1
00:00:06,190 --> 00:00:15,869
Hola, buenas tardes. Otra clase más de matemáticas nivel 1. Estamos en la lección del álgebra

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00:00:15,869 --> 00:00:26,550
y ya hemos avanzado bastante en esta lección. Estuvimos en la clase anterior viendo máximos,

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00:00:26,550 --> 00:00:42,609
mínimos relativos y vimos también cuando, haciendo los siguientes ejercicios, por ejemplo,

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00:00:43,530 --> 00:00:49,750
en esto de aquí, cuando la función tenía intervalos de crecimiento, de crecimiento,

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00:00:49,750 --> 00:01:00,770
tenía un máximo, un mínimo relativo y cuando tenía unas zonas de la función que eran constantes

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00:01:00,770 --> 00:01:06,670
por ejemplo esta y esta era constante, por aquí la función crecía, decrecía, decrecía

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00:01:06,670 --> 00:01:12,829
y tenía máximos y mínimos, máximos en b y en d y mínimos en c y en e

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00:01:12,829 --> 00:01:23,390
Hoy vamos a hablar de otros parámetros que podemos estudiar en las funciones como puede ser continuidad y discontinuidad.

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00:01:24,049 --> 00:01:32,489
Estamos en la página 8 del tema y vamos a ver cuándo una función es continua y cuándo no lo es.

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00:01:32,489 --> 00:01:43,810
Nos ponen como ejemplo esta función en la que cualquier valor de la X tiene su correspondiente en la Y

11
00:01:43,810 --> 00:01:51,510
Entonces, cuando una función, cualquier valor que tenga en la X tiene el correspondiente para la Y

12
00:01:51,510 --> 00:01:53,409
Esa función es continua

13
00:01:54,129 --> 00:02:01,769
Cualquier punto de la X, aunque sea muy pequeñito aquí, tiene un correspondiente punto para la Y, que sería por aquí

14
00:02:01,769 --> 00:02:04,730
entonces esta función es continua

15
00:02:04,730 --> 00:02:08,229
también otra forma de definirlo es

16
00:02:08,229 --> 00:02:12,069
se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel

17
00:02:12,069 --> 00:02:16,949
bien, eso quiere decir que la función en todos los puntos

18
00:02:16,949 --> 00:02:21,349
podemos dibujarla y no hay ningún punto en el que no se dibuje

19
00:02:21,349 --> 00:02:24,909
eso, ahí veríamos que la función es continua

20
00:02:24,909 --> 00:02:29,930
y cuando no lo es, cuando una función no es continua

21
00:02:29,930 --> 00:02:42,330
¿Es discontinua? Pues cuando hay algunas partes de ella en el que su dominio presentan discontinuidades.

22
00:02:42,590 --> 00:02:51,030
El dominio y el recorrido eran dos parámetros que medían los valores de la X.

23
00:02:51,030 --> 00:03:01,349
El dominio miraba los valores de la X donde la función existe y el recorrido eran los valores de la Y donde la función existe.

24
00:03:01,669 --> 00:03:14,469
Bien, pues el dominio son los valores de la X en los que siempre tenga una imagen o una solución para los valores de la Y.

25
00:03:14,469 --> 00:03:23,370
cuando en el dominio todos los valores de la X tienen su correspondiente en la Y

26
00:03:23,370 --> 00:03:25,210
se dice que la función es continua

27
00:03:25,210 --> 00:03:31,689
pero aquí por ejemplo, aquí tenemos en esta función de aquí

28
00:03:31,689 --> 00:03:33,430
voy a ponerlo en otro color

29
00:03:33,430 --> 00:03:37,610
tenemos este valor y este valor

30
00:03:37,610 --> 00:03:39,469
por ejemplo este de aquí

31
00:03:39,469 --> 00:03:42,169
lo estoy poniendo muy gordo pero para que se vea

32
00:03:42,169 --> 00:04:06,189
que aquí no tenemos ninguna contraprestación de este valor de la x, no tenemos ninguna solución para la y, porque por aquí la función deja de existir, entonces cuando no podemos trazar la función en todos los puntos de la x y darle una solución para y, la y, esa función es discontinua.

