1
00:00:03,500 --> 00:00:07,099
Hola, en este vídeo vamos a resolver el siguiente ejercicio.

2
00:00:07,820 --> 00:00:16,839
Haya mentalmente, sin operar, el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de polinomios.

3
00:00:17,620 --> 00:00:26,600
Bien, tenemos que recordar cuáles son las reglas para factorizar.

4
00:00:26,600 --> 00:00:38,590
Lo primero que hacíamos cuando queríamos factorizar era comprobar si podíamos sacar factor común.

5
00:00:39,509 --> 00:00:43,750
Una vez que teníamos esto visto, entonces nos fijábamos en el grado.

6
00:00:44,750 --> 00:00:53,289
Si el grado era mayor o igual que 3, utilizábamos para la factorización el método de Ruffini.

7
00:00:53,929 --> 00:00:59,289
Acordaos que teníamos que usar el criterio de divisibilidad.

8
00:00:59,289 --> 00:01:09,950
que me decía que si el polinomio era mónico, las raíces del polinomio, las raíces enteras del polinomio,

9
00:01:09,950 --> 00:01:18,950
que son las únicas que vamos a poder calcular con este método, estarían entre los divisores del término independiente.

10
00:01:20,689 --> 00:01:27,489
Si el grado, una vez que el grado coincidiese con 2, entonces podríamos hacer dos cosas.

11
00:01:27,489 --> 00:01:40,370
Bien, podíamos utilizar las identidades notables o si no encontrábamos ninguna similitud con identidades notables,

12
00:01:40,930 --> 00:01:52,709
entonces no nos quedaba más remedio que resolver la ecuación asociada mediante la fórmula de resolución de una ecuación de segundo pleno.

13
00:01:54,819 --> 00:02:00,459
Esta va a ser la manera de hacerlo, pero en este ejercicio nos piden que lo hagamos mentalmente.

14
00:02:00,459 --> 00:02:10,939
Al decirnos que no usemos operaciones, lo que nos están pidiendo es que usemos simplemente estas dos opciones.

15
00:02:11,340 --> 00:02:15,759
Sacar factor común e identificar con identidades notables.

16
00:02:16,860 --> 00:02:17,240
¿De acuerdo?

17
00:02:17,879 --> 00:02:20,199
Vamos a repasar las identidades notables.

18
00:02:20,699 --> 00:02:22,360
Recordamos las identidades notables.

19
00:02:22,360 --> 00:02:30,199
Tenemos el cuadrado de la suma, el cuadrado de la resta y la suma por diferencia.

20
00:02:31,180 --> 00:02:39,800
Lo que va a ocurrir en este ejercicio es que lo que yo me voy a encontrar va a ser esta parte de la igualdad,

21
00:02:40,900 --> 00:02:46,400
la parte en la que la identidad notable está desarrollada en sumas de términos.

22
00:02:47,620 --> 00:02:52,560
Y lo que voy a tener que hacer de manera mental es, identificando término a término,

23
00:02:52,560 --> 00:02:59,960
decidir con cuál de las expresiones en productos me quedo.

24
00:03:00,460 --> 00:03:01,939
Esa va a ser la idea.

25
00:03:02,680 --> 00:03:12,000
Tenemos toda la información en nuestra pizarra y con toda esta información vamos a ver cómo resolvemos el primero.

26
00:03:12,280 --> 00:03:26,469
En el A tenemos que P de X es X al cuadrado menos 1 y Q de X es X más 1 al cuadrado.

27
00:03:26,469 --> 00:03:32,389
PDX, lo miro, primer punto, ¿puedo sacar factor común?

28
00:03:32,629 --> 00:03:35,610
Pues aquí no hay nada que se repita en los dos sumandos

29
00:03:35,610 --> 00:03:37,990
Fijaos, os marco los sumandos

30
00:03:37,990 --> 00:03:42,330
Este es un sumando y este es otro sumando

31
00:03:42,330 --> 00:03:44,610
Y no hay nada que se repita

32
00:03:44,610 --> 00:03:47,710
Bueno, sí, el 1, pero el 1 no aporta nada

33
00:03:47,710 --> 00:03:49,849
Así que no puedo sacar factor común

34
00:03:49,849 --> 00:03:54,210
Ahora, voy a identificar con identidades notables

