ser suficiente

212
00:22:31,190 --> 00:22:35,829
y no vamos a poder comprobar cómo realmente la suma inferior y superior convergen.

213
00:22:35,930 --> 00:22:40,150
No vamos a poder ver cómo realmente aquí aparece en las cifras de las milésimas un 3.

214
00:22:40,849 --> 00:22:46,190
Luego, siempre tendremos una serie de limitaciones cuando estemos haciendo estos cálculos numéricamente.

215
00:22:46,569 --> 00:22:52,589
Pero si pudiéramos encontrar una expresión algebraica para esas áreas, esas sumas inferior y superior,

216
00:22:52,589 --> 00:22:58,150
y pudiéramos hacer realmente de forma algebraica los límites y comprobar que ambos convergen al mismo valor,

217
00:22:58,509 --> 00:23:02,950
ahí tendríamos el valor exacto que correspondería con ese área subtendida.

218
00:23:03,150 --> 00:23:05,230
Y ahí tendríamos resuelto el problema del área.

219
00:23:08,599 --> 00:23:12,200
Por último, para finalizar esta videoclase de la integral de Dabu,

220
00:23:12,960 --> 00:23:17,200
vamos a ver la forma en la cual vamos a representar esa integral definida.

221
00:23:17,740 --> 00:23:20,599
El símbolo será este que tenemos aquí.

222
00:23:20,779 --> 00:23:24,359
Y si os dais cuenta, se parece muchísimo al símbolo de la integral indefinida.

223
00:23:24,900 --> 00:23:31,480
Tenemos el símbolo de la integral, f de x, diferencial de x, igual que en el caso de la integral indefinida.

224
00:23:31,920 --> 00:23:39,339
Lo único que en este caso tenemos arriba y abajo del símbolo de la integral, este valor real a y este valor real b,

225
00:23:39,740 --> 00:23:44,920
que son los límites del intervalo de la base en la cual estamos calculando el área.

226
00:23:45,740 --> 00:23:54,420
Este símbolo se lee integral entre a y b, o en algunas ocasiones desde a hasta b, de f de x diferencial de x.

227
00:23:54,819 --> 00:24:02,140
La lectura es la misma que en el caso del símbolo de la integral indefinida, haciendo hincapié en desde a hasta b, o bien entre a y b.

228
00:24:02,460 --> 00:24:10,700
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

229
00:24:11,460 --> 00:24:15,559
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

230
00:24:16,400 --> 00:24:21,119
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

231
00:24:21,720 --> 00:24:23,079
Un saludo y hasta pronto.