1 00:00:00,000 --> 00:00:09,280 En este vídeo vamos a representar gráficamente la función tangente. 2 00:00:09,280 --> 00:00:14,920 Colocamos nuestros ejes, eje X horizontal o eje de acisas y eje vertical, eje Y o eje 3 00:00:14,920 --> 00:00:21,000 de ordenadas, y ya de entrada simplemente ver el número de puntos que colocamos en 4 00:00:21,000 --> 00:00:25,480 el eje X y en el eje Y nos hace ver que hay diferencias con las funciones sen y coseno 5 00:00:25,480 --> 00:00:27,800 que hemos ya representado en unos vídeos anteriores. 6 00:00:27,800 --> 00:00:32,920 Además, lo primero que nos aparece es que hay valores para los que esta función no 7 00:00:32,920 --> 00:00:40,360 existe, ya sabemos porque hemos calculado en unos vídeos anteriores también los valores 8 00:00:40,360 --> 00:00:45,440 de la tangente para los ángulos y nos hemos dado cuenta de que hay valores para los cuales 9 00:00:45,440 --> 00:00:47,720 la tangente no se puede calcular. 10 00:00:47,720 --> 00:00:52,920 Es por tanto una función que no está definida para todo número real, hay valores para los 11 00:00:52,920 --> 00:00:58,600 cuales la tangente no existe y nosotros vamos a colocar unas líneas verticales discontinuas 12 00:00:58,600 --> 00:01:03,240 en los puntos en los cuales no es posible calcular la tangente. 13 00:01:03,240 --> 00:01:06,320 Así no es posible calcular la tangente de pi medio, no es posible calcular la tangente 14 00:01:06,320 --> 00:01:12,520 de tres pi medios, ni la de menos pi medios, ni la de menos tres pi medios, ya serían 15 00:01:12,520 --> 00:01:19,120 los puntos que hemos colocado dentro del intervalo que nosotros hemos puesto en el eje X que 16 00:01:19,120 --> 00:01:22,120 va desde menos seis hasta seis. 17 00:01:22,120 --> 00:01:28,280 Si situamos menos pi, estaría aquí, si situamos pi, estaría aquí. 18 00:01:28,280 --> 00:01:36,000 Vamos a representar la función tangente en uno de los intervalos entre los que podemos 19 00:01:36,000 --> 00:01:42,240 representarla, es decir, puesto que no podemos representarla en todo R, vamos a representarla 20 00:01:42,240 --> 00:01:47,240 en uno de los intervalos y vamos a escoger el intervalo pi medios tres pi medios. 21 00:01:47,240 --> 00:01:55,320 Ese intervalo, ahí, ese intervalo que parpadea, es donde vamos nosotros a representar la función 22 00:01:55,320 --> 00:01:58,760 tangente. 23 00:01:58,760 --> 00:02:03,600 Como hemos hecho anteriormente, en otros casos necesitamos unas tablas que nos vayan ayudando 24 00:02:03,600 --> 00:02:06,360 a hacer el trazado. 25 00:02:06,360 --> 00:02:11,800 Comenzamos poniendo dos pi tercios, dos pi tercios son ciento veinte grados, ya hemos 26 00:02:11,800 --> 00:02:16,760 dicho que vamos a trazarla entre pi medios y tres pi medios, empezamos por dos pi tercios, 27 00:02:16,760 --> 00:02:22,200 la tangente de dos pi tercios es un número que ahora colocaremos, pero lo primero que 28 00:02:22,200 --> 00:02:27,720 vamos a hacer es colocar dos pi tercios en el eje X y el valor de la tangente es menos 29 00:02:27,720 --> 00:02:32,560 raíz de tres, colocamos ahora menos raíz de tres sobre el eje Y, trazamos las líneas 30 00:02:32,560 --> 00:02:35,520 y colocamos el punto. 31 00:02:35,520 --> 00:02:41,680 Vamos ahora a por tres pi cuartos, ponemos tres pi cuartos en el eje X, la tangente de 32 00:02:41,680 --> 00:02:47,440 tres pi cuartos es menos uno, ese sería el valor de la tangente, trazamos las líneas 33 00:02:47,440 --> 00:02:50,920 correspondientes y colocamos el punto. 34 00:02:50,920 --> 00:02:57,400 Vamos a por cinco pi sextos, colocamos el punto, cinco pi sextos, la tangente es menos 35 00:02:57,400 --> 00:03:03,440 raíz de tres partido por tres, ahí estaría, trazamos las líneas, ahí estaría el punto. 36 00:03:03,440 --> 00:03:14,400 Vamos ahora por pi, pi, 180 grados, su tangente es cero, la tangente de pi es cero, colocamos 37 00:03:14,400 --> 00:03:20,900 el punto también y borramos esas líneas para dejar el dibujo más claro, tenemos hasta 38 00:03:20,900 --> 00:03:24,640 ahora colocados cuatro puntos. 39 00:03:24,640 --> 00:03:29,160 Vamos a por siete pi sextos, siete pi sextos está ahí, la tangente es raíz de tres partido 40 00:03:29,160 --> 00:03:36,960 por tres, colocamos el punto en su lugar, trazamos las líneas, ese sería el punto, 41 00:03:36,960 --> 00:03:44,240 vamos ahora por cinco pi cuartos, cinco pi cuartos, la tangente es uno, trazamos las 42 00:03:44,240 --> 00:03:50,080 líneas y ahí estaría el punto y por último en esta tabla vamos a por cuatro pi tercios 43 00:03:50,080 --> 00:03:57,920 cuya tangente es raíz de tres, hemos colocado ya cuatro pi tercios, raíz de tres, trazamos 44 00:03:57,920 --> 00:04:03,520 las líneas, ahí estaría el punto, borramos, hemos trazado todos esos valores, vamos