1
00:00:01,710 --> 00:00:21,179
Bueno, vamos a dar comienzo a esta explicación en la cual vamos a ver cómo representar una función cuadrática, una parábola.

2
00:00:21,320 --> 00:00:28,559
Ya hemos visto en el anterior vídeo cómo son las funciones cuadráticas, qué tipo de curva tienen, ¿no?

3
00:00:28,800 --> 00:00:34,159
Y son todas parábolas. Las parábolas, ya hemos visto que en función de los valores de A, B y C,

4
00:00:34,159 --> 00:00:38,560
Las parábolas pueden ser más abiertas, más cerradas, abiertas hacia arriba, abiertas hacia abajo.

5
00:00:39,079 --> 00:00:42,179
El eje y el vértice pueden estar desplazados, pero todas son parábolas.

6
00:00:43,240 --> 00:00:49,679
Vamos a hacer este ejercicio que representa la función f de x igual a 3x al cuadrado menos 6x menos 9

7
00:00:49,679 --> 00:00:57,340
y estudia las características de esa función, como son dominio recorrido, continuidad, monotonía y extremos relativos y absolutos.

8
00:00:57,340 --> 00:01:04,760
La monotonía es decir, si la función es creciente o decreciente, en qué intervalos es creciente y en qué intervalos es decreciente.

9
00:01:05,140 --> 00:01:09,260
Y los extremos es los máximos, mínimos, absolutos y relativos.

10
00:01:09,900 --> 00:01:13,719
Empezamos, entonces tenemos aquí unos apuntes, ¿vale?

11
00:01:14,459 --> 00:01:17,239
Bueno, este punto 3 y punto 4 los voy a cambiar de orden.

12
00:01:18,099 --> 00:01:22,079
En estos apuntes tenemos cómo se representan, ¿vale? De manera resumidita, ¿vale?

13
00:01:22,079 --> 00:01:30,780
Lo primero es tener en cuenta las tres partes de la parábola que nos indican así a primera vista los valores de A, B y C.

14
00:01:31,299 --> 00:01:37,859
Primero que la abertura de la parábola que esté más o menos abierta depende del valor de A y que sea hacia arriba o hacia abajo depende del valor de A.

15
00:01:38,180 --> 00:01:50,180
Entonces, como A es 3, va a ser una parábola que va a estar un poquito cerrada, por eso si os fijáis, la escala la he achatado un poquito para que no quede tan cerrada.

16
00:01:52,079 --> 00:01:55,819
y hacia arriba, abierta hacia arriba porque es positivo.

17
00:01:57,079 --> 00:02:00,939
El eje de simetría viene determinado por los valores de A y B, ¿vale?

18
00:02:01,060 --> 00:02:06,319
Y en el caso de que B valiera cero, ya sabemos que el eje de simetría coincidiría con el eje de la cis.

19
00:02:06,319 --> 00:02:12,280
En este caso no es así, luego el eje no será este eje, será otra recta que habrá que calcular.

20
00:02:13,539 --> 00:02:18,120
¿Vale? Y por último, que el valor de C coincide con la segunda coordenada, la I,

21
00:02:18,120 --> 00:02:23,560
del punto de corte de la parábola con el eje de ordenadas, con el eje vertical.

22
00:02:23,860 --> 00:02:29,539
Es decir, la C es a la altura aquí en este eje por donde pasa.

23
00:02:30,060 --> 00:02:34,360
Entonces, como vale menos 9, ya sabemos que la función pasa por el 0, menos 9.

24
00:02:34,680 --> 00:02:37,800
Vamos a dibujar ese punto.

25
00:02:41,009 --> 00:02:41,909
Y lo tenemos.

26
00:02:43,210 --> 00:02:46,330
0, menos 9, ya sabemos que ese es un punto de la gráfica.

27
00:02:46,409 --> 00:02:49,189
La gráfica, la parábola, tiene que cortar a este eje ahí.

28
00:02:49,189 --> 00:02:51,150
Eso siempre nos lo va a dar el valor de c.