33
00:04:06,189 --> 00:04:26,209
Bien, pues vamos a la parte de los ejercicios, el ejercicio 16 y 17, en el que vamos a estudiar la continuidad o discontinuidad de una función ya dibujada.

34
00:04:26,209 --> 00:04:31,949
Si no nos la dan dibujada, que nos dan la función de esta manera

35
00:04:31,949 --> 00:04:37,730
Nosotros sacamos puntos y después de sacar puntos los trasladamos y podemos dibujarla

36
00:04:37,730 --> 00:04:44,490
Pero en este caso tenemos una función que hace esto

37
00:04:44,490 --> 00:04:48,670
Primero hace una curva hasta este punto

38
00:04:48,670 --> 00:04:54,949
Luego desde aquí otra recta, en línea recta hasta aquí

39
00:04:54,949 --> 00:05:08,009
Y luego tenemos esta diagonal que empieza aquí y continuaría hasta más infinito si no dice lo contrario.

40
00:05:08,269 --> 00:05:14,269
Y por aquí la función continuaría hasta menos infinito si no nos da ningún otro valor.

41
00:05:15,050 --> 00:05:18,170
Bien, pues vamos a ver dónde es continua y dónde no.

42
00:05:18,170 --> 00:05:29,089
Por ejemplo, hasta llegar a este punto, de aquí para allá, este punto es menos 1, menos 2, menos 3, menos 4.

43
00:05:29,850 --> 00:05:42,589
Entonces, hemos dicho que desde menos infinito hasta menos 4, esos son los valores, menos infinito, coma, menos 4.

44
00:05:42,589 --> 00:05:46,449
aquí hay una función que sí que está dibujada

45
00:05:46,449 --> 00:05:48,910
entonces si está dibujada

46
00:05:48,910 --> 00:05:51,189
que es esto de aquí

47
00:05:51,189 --> 00:05:53,569
la función existe

48
00:05:53,569 --> 00:05:55,250
pero aquí se acaba

49
00:05:55,250 --> 00:05:57,149
ya no hay más esta línea

50
00:05:57,149 --> 00:06:01,529
esta curva ya no tiene más continuidad

51
00:06:01,529 --> 00:06:05,569
con lo cual aquí la función pega un salto

52
00:06:05,569 --> 00:06:09,350
y la x vale menos 4

53
00:06:09,350 --> 00:06:11,350
pero desde 1 a 2

54
00:06:11,350 --> 00:06:27,410
En este trozo de aquí la función no es continua, así es que podríamos decir que para menos infinito menos 4 la función es continua.

55
00:06:27,410 --> 00:06:46,560
Vale, luego en el punto en menos 4, perdonad, pero aquí no puedo poner un corchete, tengo que poner un paréntesis

56
00:06:46,560 --> 00:06:56,540
Un paréntesis quiere decir que no incluye ese valor, cuando es corchete sí que lo incluye, pero cuando es paréntesis el menos 4 no está incluido

57
00:06:56,540 --> 00:07:09,879
Entonces, en menos 4, ya digo, aquí pega la función un salto, le tenemos que levantar el lapicero para dibujarla, entonces es discontinua.

58
00:07:11,220 --> 00:07:22,540
En este punto son valores de la X, ojo, en menos 4 para la X la función es discontinua.

59
00:07:22,540 --> 00:07:29,100
Tenemos otro tramo desde menos 4 hasta 1

60
00:07:29,100 --> 00:07:35,860
Pues lo vamos a poner desde menos 4

61
00:07:35,860 --> 00:07:38,939
Aquí está incluido porque el punto llega hasta aquí

62
00:07:38,939 --> 00:07:46,139
Coma hasta 1 también está incluido

63
00:07:46,139 --> 00:07:50,500
Hasta aquí, hasta este punto la función es continua

64
00:07:50,500 --> 00:08:18,620
En este tramo existe, así es que lo ponemos y la función es continua. ¿Qué pasa de 1 a 2 en el punto 2? Vuelve a tener representación gráfica esta función, pero de 1 a 2 no, pues tendríamos que ponerlo también, pero ya lo voy a poner con paréntesis.