35
00:03:54,210 --> 00:03:58,849
Ya sé que tengo que mirar en el segundo miembro

36
00:03:58,849 --> 00:04:04,530
Y en el segundo miembro me encuentro que en el primer caso hay tres términos

37
00:04:04,530 --> 00:04:10,050
En el segundo caso hay tres términos y solo en el último caso hay dos términos

38
00:04:10,050 --> 00:04:13,210
Este sería el que más se ajustase al ejemplo que yo tengo

39
00:04:13,210 --> 00:04:17,730
Y efectivamente lo que yo veo aquí es una diferencia de cuadrados

40
00:04:17,730 --> 00:04:24,449
x cuadrado es, mirad, os lo voy a hacer aquí aparte para que veáis cómo va

41
00:04:24,449 --> 00:04:34,129
Mirad, yo tengo a cuadrado menos b cuadrado y lo quiero comparar con x cuadrado menos 1

42
00:04:34,129 --> 00:04:39,089
Entonces, ¿qué es lo que, cuál es mi hipótesis?

43
00:04:39,089 --> 00:04:46,069
Hombre, mi hipótesis es que a cuadrado es x cuadrado y que b cuadrado es 1

44
00:04:46,069 --> 00:04:50,910
Tened en cuenta una cosa muy importante que a veces se nos olvida

45
00:04:50,910 --> 00:04:54,250
Y es que A y B tienen que ser positivos

46
00:04:54,250 --> 00:04:57,670
Por lo tanto B cuadrado tiene que ser el 1

47
00:04:57,670 --> 00:05:05,069
Bien, ¿qué es lo que voy a concluir aplicando raíces y teniendo en cuenta que A y B tienen que ser positivos?

48
00:05:06,170 --> 00:05:12,569
Afirmo que A es X y afirmo que B es de las dos raíces, la positiva y la negativa

49
00:05:12,569 --> 00:05:13,949
Me quedo con la positiva

50
00:05:13,949 --> 00:05:18,170
Así las cosas, lo que me va a quedar es que voy a poder factorizar este polinomio

51
00:05:18,170 --> 00:05:26,389
haciendo x más 1 por x menos 1, ¿de acuerdo?

52
00:05:28,170 --> 00:05:34,689
En el siguiente caso ya lo tengo factorizado porque ya tengo polinomio irreducible elevado al cuadrado.

53
00:05:34,689 --> 00:05:43,490
Así que si lo queréis ver más claro tendría x más 1 por x más 1, ¿de acuerdo?

54
00:05:43,949 --> 00:05:53,649
Ya tengo pues factorizados los dos polinomios y ahora vamos a calcular quién es el mínimo común múltiplo,

55
00:06:00,699 --> 00:06:10,759
que serán los factores comunes x más 1 y no comunes x menos 1 elevados al mayor exponente con que aparece.

56
00:06:11,279 --> 00:06:13,019
Este sería el mínimo común múltiplo.

57
00:06:14,240 --> 00:06:18,019
Esta parte tiene que aparecer luego, si queréis lo podéis operar, pero no es necesario.

58
00:06:18,019 --> 00:06:33,459
El máximo común divisor me quedará p de x, q de x y serán sólo comunes al menor exponente.

59
00:06:34,220 --> 00:06:35,519
Ya estaría, ¿de acuerdo?

60
00:06:37,120 --> 00:06:39,660
Vamos entonces con el segundo apartado.

61
00:06:39,660 --> 00:06:54,470
p de x me dicen que es x al cuadrado más x y q de x me dicen que es x al cuadrado menos x.

62
00:06:55,089 --> 00:06:57,889
Son polinomios de segundo grado, quiero factorizarlos.

63
00:06:58,550 --> 00:07:03,290
El primer punto es sacar factor común y efectivamente puedo sacar factor común.

64
00:07:03,769 --> 00:07:06,009
Hay una x que se repite en los dos.

65
00:07:06,009 --> 00:07:12,990
Así que este primer término, si le divido entre x, me queda una x.

66
00:07:13,149 --> 00:07:17,389
Y el segundo término, al dividirle entre x, me queda uno.

67
00:07:18,089 --> 00:07:24,189
Operando de igual manera en el segundo polinomio, me queda x menos uno.

68
00:07:24,189 --> 00:07:39,699
Así que el mínimo común múltiplo de ambos polinomios, p de x, q de x, será comunes y no comunes al mayor exponente.