29
00:02:53,150 --> 00:02:54,449
Bueno, y vamos paso a paso.

30
00:02:54,610 --> 00:02:58,669
El primer paso va a ser el calcular el eje de simetría.

31
00:02:59,729 --> 00:03:05,009
Es una recta vertical que tiene por ecuación x igual a menos b partido por 2a.

32
00:03:05,590 --> 00:03:13,310
Menos b, es decir, menos menos 6 partido por 2 por a, partido por 2 por 3.

33
00:03:13,310 --> 00:03:21,229
Ese va a ser el punto de aquí sobre el cual tenemos que situar la recta vertical que va a ser el eje de simetría

34
00:03:21,229 --> 00:03:24,870
Entonces ese punto, el menos b partido por 2a, que además es muy fácil de recordar

35
00:03:24,870 --> 00:03:30,509
Porque si os fijáis, si yo le añado aquí un más menos la raíz cuadrada de b cuadrado menos 4c partido por 2a

36
00:03:30,509 --> 00:03:33,069
Esa es la fórmula de la ecuación de segundo grado

37
00:03:33,069 --> 00:03:37,650
Entonces solo nos tenemos que recordar de la primera parte de la ecuación de segundo grado

38
00:03:37,650 --> 00:03:41,729
De la fórmula para despejar la x en una ecuación de segundo grado

39
00:03:41,729 --> 00:03:49,009
menos de partido por dos a bueno pues nos vamos a aquí lo vamos a hacer aquí

40
00:03:49,330 --> 00:03:57,469
menos de partido por dos a que sea igual en nuestro caso a menos menos más 6

41
00:03:57,469 --> 00:04:05,830
partido por dos por 36 es decir 1 este valor de 1 es lo que llamamos la

42
00:04:05,830 --> 00:04:14,349
x sub-v, porque es la x del vértice. Entonces, el vértice de esta parábola va a tener su

43
00:04:14,349 --> 00:04:20,870
primera coordenada en el 1. Luego aquí tiene que estar el eje. Por lo tanto, vamos a señalar

44
00:04:20,870 --> 00:04:29,800
primero, vamos a fijar aquí el 1, vamos a señalar ahí el 1. Ahí lo tenemos, ¿vale?

45
00:04:29,819 --> 00:04:34,459
Y ahora sobre ese punto vamos a dibujar una recta vertical que es el eje de simetría,

46
00:04:34,459 --> 00:04:39,399
que sería esta recta de aquí, ahí la tenemos

47
00:04:39,399 --> 00:04:43,839
pues ya tenemos un punto de la función, de la gráfica

48
00:04:43,839 --> 00:04:47,899
y el eje de simetría, nos falta situar el vértice aquí, vamos a los apuntes

49
00:04:47,899 --> 00:04:51,879
y lo vemos, segundo cálculo del vértice, bueno ya tenemos la primera coordenada

50
00:04:51,879 --> 00:04:55,759
la xv, que en nuestro caso vale 1, pues ahora que hay que

51
00:04:55,759 --> 00:04:58,639
calcular la segunda, ¿cómo? pues haciendo f de 1

52
00:04:58,639 --> 00:05:03,819
es decir, para calcular la segunda coordenada

53
00:05:03,819 --> 00:05:07,139
perdón, para calcular lo que sería el vértice

54
00:05:07,139 --> 00:05:10,959
es sustituir aquí en f

55
00:05:10,959 --> 00:05:17,199
la x por xv, en nuestro caso será

56
00:05:17,199 --> 00:05:21,639
1 y ahora 3 por 1 al cuadrado

57
00:05:21,639 --> 00:05:26,060
menos 6 por 1

58
00:05:26,060 --> 00:05:31,600
menos 9, 1 al cuadrado es 1

59
00:05:31,600 --> 00:05:35,439
por 3, 3, menos 6, menos 9, 3 menos 15

60
00:05:35,439 --> 00:05:44,980
menos 12. Por lo tanto el vértice está a una altura de menos 12. Entonces tenemos que

