1
00:00:00,880 --> 00:00:07,259
Bueno, pues vamos con este ejercicio de BAU que va a ser el primero de los ejercicios de un examen de análisis global

2
00:00:07,259 --> 00:00:13,480
y el primero de una lista de ejercicios resueltos de análisis de matemáticas 2.

3
00:00:14,240 --> 00:00:21,820
Comenzamos con este en el que nos dan una función de grado 6, es el ejercicio propuesto del BAU de Madrid, el ejercicio orientativo.

4
00:00:22,379 --> 00:00:27,780
Entonces nos piden primero estudiar el crecimiento de crecimiento máximos y mínimos relativos y determinar si son estos absolutos o no.

5
00:00:27,780 --> 00:00:36,140
Es decir, vamos a hacer un estudio de la primera derivada, luego una integral en el área de la región acotada y luego una recta tangente.

6
00:00:36,859 --> 00:00:45,079
Así que vamos allá. Para ello, lo primero es estudiar la derivada, así que vamos acá a derivar, calculamos la derivada.

7
00:00:45,740 --> 00:00:57,740
La derivada de nuestra función va a ser 6x a la quinta menos 16x al cubo. Vamos a igualar a cero para encontrar los posibles máximos y mínimos relativos.

8
00:00:57,780 --> 00:01:16,879
Entonces igualando a 0 sacamos factor común al x al cubo y bueno pues nos queda lo siguiente. 6x, bueno podría haber sacado factor común al 2 ¿verdad? 6x al cuadrado menos 16 y eso es 0.

9
00:01:16,879 --> 00:01:31,980
Sí, primero, la x puede ser 0, segundo, la x puede ser más menos, dividiendo esto entre 2, 16 sextos, raíz cuadrada de 16 sextos, o lo que es lo mismo, más menos raíz cuadrada de 8 tercios.

10
00:01:32,620 --> 00:01:38,019
Bueno, tenemos ahí dos posibles máximos y mínimos y otro posible eventual máximo y mínimo.

11
00:01:38,540 --> 00:01:43,680
Para ver si son, y como nos piden estudiar el crecimiento, el crecimiento lo suyo es estudiar los signos de la derivada.

12
00:01:43,680 --> 00:02:03,760
Así que vamos con ello. Los signos de la derivada pueden cambiar en los ceros de la derivada, es decir, vamos a delimitar la recta real, podemos dibujar la recta real si queremos, y aquí pongo el menos raíz de 8 tercios, aquí vamos a poner el cero y aquí, por cierto, la raíz de 8 tercios.

13
00:02:03,760 --> 00:02:14,840
Si os fijáis, la función es par, así que va a ser simétrica. Nos tiene que quedar algo completamente simétrico porque, si os dais cuenta, f de menos x es igual a f de x.

14
00:02:14,939 --> 00:02:25,939
La función es par, es decir, simétrica respecto del eje y. Va a ser, pues de hecho, algo, si luego lo vemos, tal que así. Simétrica completamente, como una w.

15
00:02:25,939 --> 00:02:43,439
Con lo cual, eso se tiene que reflejar aquí en la tabla de signos. Vamos a estudiar los signos de la derivada y por ejemplo, para un número gigante negativo, esto va a acabar siendo negativo porque va a ganar el exponente quinto, que va a ser como es impar, negativo.

16
00:02:43,439 --> 00:02:59,580
así que la función, voy a poner un otro color para que se vea bien claro, la derivada es negativa ahí, aquí va a ser 0, en el 1 si sustituyo en el 1, pues en el menos 1, perdón, aquí por ejemplo tengo el menos 1, verdad, por aquí tendría el menos 1,

17
00:02:59,580 --> 00:03:20,719
Si sustituimos va a dar positivo. En el 0 hemos creado que es 0. En el 1 sustituyendo queda 6 menos 16 menos 10, negativo. Y aquí va a quedar 0. Y aquí, pues, como la función tiene infinito, pues va a ser positivo, cogiendo números suficientemente grandes como para que esta potencia quinta gane a esta potencia cúbica.

18
00:03:20,719 --> 00:03:53,689
Y bueno, pues entonces concluimos lo siguiente. La función f es creciente en los intervalos donde la derivada es positiva, es decir, aquí y aquí, es decir, en el intervalo de menos 8 tercios hasta 0 unión desde raíz de 8 tercios en adelante.

19
00:03:54,370 --> 00:04:10,539
Y va a ser decreciente en, pues desde menos infinito a menos raíz de 8 tercios y desde 0 a más raíz de 8 tercios.

20
00:04:10,800 --> 00:04:12,500
Y tendríamos completado el apartado A.

