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00:00:05,320 --> 00:00:21,289
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:21,289 --> 00:00:25,890
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:25,890 --> 00:00:30,089
de la unidad F1 dedicada a las características globales de las funciones.

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00:00:31,949 --> 00:00:39,250
En la videoclase de hoy estudiaremos el cociente de funciones.

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00:00:40,289 --> 00:00:52,140
En esta videoclase vamos a estudiar el cociente de funciones. En este caso, dadas dos funciones

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00:00:52,140 --> 00:00:58,140
reales de variable real f y g, se define la función cociente f dividido entre g como

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00:00:58,140 --> 00:01:03,020
aquella que hace corresponder a los valores de x que pertenecen a la intersección de

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00:01:03,020 --> 00:01:10,019
los dominios de f y de g, excluyendo los ceros de g de x, los ceros del denominador del cociente

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00:01:10,019 --> 00:01:16,159
f dividido entre g, una imagen que se va a calcular como el cociente de las imágenes

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00:01:16,159 --> 00:01:22,159
de x a través de f y de g. Fijaos en que esta definición del dominio, aunque parezca

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00:01:22,159 --> 00:01:27,819
compleja, tiene todo el sentido. En primer lugar necesitamos partir de la intersección

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00:01:27,819 --> 00:01:33,299
de los dominios de f y de g. Fijaos en que necesariamente debe existir la imagen f de

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00:01:33,299 --> 00:01:38,640
x y g de x para poder calcular este cociente. Así pues, los valores de x deben en principio

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00:01:38,640 --> 00:01:44,459
pertenecer a la intersección de los dos dominios. Pero aún más, en un cociente no podemos

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00:01:44,459 --> 00:01:50,939
dividir entre 0, de tal forma que de los valores de x pertenecientes tanto al dominio de f como de g

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00:01:50,939 --> 00:01:58,560
debemos excluir aquellos valores de x del dominio de g que hagan que g de x sea 0, puesto que aunque

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00:01:58,560 --> 00:02:06,040
existiera f de x y g de x, el cociente f de x entre g de x no estaría bien definido. Para ver cómo

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00:02:06,040 --> 00:02:10,879
funciona vamos a resolver este ejercicio que tenemos como ejemplo. Se nos dice que tenemos

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00:02:10,879 --> 00:02:16,780
las funciones reales de variables real f de x igual a 1 entre x menos 2 y g de x igual a x al

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00:02:16,780 --> 00:02:23,659
cuadrado menos 1 y se nos pide que determinemos las funciones f dividido entre g de x, g dividido

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00:02:23,659 --> 00:02:30,159
entre f de x y los dominios de ambas. Vamos a comenzar por f dividido entre g. Lo que vamos

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00:02:30,159 --> 00:02:35,419
a hacer es determinar la expresión algebraica de esta función sin más que dividir algebraicamente

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00:02:35,419 --> 00:02:43,120
las expresiones de f y de g. Y aquí tenemos para f 1 entre x menos 2 dividido entre x al cuadrado

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00:02:43,120 --> 00:02:51,500
menos 1. Si realizamos esta división de fracciones algebraicas obtenemos para f dividido entre g la

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00:02:51,500 --> 00:02:59,840
expresión 1 entre x al cubo menos 2x cuadrado menos x más 2. Una función racional. Fijaos que el

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00:02:59,840 --> 00:03:04,919
dominio de f de x es toda la recta real excepto el 2. Se trata de una función racional. Debemos

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00:03:04,919 --> 00:03:11,099
a excluir el cero del denominador. Y en cuanto al dominio de g de x, el dominio se trata de toda

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00:03:11,099 --> 00:03:16,219
la recta real, puesto que es una función polinómica. Y lo que vamos a hacer es determinar, utilizando

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00:03:16,219 --> 00:03:21,599
la definición que hemos visto hace un momento, el dominio de f partido por g como la intersección

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00:03:21,599 --> 00:03:27,620
de los dos dominios, excluyendo los valores de x pertenecientes al dominio de g, la función que

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00:03:27,620 --> 00:03:33,419
tenemos en el denominador, que hacen que g de x sea cero, o sea, excluyendo los ceros del denominador.

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00:03:34,159 --> 00:03:39,539
La intersección de los dominios de f y de g es toda la recta real excepto el 2,

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00:03:40,240 --> 00:03:43,219
puesto que tenemos que hacer la intersección de ese conjunto y toda la recta real.

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00:03:43,360 --> 00:03:46,379
Lo tenemos aquí, toda la recta real excepto el número 2.

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00:03:47,539 --> 00:03:52,139
También hemos de excluir los valores de x del dominio de g que hacen que g de x sea 0.

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00:03:52,620 --> 00:03:58,900
En este caso debemos excluir los valores de x pertenecientes a la recta real, que es el dominio de g,

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00:03:59,240 --> 00:04:03,400
que hacen que g de x sea 0, o sea que x al cuadrado menos 1 sea 0.

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00:04:03,960 --> 00:04:08,520
La solución de esta ecuación es x igual a 1 y x igual a menos 1.

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00:04:09,060 --> 00:04:16,540
Así pues, a la intersección de los dos dominios tenemos que excluirle a su vez los valores de x menos 1 y más 1.

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00:04:16,800 --> 00:04:17,660
Eso es lo que tenemos aquí.