61
00:05:44,980 --> 00:05:52,360
situar el vértice ahí en ese punto. Vamos a dibujarlo. Ahí está. Ya tenemos este punto,

62
00:05:53,100 --> 00:05:58,060
tenemos el eje de simetría, tenemos el vértice. Fijaos, al tener un eje de simetría y tener

63
00:05:58,060 --> 00:06:02,860
un punto, automáticamente tenemos otro. A la misma distancia, esta distancia es una

64
00:06:02,860 --> 00:06:04,939
unidad, porque el eje

65
00:06:04,939 --> 00:06:06,860
está aquí en el 1, pues una unidad

66
00:06:06,860 --> 00:06:08,339
más para allá, es decir, en el 2

67
00:06:08,339 --> 00:06:10,500
la función también tiene que valer menos 9

68
00:06:10,500 --> 00:06:12,740
¿vale? porque si no, no habría

69
00:06:12,740 --> 00:06:14,819
simetría, este punto tiene que tener otro punto

70
00:06:14,819 --> 00:06:16,240
simétrico aquí en el 2

71
00:06:16,240 --> 00:06:19,000
menos 9, si sustituyo aquí la x por 2

72
00:06:19,000 --> 00:06:20,800
me va a dar también menos 9

73
00:06:20,800 --> 00:06:22,360
igual que si la sustituyo por 0

74
00:06:22,360 --> 00:06:24,699
¿vale? pero no necesito hacerlo porque lo puedo

75
00:06:24,699 --> 00:06:26,480
hacer directamente dibujando el simétrico

76
00:06:26,480 --> 00:06:28,920
vamos a dibujar ese punto simétrico

77
00:06:28,920 --> 00:06:30,160
aquí lo tenemos, ¿vale?

78
00:06:30,560 --> 00:06:32,160
pues fijaos, ya tengo un punto

79
00:06:32,160 --> 00:06:33,939
el vértice, otro punto

80
00:06:33,939 --> 00:06:35,740
subsimétrico, ya más o menos

81
00:06:35,740 --> 00:06:38,180
sé que la parábola

82
00:06:38,180 --> 00:06:39,240
tiene que hacer algo así, ¿vale?

83
00:06:39,800 --> 00:06:42,279
¿Qué nos falta? Nos faltan los puntos de corte con los ejes

84
00:06:42,279 --> 00:06:43,839
con el eje de las X

85
00:06:43,839 --> 00:06:46,060
porque con el eje de la Y ya lo tenemos

86
00:06:46,060 --> 00:06:48,339
que hay que calcularlo siempre

87
00:06:48,339 --> 00:06:50,060
¿vale? Entonces van a ser

88
00:06:50,060 --> 00:06:51,240
dos puntos que van a estar

89
00:06:51,240 --> 00:06:53,259
sobre este eje

90
00:06:53,259 --> 00:06:56,259
a la derecha del eje

91
00:06:56,259 --> 00:06:58,139
de simetría y a la izquierda del eje a la misma

92
00:06:58,139 --> 00:06:59,540
distancia, ¿vale?

93
00:07:01,180 --> 00:07:02,000
En este caso

94
00:07:02,000 --> 00:07:05,879
sé que tiene que haber puntos de corte, porque si el vértice está aquí abajo

95
00:07:05,879 --> 00:07:09,959
y es abierto hacia arriba, la fuerza voy a tener que cortar, ¿vale? si el vértice me hubiera quedado

96
00:07:09,959 --> 00:07:13,779
arriba, entonces ya sé que puntos de corte con el eje de las X no habría

97
00:07:13,779 --> 00:07:18,480
¿vale? entonces, si me voy a los apuntes, ¿cómo se calcula?

