1
00:00:00,000 --> 00:00:04,000
en este vídeo vamos a ver las funciones logarítmicas.

2
00:00:04,000 --> 00:00:07,000
Así que ha llegado el momento de que recordéis a los logaritmos,

3
00:00:07,000 --> 00:00:10,000
los viejos amigos del tema 1, que ya es la prehistoria.

4
00:00:10,000 --> 00:00:13,000
Bueno, pues nada, las funciones logarítmicas son aquellas

5
00:00:13,000 --> 00:00:16,000
cuya expresión analítica general es ésta,

6
00:00:16,000 --> 00:00:19,000
igual a logaritmo en base a de x,

7
00:00:19,000 --> 00:00:22,000
donde a, para que tenga sentido la expresión,

8
00:00:22,000 --> 00:00:26,000
tiene que ser un número real diferente de 1 y mayor que 0.

9
00:00:26,000 --> 00:00:28,000
Eso lo vimos en el tema 1.

10
00:00:28,000 --> 00:00:33,000
Bueno, pues nada, ahora vamos a ir revisando las diferentes características

11
00:00:33,000 --> 00:00:38,000
y viendo a ver qué podemos decir de ellas en las funciones logarítmicas.

12
00:00:38,000 --> 00:00:42,000
El dominio de estas funciones es la semirrecta 0 más infinito.

13
00:00:42,000 --> 00:00:47,000
El valor de x no puede ser 0 ni negativo.

14
00:00:47,000 --> 00:00:50,000
Fijaos que esto se debe a que si ponemos

15
00:00:50,000 --> 00:00:54,000
igual a logaritmo, por ejemplo, para que lo veáis más claro,

16
00:00:54,000 --> 00:00:56,000
en base 2 de 0,

17
00:00:56,000 --> 00:00:59,000
pues esto quiere decir

18
00:00:59,000 --> 00:01:03,000
a qué número tengo que elevar 2 para que me dé 0.

19
00:01:03,000 --> 00:01:05,000
Esto es lo mismo que escribir esto.

20
00:01:05,000 --> 00:01:08,000
2 elevado a i igual a 0.

21
00:01:08,000 --> 00:01:10,000
Pero es que esto es la función exponencial

22
00:01:10,000 --> 00:01:12,000
y ya hemos dicho en el vídeo anterior

23
00:01:12,000 --> 00:01:14,000
que esa función no se anula nunca.

24
00:01:14,000 --> 00:01:18,000
Fijaos, por cierto, que para valores pequeños de la i

25
00:01:18,000 --> 00:01:20,000
esa función es siempre positiva,

26
00:01:20,000 --> 00:01:23,000
que no sé si lo he remarcado con suficiente claridad en el vídeo anterior.

27
00:01:23,000 --> 00:01:26,000
Por ejemplo, 2 elevado a menos 3 es igual,

28
00:01:26,000 --> 00:01:29,000
recordad, a 1 partido 2 elevado a 3,

29
00:01:29,000 --> 00:01:33,000
que es un valor pequeño, un octavo, pero siempre positivo.

30
00:01:33,000 --> 00:01:35,000
Cuidado con eso.

31
00:01:35,000 --> 00:01:40,000
Así que pues eso, el valor de x no puede ser un número negativo

32
00:01:40,000 --> 00:01:43,000
porque no es posible.

33
00:01:43,000 --> 00:01:45,000
Por esto que he explicado.

34
00:01:45,000 --> 00:01:48,000
Bueno, el recorrido de estas funciones

35
00:01:48,000 --> 00:01:50,000
es todos los números reales,

36
00:01:50,000 --> 00:01:53,000
pueden alcanzar cualquier valor.

37
00:01:53,000 --> 00:01:56,000
Los puntos de corte, solamente hay un punto de corte

38
00:01:56,000 --> 00:01:59,000
con el eje x, que es el punto 1, 0.

39
00:01:59,000 --> 00:02:03,000
Fijaos que si hacemos i igual a 0,

40
00:02:03,000 --> 00:02:06,000
pues tenemos logaritmo, por ejemplo,

41
00:02:06,000 --> 00:02:10,000
en base 2 de x igual a 0.

42
00:02:10,000 --> 00:02:14,000
Y esto es lo mismo que decir x igual a 2 elevado a 0,

43
00:02:14,000 --> 00:02:16,000
que es 1.

44
00:02:16,000 --> 00:02:19,000
¿Vale? De aquí sale que el punto de corte

45
00:02:19,000 --> 00:02:21,000
con el eje x es el 1, 0.

46
00:02:21,000 --> 00:02:24,000
Sin embargo, si hacéis x igual a 0,

47
00:02:24,000 --> 00:02:26,000
pues queda lo que he dicho antes, que no puede ser.

48
00:02:26,000 --> 00:02:29,000
Así que no hay punto de corte con el eje y.

49
00:02:29,000 --> 00:02:31,000
Muy bien.

50
00:02:31,000 --> 00:02:34,000
Seguimos. El signo depende del valor de a.

51
00:02:34,000 --> 00:02:36,000
Ahora lo vamos a ver gráficamente.

