1
00:00:00,590 --> 00:00:05,269
Hola, vamos a ver este ejercicio en el que me piden que discuta según los valores del parámetro lambda

2
00:00:05,269 --> 00:00:08,330
la posición relativa de los tres planos que me dan, ¿vale?

3
00:00:08,750 --> 00:00:12,669
Bien, pues vamos a empezar como si fuera el típico problema de álgebra,

4
00:00:13,109 --> 00:00:17,129
porque tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, ¿no?

5
00:00:17,129 --> 00:00:23,050
Por lo tanto, lo primero que vamos a hacer es estudiar el valor del determinante de la matriz de coeficientes,

6
00:00:23,050 --> 00:00:36,549
la matriz. En este caso sería 1, 4, 2 por lambda más 1, lo voy a poner tal y como viene,

7
00:00:38,109 --> 00:00:51,170
de i sería 0, lambda menos 2, menos, ah no, aquí sería 0, no hay i en la segunda ecuación,

8
00:00:51,170 --> 00:01:05,510
así que un 0 y la z aquí sería 1, en la segunda ecuación la z es lambda más 2 y en la tercera ecuación la z es menos lambda más 6.

9
00:01:05,510 --> 00:01:22,819
Lo estoy escribiendo tal y como viene, ¿vale? Calculamos este determinante y esto sería lambda menos 2 por menos lambda menos 6

10
00:01:22,819 --> 00:01:35,379
más 0, más 0, menos 2 por lambda más 1 por lambda menos 2, más 0, más 0, ¿vale?

11
00:01:36,159 --> 00:01:45,939
Venga, pues esto lo multiplicamos, también podríamos sacar factor común al lambda menos 2 en los dos y operarlo,

12
00:01:45,939 --> 00:01:58,239
o directamente lo multiplicamos, esto sería menos lambda cuadrado menos 6 lambda más 2 lambda más 12

13
00:01:58,239 --> 00:02:09,159
y aquí sería menos 2 lambda cuadrado menos, o sea, más 4 lambda, bueno ya sé que mis landas son raras, ¿vale?

14
00:02:09,159 --> 00:02:14,020
Y cada vez, y aquí con la tabla me salen aún mucho más raras

15
00:02:14,020 --> 00:02:26,879
Más 4 lambda, menos 2 lambda, menos 2 lambda, más 4, ¿vale?

16
00:02:27,599 --> 00:02:35,539
Es decir que si operamos, esto me queda menos 3 lambda cuadrado, ¿vale?

17
00:02:35,539 --> 00:02:39,860
menos 4 más 4 es 0

18
00:02:39,860 --> 00:02:43,759
menos 2 lambda

19
00:02:43,759 --> 00:02:51,139
y los números serían 12 más 4 más 16

20
00:02:51,139 --> 00:02:54,060
y lo que hacemos es resolver

21
00:02:54,060 --> 00:02:56,719
vamos a igualar a 0 y resolvemos esta ecuación

22
00:02:56,719 --> 00:02:59,979
os voy a dar directamente las soluciones

23
00:02:59,979 --> 00:03:02,979
salen las que a vosotros nunca os gustaría

24
00:03:02,979 --> 00:03:04,240
porque salen fracciones

25
00:03:04,240 --> 00:03:06,759
me sale que lambda puede tener dos valores

26
00:03:06,759 --> 00:03:12,580
que son 2 y menos 8 tercios, vosotros lo resolvéis, ¿vale?

27
00:03:12,599 --> 00:03:17,219
por la ecuación de segundo grado normal y corriente, pero para que el vídeo no se haga demasiado largo

28
00:03:17,219 --> 00:03:21,219
hemos obtenido dos soluciones, ¿vale? pues ahora tenemos que empezar a discutir

29
00:03:21,219 --> 00:03:28,020
a ver, el primer caso, el más sencillo, ¿qué ocurre si lambda es distinto de 2

30
00:03:28,020 --> 00:03:32,259
y lambda es distinto de menos 8 tercios?

