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Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a este curso de Matemáticas 2 de segundo de bachillerato.

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Presento a continuación una herramienta que va a resultar esencial tanto en el álgebra como en la geometría.

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Se trata de determinante de una matriz.

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Con el determinante de una matriz vamos a poder resolver sistemas de ecuaciones, calcular rangos y calcular inversas de matrices.

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En este vídeo vamos a presentar la definición e intentar entenderla un poco. Ya veréis que va a resultar un tanto extraña.

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Vamos pues a dar la definición de determinante. Para que un determinante pueda calcularse, la matriz debe ser cuadrada.

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00:00:44,100 --> 00:00:51,759
Entonces, si tenemos una matriz cuadrada de dimensión n por n, el determinante, y se va a escribir entre líneas verticales en lugar de entre paréntesis,

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00:00:51,759 --> 00:00:59,840
es un número que se calcula de la siguiente forma, con una fórmula que como veis es muy rara, imagino que no se entiende,

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00:01:00,020 --> 00:01:04,000
así que vamos a ir deteniéndonos poco a poco en esa fórmula y explicando cada una de sus partes.

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00:01:04,599 --> 00:01:11,760
Entonces, empezamos con la primera parte a entender qué es S sub n. S sub n es el conjunto de las permutaciones,

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00:01:12,420 --> 00:01:17,519
es el grupo de permutaciones de n elementos. ¿Qué es una permutación? Bien, pues una permutación,

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00:01:17,519 --> 00:01:41,120
Se estudian las permutaciones en combinatoria en cuarto de la ESO. Lo vamos a recordar en un momento, es muy sencillo. Si tenemos un conjunto de elementos, ahí tenéis cuatro personas, una permutación de esos elementos es simplemente una reordenación de los mismos en la que, pues por ahí tenéis que la secuencia 1, 2, 3, 4 se ha permutado en la 3, 4, 2, 1.

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00:01:41,120 --> 00:01:55,700
Bien, eso es una permutación. Las permutaciones las podemos denotar de esa forma, como una primera fila el orden de partida y la segunda fila, 3, 4, 2, 1, el orden de llegada.

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00:01:56,359 --> 00:02:09,180
Bien, ¿cuántas permutaciones hay en un grupo de permutaciones de n elementos? Bueno, pues hay n factorial. n factorial, que es el número n por n-1 por n-2, etc., hasta multiplicar el 3 por 2 por 1.

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00:02:09,180 --> 00:02:20,520
Y eso, ¿son números grandes? Pues por ejemplo, ese sub 5, si tuviésemos que calcular un determinante de orden 5, tendríamos que trabajar con 120 permutaciones.

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00:02:20,819 --> 00:02:26,740
Si tuviésemos, sin embargo, que calcular un determinante de orden 4, el número de permutaciones serían 4 factorial 24.

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00:02:27,699 --> 00:02:33,039
Bien, volvamos a la definición y vamos a intentar entender esa otra parte de la definición.

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00:02:33,039 --> 00:02:38,879
Es decir, cómo se comporta la permutación a la hora de elegir qué términos de la matriz multiplico.

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00:02:40,159 --> 00:02:47,919
Bien, como los primeros subíndices siempre van a ser 1, 2, 3 hasta n, va a querer decir que vamos a elegir un término por cada una de las filas.

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00:02:48,360 --> 00:02:55,580
Mientras que las columnas van a ser una permutación de estos números, es decir, también vamos a elegir un término de cada columna.

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00:02:55,580 --> 00:03:00,379
En nuestro ejemplo tendríamos los términos a1, 3, a2, 4, a3, 2 y a4, 1.

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00:03:00,979 --> 00:03:06,000
¿Dónde están esos términos? Bueno, pues si buscamos en la matriz, esos términos los tenéis situados ahí.

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00:03:06,000 --> 00:03:11,759
¿Y qué hay de especial en esta ordenación de los términos de la matriz?

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00:03:12,039 --> 00:03:16,300
Hemos elegido cuatro términos que verifican que están cada uno de ellos en una fila

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00:03:16,300 --> 00:03:19,000
y cada uno de ellos también en una columna distinta.

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00:03:19,439 --> 00:03:22,599
Sumando, todos los términos van a estar en filas y columnas distintas.

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00:03:22,979 --> 00:03:26,740
Por tanto, para calcular el determinante habría que calcular todos estos productos

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00:03:26,740 --> 00:03:29,300
de todas las posibles permutaciones, que verifiquen esto,

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00:03:29,819 --> 00:03:33,539
y añadir un signo. ¿Qué es el signo de una permutación?

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00:03:34,080 --> 00:03:40,699
Bueno, pues el signo de una permutación es un signo más o menos en función de si la permutación se llama par o impar.

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00:03:41,360 --> 00:03:46,479
Bueno, vamos a ver cómo se calcula este signo con el ejemplo que estamos teniendo entre manos, 3, 4, 2, 1.

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00:03:46,479 --> 00:03:52,860
Si queremos ordenar estos números 3, 4, 2, 1 en el orden natural 1, 2, 3, 4, ¿qué podemos hacer?

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00:03:52,960 --> 00:04:00,520
Pues el término 1, el último, lo podemos colocar mediante lo que se llaman transposiciones en el primer lugar.

