1 00:00:00,110 --> 00:00:06,250 Como dijo George Danzig, creador del método del simplex, la optimización no se trata solo de hacer más, sino de decidir mejor. 2 00:00:06,469 --> 00:00:08,410 Y eso es lo que he intentado yo demostrar en este proyecto. 3 00:00:08,970 --> 00:00:14,429 Cómo las matemáticas nos pueden ayudar a tomar decisiones objetivas, perdón, óptimas, en situaciones complejas. 4 00:00:17,000 --> 00:00:24,620 Buenos días, buenas tardes, mi nombre es Desmond y el día de hoy vamos a hablar sobre la programación lineal y la aplicación práctica del método del simplex 5 00:00:24,620 --> 00:00:29,059 en contextos donde hay recursos limitados y tenemos que tomar decisiones que pueden. 6 00:00:29,059 --> 00:00:36,340 El objetivo principal de este trabajo será demostrar cómo las matemáticas nos pueden ayudar a tomar decisiones óptimas 7 00:00:36,340 --> 00:00:41,679 en situaciones donde hay recursos limitados, donde hay que tomar decisiones complejas 8 00:00:41,679 --> 00:00:47,759 y se hará mediante la formulación matemática del modelo que tenemos que crear nosotros 9 00:00:47,759 --> 00:00:51,280 y posteriormente la resolución rigurosa de este problema. 10 00:00:53,200 --> 00:00:58,119 En este trabajo, en esta exposición voy a explicar qué es la formación lineal, 11 00:00:58,119 --> 00:01:03,140 por qué es tan útil, voy a explicar un poco el método del simplex, aparte también voy 12 00:01:03,140 --> 00:01:08,000 a explicar el modelo matemático que yo he creado, la formulación matemática, su resolución, 13 00:01:08,120 --> 00:01:13,040 su resolución por solve y para concluir voy a decir algunas conclusiones personales. 14 00:01:14,120 --> 00:01:17,879 Bien, ¿qué es la programación lineal? La programación lineal es una herramienta que 15 00:01:17,879 --> 00:01:23,700 se utiliza para resolver problemas de optimización y optimizar significa mejorar la magnitud, 16 00:01:23,700 --> 00:01:26,180 ya sea maximizar un beneficio o minimizar un coste. 17 00:01:26,760 --> 00:01:31,459 Esto siempre se hace bajo unas restricciones definidas y bien determinadas, 18 00:01:31,540 --> 00:01:33,920 ya que en la vida no podemos hacer las cosas sin límites. 19 00:01:34,439 --> 00:01:38,859 Siempre hay unos presupuestos limitados, hay unos recursos limitados, materiales limitados, etc. 20 00:01:39,579 --> 00:01:42,260 La programación lineal se basa en cuatro elementos fundamentales. 21 00:01:42,260 --> 00:01:46,379 Las variables de decisión, que son aquellas incógnitas controlables dentro de un problema, 22 00:01:47,099 --> 00:01:52,219 y estas representan las cantidades o las acciones que debemos determinar para alcanzar un objetivo. 23 00:01:52,879 --> 00:01:56,819 La función objetivo es lo que queremos maximizar o minimizar y siempre será una función lineal. 24 00:01:57,540 --> 00:02:01,019 Después tenemos las restricciones, que son aquellas limitaciones que no nos podemos saltar. 25 00:02:01,019 --> 00:02:07,060 Y por último, la condición de no negatividad, aquella que no podemos olvidar nunca, es que las variables nunca podrán ser negativas. 26 00:02:07,840 --> 00:02:15,599 Lo interesante de este método es que ofrece una metodología ordenada y lógica para tomar decisiones óptimas. 27 00:02:16,099 --> 00:02:22,020 En situaciones donde, por ejemplo, hay problemas complejos, hay muchas opciones y tenemos que tomar una decisión. 28 00:02:22,740 --> 00:02:30,819 La programación lineal se emplea en varios campos como por ejemplo logística, economía, planificación energética, etc. 29 00:02:32,439 --> 00:02:37,080 Ahora podemos hablar sobre algunos beneficios y aplicaciones de la programación lineal. 30 00:02:37,680 --> 00:02:42,759 La programación lineal tiene varios diversos aplicaciones reales en la vida real. 31 00:02:43,680 --> 00:02:49,840 Se utiliza en ingeniería, se utiliza en finanzas, marketing, campos médicos, etc. 32 00:02:49,840 --> 00:02:57,699 Entre sus beneficios destaco la fomentación de la toma de decisiones objetivas basadas en datos reales y no en intuiciones. 