31
00:03:32,259 --> 00:03:50,419
Bueno, pues en este caso el determinante de C sería distinto de 0, lo que significaría que el rango de la de coeficiente sería 3 y por lo tanto coincidiría con el rango de la ampliada y además con el número de incógnitas.

32
00:03:50,419 --> 00:04:14,180
Por lo tanto, sería por el teorema de Rouchet, un sistema compatible determinado tendríamos una única solución, que en nuestro caso, geométricamente lo que significa es que los planos se cortan en un punto, ¿vale? Se cortan en un punto.

33
00:04:15,099 --> 00:04:18,500
Lo típico como el sistema de coordenadas o las esquinas, ¿vale?

34
00:04:18,639 --> 00:04:20,180
Estos serían los tres planos.

35
00:04:20,800 --> 00:04:24,240
Este sería un plano, este sería el otro plano y este sería el tercer plano.

36
00:04:24,779 --> 00:04:26,560
Y los tres planos se cortan en un punto.

37
00:04:27,199 --> 00:04:29,180
Vale, pues ahora ¿qué tenemos que hacer?

38
00:04:29,259 --> 00:04:31,180
Después de haber visto el caso más sencillo,

39
00:04:32,339 --> 00:04:35,000
ahora lo que tendríamos que hacer, lo voy a ir dejando aquí,

40
00:04:35,339 --> 00:04:36,980
es estudiar cada uno de los casos.

41
00:04:38,079 --> 00:04:41,000
Primer caso, ¿qué ocurre si lambda es igual a 2?

42
00:04:41,000 --> 00:05:08,269
Pues a ver, si lambda es igual a 2, el sistema que me queda sería, bueno lo tengo en un papel, lo voy copiando para no estar subiendo y bajando, me quedaría x más z igual 2, 4x más 4z igual 1, 6x menos 8z igual a menos 2.

43
00:05:08,269 --> 00:05:14,550
Este sería el sistema en el que ya sabemos que la matriz de coeficientes es directamente

44
00:05:14,550 --> 00:05:19,110
O sea, el determinante es 0, que el rango no va a ser 3, ¿vale?

45
00:05:19,410 --> 00:05:24,310
Pero bueno, también podemos simplemente fijarnos, darnos un vistacillo y darnos cuenta

46
00:05:24,310 --> 00:05:30,389
Si este es el plano, habíamos dicho, se llamaban pi1, pi2 y pi3, ¿vale?

47
00:05:30,930 --> 00:05:36,790
Este es el plano pi1, este es pi2 y este es pi3

48
00:05:36,790 --> 00:05:44,709
Si nos fijamos en el pi1 y en el pi2, ¿qué le pasa al vector normal?

49
00:05:45,089 --> 00:05:47,949
Que son proporcionales, ¿verdad? Es multiplicarle por 4

50
00:05:47,949 --> 00:05:52,930
Es decir, si yo estudio el pi1 con el pi2

51
00:05:52,930 --> 00:05:59,269
Lo que obtengo es que 1 es a4, como 1 es a4, ¿verdad?

52
00:05:59,269 --> 00:06:03,629
El otro sería 0 es a0, pero no es lo mismo que 2 es a1

53
00:06:03,629 --> 00:06:09,490
¿Esto qué quiere decir? Que pi1 es paralelo a pi2

54
00:06:09,490 --> 00:06:14,069
Y como pi3 no es proporcional a ninguno de ellos

55
00:06:14,069 --> 00:06:17,790
Es decir, si yo comparo por ejemplo el pi1 con el pi3

56
00:06:17,790 --> 00:06:24,589
Lo que obtengo es que 1 partido por 6 es distinto de 1 partido por menos 8

57
00:06:24,589 --> 00:06:26,670
Es decir, no son paralelos

58
00:06:26,670 --> 00:06:31,709
Pi1 no es paralelo a pi3

59
00:06:31,709 --> 00:06:41,610
Entonces si dos planos no son paralelos, obviamente no son coincidentes porque los vectores no son paralelos, lo que quiere decir es que son secantes.