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00:04:00,740 --> 00:04:02,979
¿Cuántas transposiciones hemos utilizado? Pues 3.

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00:04:03,539 --> 00:04:12,180
Si ahora vamos a colocar el 2 en el segundo lugar, lo que tendremos que utilizar es una cuarta transposición y una quinta transposición.

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00:04:12,560 --> 00:04:15,460
En total, ¿cuántas transposiciones hemos usado? 5.

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00:04:15,800 --> 00:04:20,959
Con lo cual, el signo va a ser negativo porque el número de transposiciones es impar.

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00:04:21,699 --> 00:04:22,660
Bueno, y eso es el signo.

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00:04:23,279 --> 00:04:26,740
Entonces, ¿cuántas permutaciones pares hay en total?

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00:04:26,740 --> 00:04:28,040
Pues la mitad justo.

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00:04:28,220 --> 00:04:29,480
¿Y cuántas impares? La mitad.

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00:04:29,720 --> 00:04:30,399
¿Eso qué significa?

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00:04:30,399 --> 00:04:38,579
Pues que en el determinante, en la fórmula del determinante, nosotros vamos a tener la mitad de términos con signo más y la mitad de términos con signo menos.

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00:04:39,279 --> 00:04:41,319
¿Qué habría que hacer para un determinante 4x4?

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00:04:41,800 --> 00:04:45,399
Pues bueno, pues habría que calcular 24 permutaciones.

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00:04:46,420 --> 00:04:47,959
Madre mía, 24, casi nada.

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00:04:48,399 --> 00:04:53,800
Luego hay que calcular, bueno, primero que no falte ninguna y luego pues habrá que calcular sus signos.

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00:04:54,240 --> 00:04:58,839
Después hay que calcular los productos de todo esto con su signo y después sumar todo.

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00:04:58,839 --> 00:05:07,980
Total, un jaleo de cuidado. ¿Qué podemos hacer? ¿Cómo podemos arreglar esto? Pues desde luego no vamos a operar así. Esto todo va a ser mucho más sencillo.

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00:05:08,379 --> 00:05:18,180
Nos va a bastar con aprender a calcular los determinantes de orden 2 y de orden 3 y a partir de estos vamos a poder calcular si lo necesitásemos determinantes de órdenes mayores.

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00:05:18,180 --> 00:05:29,600
Y en realidad la definición no la vamos a usar. O sea que nos vamos a limitar a utilizar el determinante porque tiene muchas utilidades prácticas, pero no vamos a partir de la definición teórica nunca. No os preocupéis.

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00:05:30,100 --> 00:05:41,100
Vamos a ver un ejemplo de cómo calcular el determinante de 2x2. Bueno, pues en este caso solo va a haber dos permutaciones en el grupo simétrico de dos elementos.

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00:05:41,100 --> 00:05:44,399
así que en realidad hay solo dos sumandos, uno con más y otro con menos, ahí los tenéis.

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00:05:44,639 --> 00:05:48,980
Muy fácil, la diagonal principal iría con más, la secundaria iría con menos.

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00:05:49,519 --> 00:05:54,259
Y pues hay que multiplicar los elementos de la diagonal y restarles los de la complementaria y listo.

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00:05:54,319 --> 00:06:02,259
Por ejemplo, ese determinante, el determinante de la matriz 1 menos 2 menos 2, 6, sería 1 por 6 menos menos 2 por menos 2.

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00:06:02,660 --> 00:06:05,060
Ojo con los signos, que va a haber muchos signos negativos.

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00:06:05,220 --> 00:06:07,519
Total, 2. Se hace la cuenta y listo.

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00:06:08,399 --> 00:06:10,579
¿Qué pasaría en un determinante de 3 por 3?

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00:06:10,579 --> 00:06:22,800
Bueno, esto se le llama regla de Sarrus, esta regla mnemotécnica, lo vais a ver, tenéis ahí una pedazo de fórmula, son seis términos, porque es 3 factorial, 3 por 2 por 1, 3 con signo más y 3 con signo menos.

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00:06:22,800 --> 00:06:34,060
Entonces, ¿cómo van los signos? Bueno, pues los tres primeros van con signo más, que corresponden a esos términos que veis ahí señalados en verde. Es muy fácil de recordar, esto lo vais a recordar enseguida.

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00:06:34,060 --> 00:06:46,860
Los otros van a ir con signo menos, el de la diagonal secundaria y los otros dos triángulos. Esos con signo menos. Pues para calcular el determinante hay que operar y listo.

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00:06:47,259 --> 00:06:58,339
Vamos a hacer un ejemplo. Hacemos un ejemplo, ahí tenéis ese determinante, calcularíamos los que van con más, que son esos, los que van con menos, cambiados de signo, que serían esos tres,

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00:06:58,339 --> 00:07:06,939
y luego pues lo que habría que hacer pues es operar operamos esos números y al final el resultado es 16 y ese es el valor del determinante 16

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00:07:06,939 --> 00:07:16,019
bueno pues esto ha sido todo en próximos vídeos vamos a profundizar sobre las aplicaciones y las propiedades de los determinantes de matrices cuadradas

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00:07:16,019 --> 00:07:17,199
hasta luego un saludo