21
00:04:12,979 --> 00:04:17,560
Respecto al apartado B nos piden estudiar los máximos y mínimos.

22
00:04:18,079 --> 00:04:23,779
Fijaos que ya tenemos claro que aquí la función baja y luego sube, con lo que esto es un mínimo, ¿verdad?

23
00:04:23,779 --> 00:04:27,000
porque la función pasa de decrecer a crecer

24
00:04:27,000 --> 00:04:30,540
aquí vamos a tener que pasa de crecer a decrecer

25
00:04:30,540 --> 00:04:31,800
luego aquí esto va a ser un máximo

26
00:04:31,800 --> 00:04:33,939
y aquí vamos a tener un mínimo

27
00:04:33,939 --> 00:04:39,360
por la tabla de signos la función pasa de decrecer a crecer

28
00:04:39,360 --> 00:04:45,939
es decir, en x igual a menos y a más raíz de 8 tercios

29
00:04:45,939 --> 00:04:48,259
recordad que es simétrica, tiene que ser simétrica

30
00:04:48,259 --> 00:04:55,279
f tiene un mínimo

31
00:04:55,279 --> 00:04:56,720
que en principio pueden ser relativos

32
00:04:57,139 --> 00:05:08,399
y en x igual a 0 hay un máximo que en principio es relativo

33
00:05:08,399 --> 00:05:25,529
pero fijaos, como la función es simétrica

34
00:05:25,529 --> 00:05:29,430
el valor de este mínimo y de este mínimo tienen que ser el mismo

35
00:05:29,430 --> 00:05:30,730
de hecho los podemos calcular

36
00:05:30,730 --> 00:05:37,189
el valor de la función en más menos raíz de 8 tercios

37
00:05:37,189 --> 00:05:41,410
vale, pues como hay que calcular elevado a la sexta menos 4 veces

38
00:05:41,410 --> 00:06:05,129
Esto sería 8 partido 3 al cubo menos 4 veces 8 partido por 3 al cuadrado, sacando factor común a 64 novenos, esto nos quedaría 64 novenos de 8 tercios menos 4, que es negativo, ¿verdad? Esto es menor que 0.

39
00:06:05,129 --> 00:06:08,350
luego el dibujo va a quedar algo tal que así

40
00:06:08,350 --> 00:06:11,329
vamos a tener por aquí ese valor

41
00:06:11,329 --> 00:06:13,170
por aquí este valor completamente simétrico

42
00:06:13,170 --> 00:06:14,290
f de 0 que es 0

43
00:06:14,290 --> 00:06:21,439
y la función necesariamente tiene que hacer esto

44
00:06:21,439 --> 00:06:25,199
subir, luego bajar y luego volver a subir

45
00:06:25,199 --> 00:06:27,540
aquí va a haber un punto de corte y otro punto de corte

46
00:06:27,540 --> 00:06:28,620
que luego nos calcularemos

47
00:06:28,620 --> 00:06:33,540
y bueno pues del dibujo se deduce que

48
00:06:33,540 --> 00:07:00,019
F tiene dos mínimos absolutos. En X igual a más menos raíz de 8 tercios. En el menos raíz de 8 tercios y en el más raíz de 8 tercios. Son absolutos.

49
00:07:00,019 --> 00:07:20,220
Bueno, vamos con el apartado C. En el apartado C nos piden que integremos, que calculemos un área. Que nos están pidiendo que calculemos el área de ese recinto plano, es decir, el área, este área de aquí más este área de aquí.

50
00:07:20,220 --> 00:07:36,360
Entonces por simetría podemos calcular esta y multiplicarla por 2. El área pedida es el doble de la integral entre 0 y este valor que tenemos que calcular, este valor A, que no sé cuál es, D, y como la función es negativa pues tendré que integrar menos la función.

51
00:07:37,100 --> 00:07:38,180
Eso es lo que me están pidiendo.

52
00:07:38,699 --> 00:07:40,339
Ahora, ¿cuál es ese valor a?

53
00:07:40,480 --> 00:07:45,339
Pues hay que resolver la ecuación x a la sexta menos 4x a la cuarta igualada a cero

54
00:07:45,339 --> 00:07:48,740
para ver dónde están los puntos de corte, que evidentemente van a ser tres,

55
00:07:49,259 --> 00:07:53,720
uno en el cero y uno en el, un cierto valor a y otro en el menos a.

56
00:07:54,120 --> 00:07:59,579
x a la cuarta por x cuadrado menos 4 igual a cero al factorizar,

57
00:07:59,699 --> 00:08:03,540
luego x es igual a más menos raíz de 4 que es 2.