65
00:08:18,620 --> 00:08:43,379
Quiere decir que mayor que 1 y menor que 2, no está incluido el 1, y entre 1 y 2, pero con paréntesis, la función vuelve a ser discontinua, porque no la podemos dibujar y no tiene valores para la y.

66
00:08:43,379 --> 00:09:07,169
Bien, vale, si a partir del punto 2 vemos que la función vuelve a existir y hemos dicho que por aquí tendríamos más infinito, bien, pues tendríamos otro intervalo que va desde 2 hasta más infinito

67
00:09:07,169 --> 00:09:14,070
y en ese intervalo siempre hay que poner el más o el menos en el infinito

68
00:09:14,070 --> 00:09:20,730
porque puede ser o positivo o negativo, o sea, o hacia allí que es positivo o hacia allí que es negativo.

69
00:09:22,190 --> 00:09:31,169
Aquí vuelve a ser continua la función y vuelve a existir, ya digo, en este tramo.

70
00:09:32,490 --> 00:09:37,870
Entonces, a la hora de estudiar una función tenemos que ir trozo a trozo

71
00:09:37,870 --> 00:09:45,970
viendo en qué parte existe y en qué parte no existe la función. Bien, vamos al

72
00:09:45,970 --> 00:09:52,429
siguiente ejercicio de la página, estamos en la página 16, vamos a este ejercicio

73
00:09:52,429 --> 00:09:58,750
en el que la función toma estos valores de aquí hasta aquí, luego pega un salto y

74
00:09:58,750 --> 00:10:05,110
de aquí hasta más infinito para la x pero menos infinito para la y.

75
00:10:05,110 --> 00:10:34,049
Bueno, entonces, el primer tramo, ah, perdón, aquí hay otro tramo, este primer tramo, que es, este sería desde, ya lo voy poniendo justo debajo, desde menos infinito hasta el punto menos uno, estamos en la, valores de la X, la función existe, y existe, y podemos decir que es continua.

76
00:10:35,110 --> 00:10:57,779
Luego, desde menos 1 a 1, pero con paréntesis, desde menos 1, guión 1, con paréntesis entre medias de estos dos puntos, estos valores están no incluidos.

77
00:10:57,779 --> 00:11:25,259
La función vuelve a ser continua otra vez, lo apuntaríamos, continua, y desde 1 a más infinito, que estaría por aquí, el 1, más infinito, la función vuelve a estar otra vez representada por esta línea decreciente,

78
00:11:25,259 --> 00:11:29,659
pero vuelve a estar representada y aquí la función vuelve a ser también continua.

79
00:11:32,740 --> 00:11:37,299
Dices, vale, pero ¿en todos los puntos es continua?

80
00:11:37,620 --> 00:11:40,720
No, en el 1 hay un punto de discontinuidad.

81
00:11:41,399 --> 00:11:51,120
El valor 1, o sea, f, cuando la función toma el valor 1, aquí hay una discontinuidad.

82
00:11:51,120 --> 00:12:06,570
que es este de aquí, no perdón, no en el valor 1 no, en el valor menos 1 es donde está la discontinuidad

83
00:12:06,570 --> 00:12:11,429
que es este valor de aquí para la x y este de aquí sería el valor 2

84
00:12:11,429 --> 00:12:18,409
entonces f de 2 cuando la función toma el valor 2 para la x

85
00:12:18,409 --> 00:12:23,909
la i tiene aquí dos valores diferentes

86
00:12:23,909 --> 00:12:26,809
levantamos el lapicero a la hora de escribir

87
00:12:26,809 --> 00:12:29,929
y tenemos también otra discontinuidad

88
00:12:29,929 --> 00:12:41,639
vale, pues con respecto a continuidad y discontinuidad

89
00:12:41,639 --> 00:12:46,440
este sería el ejercicio

90
00:12:46,440 --> 00:12:52,620
vamos a ver que es una pendiente

91
00:12:52,620 --> 00:13:00,620
me voy para la teoría, vamos a ver qué es una pendiente y cómo conseguirla.

