1
00:00:00,910 --> 00:00:04,370
Buenos días, vamos a empezar con el tema de integración.

2
00:00:10,310 --> 00:00:13,029
Yo sé, por ejemplo, si tengo la función f de x igual a x cuadrado,

3
00:00:15,210 --> 00:00:18,989
yo sé que la derivada de f de x es 2x.

4
00:00:19,289 --> 00:00:21,449
Bueno, pues la integración es el proceso inverso.

5
00:00:22,530 --> 00:00:31,370
Y se escribe así, la integral de 2x es, hay que poner este gusano,

6
00:00:31,489 --> 00:00:33,450
y luego aquí una cosa que es diferencial de x,

7
00:00:33,530 --> 00:00:36,530
que significa simplemente que estamos en una integral respecto a la función x.

8
00:00:36,530 --> 00:00:39,009
pues es x cuadrado

9
00:00:39,009 --> 00:00:42,670
o sea, si la derivada de x cuadrado es 2x

10
00:00:42,670 --> 00:00:44,689
la integral de 2x es x cuadrado

11
00:00:44,689 --> 00:00:46,789
aquí hay que tener cuidado en una cosa

12
00:00:46,789 --> 00:00:48,570
porque si yo tengo esta otra función

13
00:00:48,570 --> 00:00:51,869
x cuadrado más 3

14
00:00:51,869 --> 00:00:53,530
la derivada, ¿cuánto es?

15
00:00:54,390 --> 00:00:55,509
también es 2x

16
00:00:55,509 --> 00:00:59,590
si en vez de ser x cuadrado más 3 fuera x cuadrado más 7528

17
00:00:59,590 --> 00:01:01,630
la derivada también sería 2x

18
00:01:01,630 --> 00:01:05,390
con lo cual, una función que al derivarla me quede 2x

19
00:01:05,390 --> 00:01:09,450
tiene que ser x cuadrado más una constante.

20
00:01:10,430 --> 00:01:13,370
Por ejemplo, ¿cuál sería la integral del coseno de x?

21
00:01:14,370 --> 00:01:18,829
Pues, ¿qué función al derivarla me queda el coseno de x?

22
00:01:19,769 --> 00:01:23,329
Pues, el seno de x más k.

23
00:01:24,030 --> 00:01:29,870
Es decir, la tabla de integrales es la contraria de la tabla de derivadas.

24
00:01:29,870 --> 00:01:37,930
Aquí en la página 296 tenemos una tabla de integrales

25
00:01:37,930 --> 00:01:39,829
Bueno, antes de eso voy a explicar un momento esto

26
00:01:39,829 --> 00:01:44,069
¿Cuál sería la integral de x al cuadrado?

27
00:01:45,129 --> 00:01:48,370
Pues fíjense que para que al derivar me quede x al cuadrado

28
00:01:48,370 --> 00:01:51,469
Yo necesito que esté x al cubo, ¿no?

29
00:01:51,930 --> 00:01:55,950
Pero claro, la derivada de x al cubo es 3x al cuadrado

30
00:01:55,950 --> 00:01:58,549
Y yo quiero solo que aparezca x al cuadrado

31
00:01:58,549 --> 00:02:01,030
si es que dividimos entre 3

32
00:02:01,030 --> 00:02:01,909
me queda eso

33
00:02:01,909 --> 00:02:05,010
y en general la integral de x a la n

34
00:02:05,010 --> 00:02:06,849
es

35
00:02:06,849 --> 00:02:08,189
x a la n más 1

36
00:02:08,189 --> 00:02:10,969
partido por n más 1

37
00:02:10,969 --> 00:02:14,280
voy a repetir esto

38
00:02:14,280 --> 00:02:17,039
yo quiero encontrar una función

39
00:02:17,039 --> 00:02:18,680
que al derivarla me quede x cuadrado

40
00:02:18,680 --> 00:02:19,680
cuando yo derivo

41
00:02:19,680 --> 00:02:22,360
el grado del polinomio

42
00:02:22,360 --> 00:02:24,259
baja en 1

43
00:02:24,259 --> 00:02:27,159
entonces al integrar tiene que aumentar en 1

44
00:02:27,159 --> 00:02:29,199
es decir, para que yo al derivar

45
00:02:29,199 --> 00:02:31,680
me encuentre una x cuadrado, tiene que aparecer una x cubo.