58
00:08:03,699 --> 00:08:04,639
Estos son los dos valores.

59
00:08:04,639 --> 00:08:25,160
Así que ese valor de ahí, el a, era 2. Tenemos que integrar hasta el 2. Y ahora la cuenta es súper sencilla porque esta función se integra muy bien y en la integral valdrá el doble de 4x a la cuarta menos 6 menos x a la sexta.

60
00:08:25,160 --> 00:08:29,930
Fijaos que ya le he dado la vuelta por este sino menos

61
00:08:29,930 --> 00:08:35,830
Y e integramos entre 0 y 2

62
00:08:35,830 --> 00:08:37,210
Y eso es el doble

63
00:08:37,210 --> 00:08:41,669
Pues nada, integramos, sustituimos por el 2 y se acabó

64
00:08:41,669 --> 00:08:46,690
4x a la quinta partido por 5 menos x a la séptima partido por 7

65
00:08:46,690 --> 00:08:48,090
Entre 0 y 2

66
00:08:48,090 --> 00:08:53,690
Es decir, 2 que multiplica 4 por 2 a la quinta partido por 5

67
00:08:53,690 --> 00:08:56,549
Menos 2 a la séptima partido por 7

68
00:08:56,549 --> 00:09:00,029
y haciendo la cuenta se acabó, ese es el área

69
00:09:00,029 --> 00:09:07,000
y bueno, pues vamos con el D, en el D nos están pidiendo

70
00:09:07,000 --> 00:09:10,480
que la recta en un momento dado va a tener

71
00:09:10,480 --> 00:09:14,600
una derivada, o sea, una recta tangente que va a ser

72
00:09:14,600 --> 00:09:18,840
paralela a esta recta, es decir, yo voy a tener esa recta

73
00:09:18,840 --> 00:09:21,399
que va a ser, yo voy a tener esta función

74
00:09:21,399 --> 00:09:26,940
y en algún momento dado la recta tangente

75
00:09:26,940 --> 00:09:39,460
que no está, pero bueno, vaya dibujo que estamos haciendo. En un momento dado, por aquí, la recta va a ser paralela a esta recta que tenéis, que tiene pendiente y igual a menos 6x,

76
00:09:40,080 --> 00:09:53,240
pues la pendiente ahí también será menos 6. Si estas dos rectas son paralelas en el dibujo, cuesta verlo. Bueno, y eso, ¿qué quiere decir? Pues que en un determinado valor de la derivada de f,

77
00:09:53,240 --> 00:09:57,600
de la derivada va a valer menos 6, este es el valor de la derivada

78
00:09:57,600 --> 00:10:01,519
de manera que yo la recta la voy a poner de la siguiente

79
00:10:01,519 --> 00:10:04,559
forma, y menos f de x sub 0

80
00:10:04,559 --> 00:10:09,679
igual a f' de x sub 0 por x menos x sub 0

81
00:10:09,679 --> 00:10:13,580
donde este f' de x sub 0 vale menos 6 porque me están dando el valor

82
00:10:13,580 --> 00:10:20,490
de la derivada, es decir, quedaría algo así. Bueno, y

83
00:10:20,490 --> 00:10:24,409
creo que hasta ahí podríamos llegar porque si intentamos resolver la ecuación, fijaos

84
00:10:24,409 --> 00:10:45,600
que pasa la derivada de esta función es 6x a la quinta menos 16x al cubo y esto lo tenemos que igualar a menos 6 con lo cual pues si dividimos entre 3

85
00:10:45,600 --> 00:10:59,320
nos va a quedar entre 2, nos va a quedar 3x a la quinta menos 8x al cubo más 3 igual a 0 y esto habría que resolver la ecuación y yo lo he comprobado con el ordenador

86
00:10:59,320 --> 00:11:05,539
y las soluciones no son nada sencillas, no dan soluciones que se puedan calcular así, así que complicado terminarlo.

87
00:11:05,539 --> 00:11:17,860
¿Con qué lo dejaríamos por aquí? X tendría que ser una solución de esta ecuación que no podemos resolver.

88
00:11:17,860 --> 00:11:21,820
O sea que algo han debido poner mal los que han planteado este ejercicio.

89
00:11:21,919 --> 00:11:26,799
Bueno, pues lo dejamos aquí. Este ha sido el primero de los ejercicios de esta serie.

90
00:11:27,379 --> 00:11:32,500
Vamos a continuar con ejercicios como el siguiente, un límite, pero eso ya es en el siguiente vídeo.

91
00:11:32,679 --> 00:11:33,059
¡Hasta luego!