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00:04:18,620 --> 00:04:24,699
Recta real menos el número 2, la intersección de los dominios de f de g, menos menos 1 y 1,

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00:04:25,220 --> 00:04:29,680
que son los valores de x pertenecientes al dominio de g que hacen que g de x sea 0.

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00:04:29,680 --> 00:04:35,819
así pues el dominio de la función f dividido entre g va a ser toda la recta real excluyendo

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00:04:35,819 --> 00:04:43,019
menos 1, 1 y 2 y fijaos en que esto tiene sentido la función f dividido entre g de x es una función

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00:04:43,019 --> 00:04:49,779
racional su dominio en principio será toda la recta real excepto los ceros del denominador y

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00:04:49,779 --> 00:04:58,459
estos son precisamente los valores menos 1, 1 y 2 en el caso de la función g entre f de x vamos a

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00:04:58,459 --> 00:05:05,319
operar de forma análoga. Vamos a dividir de forma algebraica la expresión de g de x entre la

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00:05:05,319 --> 00:05:11,079
expresión de f de x. Volvemos a hacer la división de fracciones algebraicas y en este caso lo que

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00:05:11,079 --> 00:05:15,620
obtenemos es una fracción algebraica cuyo denominador es una constante, así que lo que

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00:05:15,620 --> 00:05:23,019
obtenemos en realidad es una función polinómica. x al cubo menos 2x cuadrado menos x más 2. Para

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00:05:23,019 --> 00:05:27,779
determinar el dominio de g partido por f vamos a operar de forma análoga como hicimos anteriormente.

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00:05:27,779 --> 00:05:33,699
vamos a utilizar la definición. Vamos a determinar ese dominio como la intersección de los dominios

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00:05:33,699 --> 00:05:39,480
de g y de f excluyendo los valores de x, en este caso pertenecientes al dominio de f, que es la

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00:05:39,480 --> 00:05:44,899
función que tenemos en el denominador, que hacen que ese denominador f de x sea igual a cero. La

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00:05:44,899 --> 00:05:49,459
intersección de los dominios de g y f, ya hemos discutido anteriormente, es toda la recta real

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00:05:49,459 --> 00:05:56,079
excluyendo el número 2 y en este caso vamos a excluir los valores de x pertenecientes al dominio

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00:05:56,079 --> 00:06:02,100
de f, que será toda la recta real excluyendo el 2, que hacen que el denominador f de x,

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00:06:02,399 --> 00:06:09,920
1 entre x menos 2, se haga 0. Lo que nos va a quedar no tiene solución. 1 entre x menos

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00:06:09,920 --> 00:06:15,040
2 no va a ser igual a 0 nunca. De tal forma que a la intersección de los dos dominios

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00:06:15,040 --> 00:06:19,660
deberíamos excluirle el conjunto vacío. Y lo que nos va a quedar como dominio de g

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00:06:19,660 --> 00:06:27,720
partido por f de x es toda la recta real excluyendo el número 2. Y vamos a comprobar que obtenemos un

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00:06:27,720 --> 00:06:33,740
resultado llamativo y matemáticamente relevante. Fijaos en que si yo voy a la definición de la

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00:06:33,740 --> 00:06:40,079
función g partido por f de x, una vez hemos operado obtenemos una función polinómica y en principio

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00:06:40,079 --> 00:06:45,120
las funciones polinómicas van a estar bien definidas para cualquier valor de x perteneciente

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00:06:45,120 --> 00:06:51,439
a la recta real incluyendo el número 2. De hecho yo podría calcular la imagen de esta función con

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00:06:51,439 --> 00:06:57,439
el número 2. 2 al cubo menos 2 por 2 al cuadrado menos 2 más 2 tiene un valor real. Esta función

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00:06:57,439 --> 00:07:04,399
estaría bien definida para el valor x igual a 2. No obstante no debemos perder de vista que esta

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00:07:04,399 --> 00:07:11,199
función se ha obtenido a partir del cociente de dos funciones f y g y no tiene sentido utilizar

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00:07:11,199 --> 00:07:17,220
para esta función el valor de la variable independiente x igual a 2 puesto que no está

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00:07:17,220 --> 00:07:24,600
bien definido f de x en la definición de la propia función cociente g de x partido por f de x. Este es

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00:07:24,600 --> 00:07:30,220
un ejemplo en donde hemos de diferenciar lo que se denomina dominio natural de la función del

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00:07:30,220 --> 00:07:35,720
dominio real de la función. Esta función que tenemos aquí es una función polinómica y de

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00:07:35,720 --> 00:07:42,199
forma natural su dominio sería toda la recta real. No obstante, puesto que en realidad se define a

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00:07:42,199 --> 00:07:49,259
partir de este cociente, su dominio real es toda la recta real excluyendo el número 2. El polinomio

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00:07:49,259 --> 00:07:54,220
existe, tiene una imagen, toma una imagen cuando x es igual a 2, pero si tenemos en cuenta cuál es la

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00:07:54,220 --> 00:07:59,759
definición de esta función, g partido por f de x, no tiene sentido que preguntemos por la imagen de

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00:07:59,759 --> 00:08:05,360
la función cociente cuando x vale 2, puesto que el denominador es 0 y no está definida la

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00:08:05,360 --> 00:08:14,069
división entre cero. En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos

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00:08:14,069 --> 00:08:20,930
y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. No

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00:08:20,930 --> 00:08:25,529
dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

81
00:08:26,089 --> 00:08:27,490
Un saludo y hasta pronto.