33 00:02:59,120 --> 00:03:06,840 También fomenta la optimización de recursos, algo esencial cuando hay escasez de material o cuando tenemos dinero limitado. 34 00:03:07,719 --> 00:03:12,879 También mejora la eficiencia de la organización, tanto en procesos industriales como en procesos humanos, 35 00:03:13,520 --> 00:03:17,599 y también fomenta la innovación, ya que estudia los datos de una forma bien estructurada. 36 00:03:17,599 --> 00:03:20,659 procedemos ahora a hablar del método del simplex 37 00:03:20,659 --> 00:03:21,939 ¿qué es el método del simplex? 38 00:03:22,340 --> 00:03:24,360 el método del simplex es un procedimiento matemático 39 00:03:24,360 --> 00:03:25,900 o algoritmo iterativo 40 00:03:25,900 --> 00:03:28,400 que lo que hace es resolver problemas de programación lineal 41 00:03:28,400 --> 00:03:30,159 con muchas variables, muchos recursos 42 00:03:30,159 --> 00:03:31,919 y muchas restricciones 43 00:03:31,919 --> 00:03:33,819 es el más empleado en la práctica 44 00:03:33,819 --> 00:03:36,120 porque garantiza una solución óptima 45 00:03:36,120 --> 00:03:38,580 si es que la hay, es el método más rápido 46 00:03:38,580 --> 00:03:39,580 y sistemático 47 00:03:39,580 --> 00:03:41,659 y a diferencia del método gráfico 48 00:03:41,659 --> 00:03:44,060 este puede trabajar con muchas variables distintas 49 00:03:44,060 --> 00:03:46,219 ahora, dicho esto 50 00:03:46,219 --> 00:03:48,180 vamos a proceder a hablar sobre la idea básica 51 00:03:48,180 --> 00:03:50,259 del simplex. En un problema 52 00:03:50,259 --> 00:03:52,060 de programación lineal siempre hay una 53 00:03:52,060 --> 00:03:54,080 región factible donde la solución está en uno de los 54 00:03:54,080 --> 00:03:56,139 vértices. El simplex se basa en 55 00:03:56,139 --> 00:03:58,120 empezar en un vértice cualquiera, que 56 00:03:58,120 --> 00:04:00,280 siempre cumpla con todas las restricciones del problema. 57 00:04:00,819 --> 00:04:02,039 Después se evalúa la función objetivo, 58 00:04:02,159 --> 00:04:03,840 que es lo que queremos maximizar o minimizar. 59 00:04:05,699 --> 00:04:06,180 Posteriormente 60 00:04:06,180 --> 00:04:07,939 se invade, no, posteriormente 61 00:04:07,939 --> 00:04:09,439 vamos de vértice en vértice 62 00:04:09,439 --> 00:04:11,960 mejorando cada vez la función objetivo 63 00:04:11,960 --> 00:04:14,060 y cuando ya llegamos al vértice en que ya 64 00:04:14,060 --> 00:04:16,100 no se puede mejorar más la función objetivo, abrimos 65 00:04:16,100 --> 00:04:21,639 encontrado la solución óptima. Una vez entendida la idea básica del simplex, procedemos a 66 00:04:21,639 --> 00:04:26,560 explicarlo paso a paso en método general. Primero, el problema se transforma a forma 67 00:04:26,560 --> 00:04:30,339 estándar, es decir, que todas las variables de decisión se convierten en ecuaciones añadiendo 68 00:04:30,339 --> 00:04:36,240 variables de locura. No debemos olvidar la condición de negatividad, es decir, que todas 69 00:04:36,240 --> 00:04:39,959 las variables no podrán ser negativas, ninguna podrá ser negativa, tiene que ser mayor o 70 00:04:39,959 --> 00:04:46,740 igual que C. Después se hace una tabla de simplex, es decir, una tabla en la que se organizan 71 00:04:46,740 --> 00:04:49,920 todos los datos del problema. Después se seleccionan las variables que entran en la 72 00:04:49,920 --> 00:04:54,259 base, las variables que salen de las bases, después se hace el pivoteo, que es que coges 73 00:04:54,259 --> 00:04:59,959 la fila de pivote, la columna, no, espérate, coges la fila de pivote, la columna de pivote 74 00:04:59,959 --> 00:05:04,620 y eliminas los elementos, así consiguiendo un nuevo vértice. Después lo que se hace 75 00:05:04,620 --> 00:05:09,600 es hacer un ciclo de mejora, es decir, que según quedan números negativos en la fila 76 00:05:09,600 --> 00:05:11,600 zeta, seguimos maximizando y por lo tanto 77 00:05:11,600 --> 00:05:13,560 se sigue repitiendo el proceso, lo que se 78 00:05:13,560 --> 00:05:15,699 denomina