69
00:07:39,839 --> 00:07:41,300
Todos están con exponente 1.

70
00:07:41,699 --> 00:07:46,420
Fijaos, hacer esta cuenta es muy fácil porque suma por diferencia, diferencia de cuadrados.

71
00:07:47,459 --> 00:07:52,600
Y ahora me quedaría x al cubo menos x.

72
00:07:52,600 --> 00:08:01,959
El máximo con un divisor me va a quedar solo comunes al menor exponente

73
00:08:01,959 --> 00:08:04,800
Eso hace que me quede solamente con la x

74
00:08:04,800 --> 00:08:05,459
¿De acuerdo?

75
00:08:09,339 --> 00:08:13,879
Mi polinomio primero es x al cubo menos x

76
00:08:13,879 --> 00:08:18,360
Y el segundo de x es x al cuadrado menos 1

77
00:08:18,360 --> 00:08:23,000
Bueno, este ya no lo sabemos, es x más 1 por x menos 1

78
00:08:23,000 --> 00:08:29,480
y aquí efectivamente puedo sacar factor común a x al cuadrado menos 1.

79
00:08:29,740 --> 00:08:35,279
Así que la descomposición en producto de polinomios irreducibles

80
00:08:35,279 --> 00:08:41,940
identificando x al cuadrado menos 1 con identidades notables me va a quedar así.

81
00:08:42,519 --> 00:08:56,490
Así que el mínimo común múltiplo será comunes x más 1 por x menos 1

82
00:08:56,490 --> 00:08:59,450
y no comunes al mayor exponente.

83
00:09:00,029 --> 00:09:02,990
Esto lo hemos hecho antes y nos quedaba x al cubo menos x.

84
00:09:03,129 --> 00:09:05,950
Además, coincide exactamente con p de x.

85
00:09:06,929 --> 00:09:12,169
Máximo común divisor, p de x y de q de x,

86
00:09:13,029 --> 00:09:16,470
solo comunes al menor.

87
00:09:17,470 --> 00:09:21,830
x más 1 por x menos 1, quedándome x cuadrado menos 1.

88
00:09:22,470 --> 00:09:25,309
Y por último, vamos con el d.

89
00:09:25,309 --> 00:09:38,659
que p de x es x al cuadrado más 1 y q de x que es x al cuadrado.

90
00:09:39,299 --> 00:09:46,220
Bien, q de x no se puede factorizar porque ya está factorizado.

91
00:09:46,419 --> 00:09:52,460
Y x al cuadrado más 1, este polinomio no le puedo sacar factor común

92
00:09:52,460 --> 00:10:01,929
y este polinomio p de x no lo puedo identificar con identidades notables.

93
00:10:01,929 --> 00:10:09,929
Tiene dos términos, pero no es una resta de cuadrados, así que no se puede.

94
00:10:11,210 --> 00:10:19,690
Tendría que resolver la ecuación asociada, pero fijaos, la ecuación asociada sería la siguiente,

95
00:10:20,330 --> 00:10:26,429
x cuadrado más 1 igual a 0, así que x cuadrado tendría que ser igual a menos 1, pero eso es imposible.

96
00:10:27,049 --> 00:10:31,570
Así que no es imposible porque no hay ningún cuadrado cuyo resultado sea negativo.

97
00:10:31,570 --> 00:10:34,549
Debido a la regla de los signos al multiplicar

98
00:10:34,549 --> 00:10:39,490
Así que no tiene raíces, es un polinomio irreducible

99
00:10:39,490 --> 00:10:40,129
¿De acuerdo?

100
00:10:40,889 --> 00:10:46,909
Así que el máximo, el mínimo común múltiplo de p de x y q de x

101
00:10:46,909 --> 00:10:50,730
Será el producto de ambos

102
00:10:50,730 --> 00:10:53,149
x cuadrado por x cuadrado más 1

103
00:10:53,149 --> 00:10:57,389
Esto me quedará x a la cuarta más x al cuadrado

104
00:10:57,389 --> 00:11:05,570
y el máximo común divisor no tiene ningún divisor, no tiene ningún polinomio irreducible común.

105
00:11:07,250 --> 00:11:12,870
Así que, como siempre, cuando no hay divisores comunes, solo nos queda el que nunca falla, el 1.

106
00:11:15,460 --> 00:11:17,820
Bueno, pues hasta aquí el ejercicio 4.