92
00:13:03,899 --> 00:13:09,200
Máximos, perdón que se me ha ido la página, un momentito que está muy agrandado.

93
00:13:10,779 --> 00:13:19,340
Vale, si nuestra función es lineal, quiere decir que la función va a ser así una recta,

94
00:13:19,340 --> 00:13:47,980
Uy, bueno, eso no es una recta. Vamos a pintarla un poquito mejor y vamos a pintarla a lo mejor en otro color. Si la función es una recta, esta recta, a no ser que sea horizontal, pues la recta tiene un poco de pendiente, tanto si es hacia arriba como si es hacia abajo.

95
00:13:47,980 --> 00:14:00,519
Esta la ha puesto con mucha pendiente. Bueno, pues en las funciones lineales esa pendiente se ve en el coeficiente que acompaña a la x.

96
00:14:00,519 --> 00:14:24,039
De forma que si tenemos una función que dice y igual a 3x menos 1, pues 3x menos 1, esta es la ecuación de una recta porque la x tiene solo exponente elevado a 1 y la pendiente la tendríamos aquí.

97
00:14:24,039 --> 00:14:27,059
la pendiente que es esta vale 3

98
00:14:27,059 --> 00:14:30,639
si la pendiente es positiva

99
00:14:30,639 --> 00:14:34,059
quiere decir que la función es creciente

100
00:14:34,059 --> 00:14:39,279
ya estudiamos el día anterior cuando una función crece y decrece

101
00:14:39,279 --> 00:14:43,980
era creciente cuando tiene este sentido

102
00:14:43,980 --> 00:14:47,460
y decreciente cuando iba hacia abajo

103
00:14:47,460 --> 00:14:52,620
si va a cada valor de la x aumentando

104
00:14:52,620 --> 00:15:04,740
Otro valor de la y que aumenta es creciente. Cuando cada valor de la x aumentando disminuye la y, cada vez es más pequeña, entonces decrece la función.

105
00:15:04,740 --> 00:15:19,899
Bien, pues estábamos diciendo que la pendiente si es positiva entonces crece, la función lineal crece.

106
00:15:19,899 --> 00:15:43,519
Y la pendiente, si es negativa, por ejemplo, voy a poner otro ejemplo, igual a menos 2x más 8, por ejemplo, esta es otra función lineal que es una recta, pues menos 2x más 8 es negativa.

107
00:15:43,519 --> 00:15:59,419
Entonces, cuando la pendiente es menos 2, significa que la función decrece. Esta es negativa y decrece.

108
00:15:59,419 --> 00:16:07,309
¿Y qué sucede con esa pendiente?

109
00:16:07,309 --> 00:16:10,070
Bueno, pues la pendiente que se llama M

110
00:16:10,070 --> 00:16:13,250
M es la representación de la pendiente

111
00:16:13,250 --> 00:16:19,629
nos indica, ya digo, la inclinación que tiene la recta

112
00:16:19,629 --> 00:16:25,409
Vamos a ver cómo podemos

113
00:16:25,409 --> 00:16:28,450
Si estamos en una ecuación así lineal

114
00:16:28,450 --> 00:16:32,029
representada, vemos directamente cuál es la pendiente

115
00:16:32,029 --> 00:16:35,889
3 y en este caso m vale menos 2

116
00:16:35,889 --> 00:16:37,269
lo voy a apuntar aquí

117
00:16:37,269 --> 00:16:42,269
m igual a 3, esa es la pendiente

118
00:16:42,269 --> 00:16:48,409
y m igual a menos 2, esa sería la otra pendiente

119
00:16:48,409 --> 00:17:00,330
ya digo cuando la inclinación de la recta va en este sentido y decrece

120
00:17:00,330 --> 00:17:09,509
esto es negativo y positivo si crece. ¿Y qué sucede si en vez de darnos la ecuación

121
00:17:09,509 --> 00:17:20,230
de esta forma, lineal, nos van a dar la ecuación por medio de dos puntos? Entonces, ¿cómo

122
00:17:20,230 --> 00:17:27,789
hallamos en esos dos puntos cuál es la pendiente? Claro, esos dos puntos representan una recta,

123
00:17:27,789 --> 00:17:50,549
Una recta pasa por un punto y por otro. ¿Y cuál sería la pendiente? Pues para eso tenemos esta ecuación, esta fórmula, en la que conseguimos M como la resta I2 menos I1, o sea, este menos este, dividido por X2 menos X1, este menos este.