iteración. Y por último 79 00:05:15,699 --> 00:05:17,699 cuando se alcanza la condición de óptimo, es decir 80 00:05:17,699 --> 00:05:19,259 que ya no hay más 81 00:05:19,259 --> 00:05:21,639 ya no se producen 82 00:05:21,639 --> 00:05:23,579 más iteraciones, es cuando ya hemos alcanzado 83 00:05:23,579 --> 00:05:25,319 la solución óptima, es decir que 84 00:05:25,319 --> 00:05:27,759 la función objetivo no se puede mejorar más. 85 00:05:30,310 --> 00:05:31,610 La segunda parte de esta exposición 86 00:05:31,610 --> 00:05:33,829 trataré de explicar el problema que yo he modelado 87 00:05:33,829 --> 00:05:34,910 y es el siguiente. 88 00:05:37,189 --> 00:05:37,949 En este 89 00:05:37,949 --> 00:05:39,910 contexto yo definí unos recursos 90 00:05:39,910 --> 00:05:49,850 que se le asignaron a unos alumnos en una clase, de manera que tendrán que conseguir el máximo rendimiento de esa clase en un trabajo grupal que tienen que hacer. 91 00:05:51,170 --> 00:05:55,170 Lo importante aquí no es tanto el tema, sino cómo se estructura este problema, 92 00:05:55,269 --> 00:06:02,149 ya que tenemos que tener muy en cuenta qué decisiones hay que tomar, qué es lo que se quiere optimizar y qué restricciones debemos determinar. 93 00:06:03,250 --> 00:06:08,870 Para ello yo decidí establecer varias variables, también establecí varias restricciones, como os mostraré más adelante, 94 00:06:08,870 --> 00:06:16,310 y estas van a ser realistas y esto va a ayudar a que el problema sea más realista, más coherente y aplicable. 95 00:06:17,089 --> 00:06:24,129 Por último, formule una función objetivo que representa la máxima eficiencia o máximo rendimiento global del grupo. 96 00:06:26,670 --> 00:06:32,230 Después de tener bien planteado el problema, pasé a traducirlo al lenguaje matemático de la programación lineal. 97 00:06:33,389 --> 00:06:36,209 Establecí las variables de decisión, como ya he mencionado anteriormente. 98 00:06:36,209 --> 00:06:38,410 también formule la función objetivo 99 00:06:38,410 --> 00:06:40,490 que va a ser una función lineal pero a su vez va a ser 100 00:06:40,490 --> 00:06:42,689 una combinación lineal de las variables 101 00:06:42,689 --> 00:06:45,009 cada una de ellas multiplicada por un coeficiente 102 00:06:45,009 --> 00:06:46,529 que indica su valor 103 00:06:46,529 --> 00:06:48,610 su aporte final 104 00:06:48,610 --> 00:06:50,149 al resultado. También 105 00:06:50,149 --> 00:06:52,290 escribir las restricciones 106 00:06:52,290 --> 00:06:54,430 que van a ser también 107 00:06:54,430 --> 00:06:56,529 que se van a representar también en forma 108 00:06:56,529 --> 00:06:58,230 lineal ya que la programación lineal 109 00:06:58,230 --> 00:07:00,910 se trabaja con desigualdades o con ecuaciones lineales 110 00:07:00,910 --> 00:07:02,490 y por último 111 00:07:02,490 --> 00:07:04,550 no debemos olvidar la condición de no negatividad 112 00:07:04,550 --> 00:07:09,189 que todas las variables, no, ninguna variable 113 00:07:09,189 --> 00:07:12,689 podrá ser negativa. Con las variables ya descritas 114 00:07:12,689 --> 00:07:16,790 las restricciones también descritas y la función, el objetivo determinado 115 00:07:16,790 --> 00:07:21,170 podemos pasar a la resolución por el método de simplex 116 00:07:21,170 --> 00:07:25,310 Esta es la parte más técnica del trabajo, pero voy a explicarlo de la manera más sencilla 117 00:07:25,310 --> 00:07:29,209 posible. El método del simplex es un algoritmo que explica 118 00:07:29,209 --> 00:07:32,889 cómo se puede resolver, no, es un algoritmo que resuelve 119 00:07:32,889 --> 00:07:37,589 problemas de programación lineal de forma sistemática, es decir, moviéndose paso a paso, 120 00:07:37,709 --> 00:07:41,709 mejorando la función objetivo hasta que se alcanza la solución continua. 