52
00:02:36,000 --> 00:02:40,000
Si a es mayor que 1, pues es positiva en 1 más infinito

53
00:02:40,000 --> 00:02:42,000
y negativa en 0, 1.

54
00:02:43,000 --> 00:02:46,000
Y también voy a aprovechar para verlo a la vez el crecimiento.

55
00:02:46,000 --> 00:02:49,000
Si a es mayor que 1, es creciente en todo su dominio.

56
00:02:49,000 --> 00:02:51,000
Fijaos.

57
00:02:51,000 --> 00:02:53,000
Este es logaritmo en base 3 de x.

58
00:02:53,000 --> 00:02:56,000
Pues aquí veis que

59
00:02:56,000 --> 00:03:00,000
entre 0 y 1 es negativa

60
00:03:00,000 --> 00:03:02,000
y creciente.

61
00:03:02,000 --> 00:03:05,000
Y entre 1 más infinito, pues es creciente igualmente,

62
00:03:05,000 --> 00:03:07,000
pero ya positiva. ¿Vale?

63
00:03:07,000 --> 00:03:11,000
Sin embargo, si el valor de a está entre 0 y 1,

64
00:03:12,000 --> 00:03:15,000
si el valor de a está entre 0 y 1,

65
00:03:15,000 --> 00:03:18,000
pues lo que sucede es que es positiva entre 0 y 1

66
00:03:18,000 --> 00:03:23,000
y negativa en 1 más infinito.

67
00:03:23,000 --> 00:03:27,000
¿Vale? Y decreciente en todo su dominio.

68
00:03:27,000 --> 00:03:30,000
Aquí lo podéis ver perfectamente.

69
00:03:30,000 --> 00:03:32,000
¿Qué más?

70
00:03:32,000 --> 00:03:34,000
No tiene simetría, ni par ni impar.

71
00:03:34,000 --> 00:03:37,000
Ya lo habéis visto. No es periódica.

72
00:03:37,000 --> 00:03:39,000
Continua en 0 más infinito,

73
00:03:39,000 --> 00:03:41,000
sea cual sea el valor de a.

74
00:03:41,000 --> 00:03:45,000
Ya lo veis que es continua.

75
00:03:45,000 --> 00:03:48,000
No tiene máximos ni mínimos.

76
00:03:48,000 --> 00:03:50,000
Se ve claramente.

77
00:03:50,000 --> 00:03:52,000
Acotación puede ser engañoso.

78
00:03:52,000 --> 00:03:55,000
Podéis pensar que a lo mejor está acotada superiormente,

79
00:03:55,000 --> 00:03:58,000
pero no. Crece extremadamente despacio,

80
00:03:58,000 --> 00:04:01,000
pero no está acotada superiormente.

81
00:04:01,000 --> 00:04:02,000
¿Vale?

82
00:04:02,000 --> 00:04:05,000
Fijaos. Esta es la i igual a logaritmo en base 3 de x.

83
00:04:05,000 --> 00:04:07,000
Os sugiero que hagáis una tabla de valores.

84
00:04:07,000 --> 00:04:09,000
Bueno, la voy a hacer yo.

85
00:04:09,000 --> 00:04:13,000
xi con las sucesivas potencias de 3.

86
00:04:13,000 --> 00:04:17,000
Si x vale 3, logaritmo en base 3 de 3 es 1.

87
00:04:17,000 --> 00:04:19,000
¿A qué número tengo que elevar 3 para que me dé 3?

88
00:04:19,000 --> 00:04:21,000
Pues a 1.

89
00:04:21,000 --> 00:04:23,000
¿A qué número tengo que elevar 3 para que me dé 9?

90
00:04:23,000 --> 00:04:25,000
Pues a 2.

91
00:04:25,000 --> 00:04:27,000
¿Veis gráficamente que así es?

92
00:04:27,000 --> 00:04:29,000
Cuando x es 3, la i vale 1.

93
00:04:29,000 --> 00:04:32,000
Cuando x es 9, la i vale 2.

94
00:04:32,000 --> 00:04:35,000
Cuando x es 27, la i vale 3.

95
00:04:35,000 --> 00:04:39,000
Crece extremadamente despacio la función.

96
00:04:39,000 --> 00:04:41,000
Muy bien.

97
00:04:41,000 --> 00:04:43,000
¿Y qué nos falta?

98
00:04:43,000 --> 00:04:45,000
Acotada, ya digo que no está acotada

99
00:04:45,000 --> 00:04:47,000
ni superior ni inferiormente.

100
00:04:47,000 --> 00:04:49,000
Eso se deducía ya de que el recorrido

101
00:04:49,000 --> 00:04:51,000
era todos los números reales.

102
00:04:51,000 --> 00:04:52,000
¿Y sobre asíntotas?

103
00:04:52,000 --> 00:04:54,000
Pues solo tiene una asíntota vertical,

104
00:04:54,000 --> 00:04:56,000
que es esta que está aquí.

105
00:04:56,000 --> 00:04:58,000
La x igual a 0.

106
00:04:58,000 --> 00:05:00,000
Pues eso sería todo.