98
00:07:18,740 --> 00:07:21,300
¿vale? es el punto aquí 4, pero que será el 3

99
00:07:21,300 --> 00:07:26,019
pues, para calcular los puntos de corte con el eje OX, como tenemos que

100
00:07:26,019 --> 00:07:30,040
buscar que la Y valga 0, es sustituir F de X por 0, es decir, me queda

101
00:07:30,040 --> 00:07:34,439
en la ecuación de segundo grado. Si sustituyo la f de x por cero, porque claro, en estos

102
00:07:34,439 --> 00:07:40,259
puntos, ¿cuánto vale la función? Si estoy en este aquí, a esta altura, es cero. Entonces

103
00:07:40,259 --> 00:07:45,100
sustituyo la x por cero y busco los x cuya imagen es cero, que esos van a ser los puntos

104
00:07:45,100 --> 00:07:49,620
de corte, ¿vale? O las primeras coordenadas de los puntos de corte. Entonces se trata

105
00:07:49,620 --> 00:08:01,480
de resolver la ecuación, la voy a poner aquí, 0 es igual a 3x al cuadrado menos 6x menos 9.

106
00:08:04,939 --> 00:08:15,680
Vale, entonces, pues x será igual a menos b, menos menos más 6, más menos la raíz cuadrada de b al cuadrado,

107
00:08:15,680 --> 00:08:41,100
36, menos, como aquí hay un menos, pues será más, 3 por 4, 12, y por 9, 108, entonces, 108, y partido por 2 por 3, 6, claro, fijaos, este menos b partido por 2a de aquí, este 6 partido por 6, el 1,

108
00:08:41,100 --> 00:08:46,259
fijaos que luego tenemos ese 1 y luego más esto

109
00:08:46,259 --> 00:08:49,320
y luego por otro lado menos esto, claro, por eso

110
00:08:49,320 --> 00:08:54,360
el eje está justo ahí, porque le sumo una cantidad

111
00:08:54,360 --> 00:08:58,080
a la derecha o se la resto y entonces mantengo la simetría

112
00:08:58,080 --> 00:09:01,559
vale, ahora

113
00:09:01,559 --> 00:09:06,519
esto es 144, luego esto es 12, luego me queda 6 más menos 12

114
00:09:06,519 --> 00:09:10,820
partido por 6, entonces esto en realidad es 1 más menos 2

115
00:09:10,820 --> 00:09:12,799
si lo queremos poner así para que lo entendamos

116
00:09:12,799 --> 00:09:14,000
6 entre 6 es 1

117
00:09:14,000 --> 00:09:16,360
y luego más menos 12 entre 6 es 2

118
00:09:16,360 --> 00:09:18,700
es decir, 1 más 2

119
00:09:18,700 --> 00:09:20,620
3, 1 menos 2

120
00:09:20,620 --> 00:09:22,659
menos 1, 3 y menos 1

121
00:09:22,659 --> 00:09:23,419
son las dos soluciones

122
00:09:23,419 --> 00:09:25,899
y los dos puntos van a estar aquí

123
00:09:25,899 --> 00:09:27,360
vale

124
00:09:27,360 --> 00:09:30,659
las soluciones son 3

125
00:09:30,659 --> 00:09:33,259
y menos 1

126
00:09:33,259 --> 00:09:34,740
vale

127
00:09:34,740 --> 00:09:36,940
es decir, desde el centro

128
00:09:36,940 --> 00:09:38,940
que es el eje de simetría

129
00:09:38,940 --> 00:09:45,659
dos a la derecha y dos a la izquierda vale 3 y menos 1 luego los puntos de corte son

130
00:09:47,580 --> 00:10:05,080
3 0 y menos 10 vamos a dibujar esos puntos ahí están los puntos de corte bueno pues ahora ya

131
00:10:05,080 --> 00:10:41,669
tengo, lo voy a hacer primero a mano alzada, y luego ya lo hago bien, buscamos, tiene que ser una palabra, así, ya lo podríamos dibujar, yo ahora lo voy a dibujar con el GeoGebra, vosotros en vuestro caderno dibujaríais una cosa así, me ha quedado un poco churro, pero seguro que vosotros lo hacéis mucho mejor, que sería esta la gráfica, voy a quitar el dibujo a mano alzada, para que se vea mejor, y ahí la tenemos,