121 00:07:43,009 --> 00:07:51,189 Para hacerlo, yo primero inicié con una tabla inicial del simple, marcando bien las variables, 122 00:07:52,230 --> 00:07:56,050 las filas pivote, en cada tabla marqué bien las filas pivote, las columnas pivote y las 123 00:07:56,050 --> 00:08:01,790 operaciones de pivote correspondientes. Tras realizar las iteraciones necesarias y actualizando 124 00:08:01,790 --> 00:08:08,550 la tabla en cada paso, me di cuenta de que el método del simplex también va decidiendo 125 00:08:08,550 --> 00:08:12,910 qué variable debe salir de la base, qué variable debe entrar en la base, y así lo 126 00:08:12,910 --> 00:08:15,629 que se consigue es mejorar la función hasta que se llegue a la solución óptima. 127 00:08:16,189 --> 00:08:21,550 Finalmente, llegué a una solución óptima, un valor óptimo, en el que la función objetivo 128 00:08:21,550 --> 00:08:26,949 ya no se puede mejorar más y se cumplen todas las restricciones y la condición de no negatividad. 129 00:08:27,689 --> 00:08:34,490 Este valor lo que nos indica es cuántas unidades de cada variable son necesarias para alcanzar ese rendimiento máximo. 130 00:08:35,970 --> 00:08:41,210 Como es habitual en este tipo de trabajos, también lo he resuelto por una herramienta informática como es Solver. 131 00:08:41,830 --> 00:08:47,889 Y lo hice por dos razones. Una, confirmé que mi solución manual era la correcta, comparándola con la que obtuve por Solver. 132 00:08:48,309 --> 00:08:53,409 Y dos, porque esto me ayuda a verlo de forma más visual y de forma más rápida. 133 00:08:53,409 --> 00:09:00,870 Que coincidieran los dos métodos me dio mucha seguridad, ya que comprobé que mis resultados eran los correctos. 134 00:09:01,370 --> 00:09:03,049 Analicé los resultados de la siguiente forma. 135 00:09:03,190 --> 00:09:10,470 El valor dado de 61 indicaba que el 61% de los recursos se aprovechaba, mientras que el 39% no se aprovechaba. 136 00:09:11,230 --> 00:09:16,149 Esto no indica una mala organización, pero sí que está por debajo de un nivel ideal que sería cercano al 80%. 137 00:09:16,710 --> 00:09:23,090 También el resultado de 9 grupos tipo C y 2 grupos tipo D pone manifiesto que no siempre coincide con lo que pasaría en un contexto 138 00:09:23,090 --> 00:09:25,309 real. Es decir, que el método 139 00:09:25,309 --> 00:09:27,350 de simplex no contempla factores 140 00:09:27,350 --> 00:09:29,269 como por ejemplo humanos o educativos. 141 00:09:32,220 --> 00:09:32,659 Por último, 142 00:09:33,460 --> 00:09:35,580 para concluir, quería destacar 143 00:09:35,580 --> 00:09:36,960 algunas conclusiones de este proyecto. 144 00:09:37,200 --> 00:09:39,320 La formación lineal 145 00:09:39,320 --> 00:09:41,980 lo que hace es ser una herramienta poderosa 146 00:09:41,980 --> 00:09:43,679 para resolver problemas de intimidación. 147 00:09:44,120 --> 00:09:45,500 El método de simplex lo que hace es 148 00:09:45,500 --> 00:09:47,519 tener soluciones óptimas 149 00:09:47,519 --> 00:09:48,740 y 150 00:09:48,740 --> 00:09:51,799 esto se da en casos en los que hay que tomar 151 00:09:51,799 --> 00:09:53,840 decisiones complejas y problemas complejos. 152 00:09:53,840 --> 00:09:56,399 la construcción del modelo es casi tan importante 153 00:09:56,399 --> 00:09:58,019 como la resolución 154 00:09:58,019 --> 00:10:00,259 ya que si las variables están bien definidas 155 00:10:00,259 --> 00:10:01,860 las resoluciones también están bien definidas 156 00:10:01,860 --> 00:10:04,080 todo el resto del proceso fluye de forma natural 157 00:10:04,080 --> 00:10:05,639 personalmente 158 00:10:05,639 --> 00:10:07,879 este trabajo ha sido muy útil 159 00:10:07,879 --> 00:10:09,860 para darme cuenta de cómo se conectan las matemáticas 160 00:10:09,860 --> 00:10:11,039 con la programación lineal 161 00:10:11,039 --> 00:10:13,620 y ha sido un trabajo exigente pero muy útil 162 00:10:13,620 --> 00:10:14,840 aplicable más allá del aula 163 00:10:14,840 --> 00:10:17,039 y con esto doy por finalizado mi presentación 164 00:10:17,039 --> 00:10:18,039 muchas gracias por su atención 165 00:10:18,039 --> 00:10:19,980 y queda a su disposición para cualquier tipo de duda 166 00:10:19,980 --> 00:10:22,620 muchas gracias 167 00:10:22,620 --> 00:10:22,940 ¿Qué pasa?