124
00:17:50,549 --> 00:18:00,049
En este ejemplo, si A vale 2,1 y B 4,7 que son dos puntos

125
00:18:00,049 --> 00:18:02,170
¿Cuánto valdrá M?

126
00:18:02,170 --> 00:18:13,529
Pues M en el numerador sería la resta I2 que es 7 menos I1 que vale 1

127
00:18:13,529 --> 00:18:33,769
Y en el denominador, x2, que es 4, menos x1, que es 2. Y entonces, 7 menos 1, 6, 4 menos 2, 2, la pendiente vale 3.

128
00:18:33,769 --> 00:18:47,410
3 sería el valor de la pendiente, ya digo, cuando esta recta pasa por estos dos puntos.

129
00:18:47,410 --> 00:19:14,170
Vamos a hacer un ejercicio en la página 17, no perdón, aquí es el ejercicio 17, la página 16 y nos piden, calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos 2, 1 y b que es menos 2, 5.

130
00:19:14,170 --> 00:19:29,789
Entonces, aquí la pendiente vamos a llamarla o se llama m es igual en el numerador y 2 que es 5 menos y 1 que es 2, 5 menos 2.

131
00:19:31,069 --> 00:19:43,109
En el denominador x2 es menos 2 menos x1 que vale 1.

132
00:19:43,109 --> 00:19:47,269
Vamos a operar, a ver que tenemos aquí

133
00:19:47,269 --> 00:19:50,829
En el numerador 5 menos 2 serían 3

134
00:19:50,829 --> 00:19:56,690
Y en el denominador menos 2 menos 1 menos 3

135
00:19:56,690 --> 00:20:03,170
Vale, pues 3 entre menos 3

136
00:20:03,170 --> 00:20:08,829
Esto da negativo menos 1

137
00:20:08,829 --> 00:20:18,130
Así es que la pendiente de la recta que pasa por este punto y por este punto sería menos 1

138
00:20:18,130 --> 00:20:28,170
Vamos a hacer el ejercicio abajo, calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos 0, 3 y 2, 1

139
00:20:28,170 --> 00:20:46,430
Bien, pues volvemos a tirar de la fórmula de la pendiente y es igual en el numerador y2 que es 1 menos y1 que es 3, 1 menos 3.

140
00:20:46,430 --> 00:20:57,309
Y en el denominador, x2, que es 2, menos x1, que es 0.

141
00:21:01,420 --> 00:21:19,650
Bien, en este caso, 1 menos 3 es menos 2, 2 menos 0 es 2, 2 entre 2 es 1, negativo, menos 1.

142
00:21:19,650 --> 00:21:26,710
vale, en ambos casos la pendiente es negativa

143
00:21:26,710 --> 00:21:34,509
lo único que significa eso es que la recta por la que pasan estos puntos

144
00:21:34,509 --> 00:21:38,710
tanto este como este, esta recta está inclinada hacia abajo

145
00:21:38,710 --> 00:21:42,609
no sabemos en qué cuadrante, primero, segundo, tercero, cuarto cuadrante

146
00:21:42,609 --> 00:21:47,450
no lo sabemos pero la recta está inclinada o así o así

147
00:21:47,450 --> 00:21:53,490
pero va la recta a cada valor de la x, la y va más abajo, más abajo, más abajo.

148
00:21:54,309 --> 00:22:04,630
Vale, pues lo dejamos aquí, el próximo día continuaremos con lo último que queda en la lección con respecto a las funciones

149
00:22:04,630 --> 00:22:11,029
y ya sería todo lo que entraría en el examen de la segunda evaluación.

150
00:22:12,289 --> 00:22:15,549
Pues un saludo y hasta la próxima semana.

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00:22:17,450 --> 00:22:18,450
Gracias.