60
00:06:42,149 --> 00:07:02,639
Por lo tanto con esto no tendríamos que estar calculando más matrices y determinantes, con esto directamente lo que podemos decir es que tenemos dos planos paralelos cortados por un tercero.

61
00:07:02,639 --> 00:07:15,519
¿Vale? Es decir que tendríamos aquí arriba estaría el pi 1, aquí abajo por ejemplo estaría el pi 2 y el pi 3 que los corta aquí a los 3, a los 2, perdón.

62
00:07:16,240 --> 00:07:19,439
¿Vale? Este sería en el caso lambda igual 2.

63
00:07:20,040 --> 00:07:23,300
Pero ahora, ¿qué me falta? El lambda igual a menos 8 tercios.

64
00:07:24,399 --> 00:07:26,139
Tenemos que estudiar también ese caso.

65
00:07:26,459 --> 00:07:29,660
¿Qué ocurre si lambda es igual a menos 8 tercios? Pues a ver.

66
00:07:29,660 --> 00:07:43,120
Aquí nos quedan unas ecuaciones con denominadores, pero no pasa nada, nos queda que pi1 sería la ecuación x más z igual a menos 8 tercios,

67
00:07:44,120 --> 00:08:00,800
que pi2 sería la ecuación 4x menos 14 tercios de y menos 2z tercios y esto me da menos 2 tercios,

68
00:08:01,680 --> 00:08:16,750
Y el pi 3 me queda menos 10 tercios de x menos 10 tercios de z igual a 8 tercios.

69
00:08:17,970 --> 00:08:24,009
Vale, ya sé que lo de las fracciones y eso en el momento que lo veis como que se echa para atrás, pero fijaros que es una tontería.

70
00:08:24,689 --> 00:08:26,110
Hacemos igual que hemos hecho antes.

71
00:08:26,569 --> 00:08:29,069
¿Qué le pasa a la primera y a la tercera ecuación?

72
00:08:29,470 --> 00:08:32,629
Que en este caso son las que son muy parecidas también, ¿verdad?

73
00:08:32,629 --> 00:08:58,950
Ahora, de hecho, la tercera es menos 10 tercios, estoy multiplicando a la primera por menos 10 tercios, ¿vale? Es decir, que si yo miro la pi 1 y pi 3, si hago lo mismo de antes, lo que obtengo es que 1 partido por menos 10 tercios es lo mismo que 1 partido por menos 10 tercios,

74
00:08:58,950 --> 00:09:05,450
pero no es lo mismo que menos 8 tercios entre 8 tercios

75
00:09:05,450 --> 00:09:13,470
lo que significa es ahora es que pi 1 es paralelo con pi 3

76
00:09:13,470 --> 00:09:16,710
¿vale? antes era con pi 2 ahora es con pi 3

77
00:09:16,710 --> 00:09:18,690
¿qué ocurre con el pi 2?

78
00:09:18,690 --> 00:09:21,649
pues a ver si cogemos por ejemplo el pi 1 y el pi 2

79
00:09:21,649 --> 00:09:25,929
y hago lo mismo comparo coeficientes que obtengo

80
00:09:25,929 --> 00:09:39,309
que 1 partido por 4 no es lo mismo que 1 partido por menos 14 tercios, lo que significa que pi 1 no es paralelo con pi 2, por lo tanto va a ser secante.

81
00:09:39,789 --> 00:09:53,269
¿Y qué vamos a tener? Pues el mismo caso de antes. Tenemos que pi 1 y pi 3 son paralelos y pi 2 los corta los dos.

82
00:09:53,269 --> 00:10:12,820
¿Vale? Es decir, es el mismo dibujo pero ahora tendríamos aquí el pi1, aquí tendríamos el pi3 y tendríamos aquí un plano que le corta los dos que sería el pi2

83
00:10:12,820 --> 00:10:15,179
¿Vale? Pues este sería el ejercicio