132
00:10:41,669 --> 00:10:49,539
y luego esto ya estaría

133
00:10:49,539 --> 00:10:51,240
ya habríamos hecho la primera parte

134
00:10:51,240 --> 00:10:52,440
que es representar la función

135
00:10:52,440 --> 00:10:54,940
fijaos que si vamos a los apuntes

136
00:10:54,940 --> 00:10:56,879
hay un punto 4, que aquí está 3

137
00:10:56,879 --> 00:10:58,679
pero le voy a cambiar el orden

138
00:10:58,679 --> 00:11:00,120
que es tabla de valores

139
00:11:00,120 --> 00:11:03,659
y dice dar valores a la derecha y a la izquierda del eje de simetría

140
00:11:03,659 --> 00:11:05,340
al menos dos valores a cada lado

141
00:11:05,340 --> 00:11:06,879
y representar los puntos

142
00:11:06,879 --> 00:11:09,240
bueno, esto puede hacer falta

143
00:11:09,240 --> 00:11:10,340
o puede no hacer falta

144
00:11:10,340 --> 00:11:13,279
en este caso, fijaos que yo ya tengo dos valores a cada lado

145
00:11:13,279 --> 00:11:15,240
porque tengo uno aquí y otro aquí

146
00:11:15,240 --> 00:11:16,500
y son dos simétricos

147
00:11:16,500 --> 00:11:20,960
con lo cual ya con esto tendría bastante para hacer, he tenido bastante para hacer el dibujo

148
00:11:20,960 --> 00:11:23,960
claro, si a mí me hubiera quedado el vértice por ejemplo aquí arriba

149
00:11:23,960 --> 00:11:26,419
entonces yo solo tendría un valor aquí y otro aquí

150
00:11:26,419 --> 00:11:30,740
el punto de corte con la eje de la 6 y su simétrico

151
00:11:30,740 --> 00:11:33,559
me faltaría alguno más, entonces así quedaría valores

152
00:11:33,559 --> 00:11:37,740
entonces sería coger, como el eje está en 1, pues daría un valor por ejemplo para

153
00:11:37,740 --> 00:11:41,860
x igual a 2 o 3 o 4 y su simétrico aquí

154
00:11:41,860 --> 00:11:45,440
y ya tendría un poquito más de valores

155
00:11:45,440 --> 00:12:04,139
Pero generalmente cuando la función corta al eje de las X, como es este caso, con los puntos de corte con el eje de las X y con el punto de corte con el eje de las Y y su simétrico y con el vértice y el eje, suelo tener bastante para hacer un esbozo de cómo es la gráfica de esta función.

156
00:12:04,779 --> 00:12:05,059
¿De acuerdo?

157
00:12:06,120 --> 00:12:12,480
Bien, pues ahora pasamos a la segunda parte, que es estudiar estas cosas.

158
00:12:12,620 --> 00:12:16,220
Dominio y recorrido, continuidad, monotonía, extremos relativos absolutos.

159
00:12:16,220 --> 00:12:21,379
Voy a limpiar la pantalla, voy a borrar todo esto y voy a dejar solamente la gráfica y vamos a contestar a eso.

160
00:12:23,059 --> 00:12:25,840
Vale, ya lo tenemos limpio y vamos con el dominio y recorrido.

161
00:12:26,220 --> 00:12:31,399
Dominio de la función. Función polinómica, todos los reales.

162
00:12:31,399 --> 00:12:34,899
una función polinómica, su dominio es todos los reales

163
00:12:34,899 --> 00:12:40,879
se puede calcular esto para cualquier valor de x

164
00:12:40,879 --> 00:12:44,720
recorrido o imagen, imagen de f

165
00:12:44,720 --> 00:12:48,340
pues me fijo que valores toma la y

166
00:12:48,340 --> 00:12:51,679
pues tiene un valor mínimo que es menos 12 y a partir de ahí los toma todos

167
00:12:51,679 --> 00:12:56,259
luego será el intervalo cerrado desde menos 12 hasta infinito abierto

168
00:12:56,259 --> 00:13:00,019
¿continuidad?