46
00:02:32,120 --> 00:02:33,280
Pero, ¿qué pasa si solamente

47
00:02:33,280 --> 00:02:35,280
tengo x cubo? Si yo derivo

48
00:02:35,280 --> 00:02:37,360
x cubo, la derivada es

49
00:02:37,360 --> 00:02:39,240
3x cuadrado. Y aquí

50
00:02:39,240 --> 00:02:41,259
no tengo un 3. ¿Cómo mato ese 3?

51
00:02:41,460 --> 00:02:42,340
Dividiendo entre 3.

52
00:02:43,300 --> 00:02:44,500
Y me queda esta fórmula.

53
00:02:45,719 --> 00:02:47,120
Aquí tengo unas cuentas.

54
00:02:48,020 --> 00:02:48,639
La integral

55
00:02:48,639 --> 00:02:50,860
de x a la, aquí pone

56
00:02:50,860 --> 00:02:52,780
n, r, es

57
00:02:52,780 --> 00:02:55,139
x a la r más 1 partido por n más 1.

58
00:02:55,719 --> 00:02:57,319
La integral de x menos 1,

59
00:02:57,319 --> 00:03:00,979
que es la integral de 1 partido por x es el neperiano de x

60
00:03:00,979 --> 00:03:03,560
porque la derivada del neperiano es 1 partido por x

61
00:03:03,560 --> 00:03:07,060
la integral de e a la x, ¿cuál es? e a la x

62
00:03:07,060 --> 00:03:10,360
¿por qué? porque al derivar e a la x me queda e a la x

63
00:03:10,360 --> 00:03:12,979
la integral de a a la x es

64
00:03:12,979 --> 00:03:15,439
a a la x partido por el neperiano de a, ¿por qué?

65
00:03:16,560 --> 00:03:19,280
¿cuál es la derivada de a a la x?

66
00:03:19,840 --> 00:03:21,400
la derivada de a a la x es

67
00:03:21,400 --> 00:03:25,020
a a la x por el logaritmo de e a, no olvidemos que esto es una constante

68
00:03:25,020 --> 00:03:28,180
Entonces, ¿cuál será la integral de a a la x?

69
00:03:29,819 --> 00:03:31,099
Sería a a la x, ¿no?

70
00:03:31,580 --> 00:03:34,620
Pero, si yo derivo a la x, me queda esto

71
00:03:34,620 --> 00:03:37,860
¿Cómo elimino este logaritmo de a, que es una constante?

72
00:03:38,800 --> 00:03:40,280
Dividiendo entre logaritmo de a

73
00:03:40,280 --> 00:03:46,229
La integral del seno es menos el coseno

74
00:03:46,229 --> 00:03:49,509
La integral del coseno es el seno

75
00:03:49,509 --> 00:03:54,729
La integral de 1 partido por coseno al cuadrado es la tangente

76
00:03:54,729 --> 00:03:58,129
Porque yo sé que la derivada de la tangente es 1 partido por coseno al cuadrado

77
00:03:58,129 --> 00:04:03,449
La integral de esto, ¿qué función conozco yo cuya derivada es esta?

78
00:04:03,889 --> 00:04:07,930
El arco coseno, el arco seno, perdón, o menos el arco coseno.

79
00:04:08,610 --> 00:04:12,750
¿Qué función conozco yo cuya derivada es 1 partido por 1 más x cuadrado?

80
00:04:13,409 --> 00:04:14,250
El arco tangente.

81
00:04:15,330 --> 00:04:17,470
Después hay que tener en cuenta dos fórmulas.

82
00:04:18,250 --> 00:04:21,730
La derivada de una suma era la suma de las derivadas,

83
00:04:22,290 --> 00:04:25,850
pues la integral de una suma es la suma de las integrales.

84
00:04:25,850 --> 00:04:32,470
y la integral de una constante por una función es la constante por la integral de la función.

85
00:04:33,509 --> 00:04:36,209
A ver, aquí ven unos cuantos ejercicios resueltos.

86
00:04:36,670 --> 00:04:41,810
Yo les aconsejo que se los miden y después vamos a hacer el ejercicio número 9.

87
00:04:44,029 --> 00:04:46,910
Y si tienen alguna duda me la preguntan como si estuviéramos en clase.

88
00:04:47,629 --> 00:04:47,910
Igual.