169
00:13:00,019 --> 00:13:03,639
continua, las funciones polinómicas son todas continuas

170
00:13:03,639 --> 00:13:07,179
esto lo dibujo de un solo trazo

171
00:13:07,179 --> 00:13:11,779
¿vale? monotonía, pues monotonía

172
00:13:11,779 --> 00:13:15,860
tengo que decir, fijándome en el dominio, en qué intervalos

173
00:13:15,860 --> 00:13:18,720
del dominio la función crece, en qué intervalos decrece, etc.

174
00:13:19,100 --> 00:13:23,340
yo observo, mirando la gráfica, que esto decrece hasta aquí

175
00:13:23,340 --> 00:13:27,659
¿no? luego el intervalo de decrecimiento será de

176
00:13:27,659 --> 00:13:43,340
menos infinito a 1, entonces es decreciente, decimos decreciente en menos infinito 1, 1

177
00:13:43,340 --> 00:13:50,799
abierto, ¿vale? porque en el 1 no es decreciente, no es ni decreciente ni creciente, sino que

178
00:13:50,799 --> 00:14:02,580
tiene un mínimo y es creciente en uno infinito

179
00:14:02,580 --> 00:14:06,820
y por último extremos relativos y absolutos vamos a hablar primero de

180
00:14:06,820 --> 00:14:16,000
extremos absolutos aunque en este caso coinciden

181
00:14:16,000 --> 00:14:20,820
extremos absolutos es fijarnos en el recorrido y ver si está acotado entonces

182
00:14:20,820 --> 00:14:26,759
por encima no tiene no hay máximo absoluto por debajo si el menos 12 tiene

183
00:14:26,759 --> 00:14:39,289
mínimo absoluto que vale estamos hablando de la y de la función el valor

184
00:14:39,289 --> 00:14:50,440
mínimo que alcanza la función menos 12 y ahora extremos relativos cuando hablamos

185
00:14:50,440 --> 00:14:53,379
de extremos relativos está relacionado con la monotonía

186
00:14:53,379 --> 00:14:57,519
vale entonces porque la monotonía contestábamos aquí intervalos de

187
00:14:57,519 --> 00:15:01,440
crecimiento y crecimiento contestamos en la x los extremos relativos también

188
00:15:02,279 --> 00:15:08,080
Entonces, extremos relativos es si hay algún punto donde la función experimenta un cambio de crecimiento.

189
00:15:08,460 --> 00:15:11,700
Si a la izquierda tiene un crecimiento y a la derecha tiene otro.

190
00:15:11,820 --> 00:15:12,700
Y eso pasa en el 1.

191
00:15:13,340 --> 00:15:16,460
Entonces, en 1 tiene un extremo relativo.

192
00:15:16,639 --> 00:15:20,059
Y si el cambio es que va de crecer a crecer, es un mínimo.

193
00:15:20,659 --> 00:15:22,600
Y si fuera al revés, sería un máximo.

194
00:15:22,600 --> 00:15:27,559
Luego, en 1 tiene un mínimo relativo.

195
00:15:27,559 --> 00:15:32,120
¿vale? importante

196
00:15:32,120 --> 00:15:35,340
que veamos que aunque es el mismo punto

197
00:15:35,340 --> 00:15:37,679
cuando hablamos de extremos absolutos

198
00:15:37,679 --> 00:15:38,960
hablamos del valor de la función

199
00:15:38,960 --> 00:15:41,720
menos 12 y cuando hablamos de extremos relativos

200
00:15:41,720 --> 00:15:43,220
hablamos del valor de

201
00:15:43,220 --> 00:15:45,000
la x en el dominio

202
00:15:45,000 --> 00:15:47,240
y sería 1

203
00:15:47,240 --> 00:15:49,580
¿vale? bueno y con esto

204
00:15:49,580 --> 00:15:51,519
pues queda terminado el ejemplo

205
00:15:51,519 --> 00:15:53,360
el ejercicio de representar

206
00:15:53,360 --> 00:15:55,539
la función f de x igual a 3x cuadrado

207
00:15:55,539 --> 00:15:57,159
menos 6x menos 9