a 45 00:04:03,520 --> 00:04:11,240 colocar algunos más en esta otra tabla, por ejemplo, para menos uno aproximadamente, para 46 00:04:11,240 --> 00:04:16,000 menos uno treinta y siete, ya estamos poniendo solo dos decimales, la tangente de ese número 47 00:04:16,000 --> 00:04:24,080 es, vamos a colocarla, menos cinco, hemos trazado la línea en la representación gráfica, 48 00:04:24,080 --> 00:04:29,820 la línea vertical, esa sería la línea horizontal, por tanto, y ese sería el punto, vamos ahora 49 00:04:29,820 --> 00:04:34,640 por menos uno cuarenta y cinco, esa sería la línea vertical, hay que estar muy cerca 50 00:04:34,640 --> 00:04:41,280 de la anterior, un poquito hacia la izquierda pero muy cerca, la tangente vale menos ocho, 51 00:04:41,280 --> 00:04:47,400 trazamos la línea, ese sería el punto, y vamos ahora por uno treinta y siete cuya tangente 52 00:04:47,400 --> 00:04:55,040 es cinco, hemos trazado las líneas, ahí estaría el punto, y por último, menos uno 53 00:04:55,040 --> 00:05:03,720 cuarenta y cinco, esa es la línea, ocho, quitamos las líneas, nos quedan esos puntos, 54 00:05:03,720 --> 00:05:07,720 todos esos puntos nos dan una idea de por dónde va a ir la gráfica de la función 55 00:05:07,720 --> 00:05:16,000 tangente, de acuerdo, trazamos la gráfica ahora, esa sería la gráfica de la función 56 00:05:16,000 --> 00:05:23,280 tangente, esta función es periódica, igual que la enseñé en el coseno, pero su periodo 57 00:05:23,280 --> 00:05:29,320 es pi, es decir, en el intervalo que nosotros la hemos trazado, ese intervalo tiene una 58 00:05:29,320 --> 00:05:38,880 anchura de pi, y podríamos repetir esta función en los intervalos que también tenemos ahí, 59 00:05:38,880 --> 00:05:43,040 los intervalos anteriores, vamos a hacerlo, en ese intervalo que también mide pi, en 60 00:05:43,040 --> 00:05:48,120 este intervalo que también mide pi, trazamos la gráfica, en esos tres intervalos nos damos 61 00:05:48,120 --> 00:05:56,960 cuenta de que es una función periódica, y esa sería la gráfica de la función tangente, 62 00:05:56,960 --> 00:06:08,680 veamos los ceros de esta función, ahí tenemos uno, ahí tenemos el otro, el primero en pi, 63 00:06:08,680 --> 00:06:16,720 el segundo en cero, y en pi, por supuesto no podemos trazar, no podemos hablar de máximo 64 00:06:16,720 --> 00:06:24,800 ni de mínimo para esta función, y una vez que la hemos trazado vamos a fijarnos en detalle 65 00:06:24,800 --> 00:06:31,760 en qué ocurre cerca de los puntos pi medios y del punto tres pi medios, cerca de esos 66 00:06:31,760 --> 00:06:39,040 dos puntos, por ejemplo, vamos a intentar ver lo que se llama hacer un límite, aunque 67 00:06:39,040 --> 00:06:42,360 esto es una definición que sobrepasa un poco lo que es nivel de secundaria, simplemente 68 00:06:42,360 --> 00:06:47,760 queremos tener un poquito de idea de lo que significa cuando nosotros nos vamos acercando 69 00:06:47,760 --> 00:06:53,960 al valor de pi medios por la derecha, quiere decirse que vamos tomando números cada vez 70 00:06:53,960 --> 00:06:59,720 más cerca de pi medios, pero de la derecha hacia la izquierda, es decir, por números 71 00:06:59,720 --> 00:07:05,640 mayores que pi medios, y vamos a ir viendo que le va pasando a las imágenes de estos 72 00:07:05,640 --> 00:07:10,720 puntos, para ello nos vamos a ayudar una tabla de valores, como esta, en la que en esta columna 73 00:07:10,720 --> 00:07:15,640 vamos a ir trazando los valores de x que se acercan a pi medios por la derecha, vamos 74 00:07:15,640 --> 00:07:24,180 a empezar por 1.580, otro más cercano 1.579, 1.578, así vemos que nos vamos acercando 75 00:07:24,180 --> 00:07:33,300 cada vez más al valor de pi medios, empezando por 1.580, cada vez nos acercamos más, si 76 00:07:33,300 --> 00:07:42,140 tenemos una calculadora podemos ver cuál es el valor exacto de pi medios, y a la vez 77 00:07:42,140 --> 00:07:46,740 vamos calculando cuáles son las imágenes para estos puntos, cuáles son los valores 78 00:07:46,740 --> 00:07:53,300 de la tangente para estos puntos, por ejemplo, para 1.580 la tangente es menos 108.65, después 79 00:07:53,300 --> 00:08:02,780 menos 121, en fin, ahí vemos todos los valores, y vemos lo pequeños que son estos valores 80 00:08:02,780 --> 00:08:07,340 en el sentido de que al ser negativos cada vez son más pequeños, son números negativos, 81 00:08:07,340 --> 00:08:12,300 y si nos fijamos tan solo en el valor absoluto, es decir, si lo consideramos sin el signo 82 00:08:12,300 --> 00:08:17,780 vemos que cada vez aumentan más, pero al tener números negativos lo que vemos es que sobre 83 00:08:17,780 --> 00:08:22,500 el eje de la i cada vez están más abajo, más abajo, más abajo, son números que estarían 84 00:08:22,500 --> 00:08:27,100 cada vez mucho más abajo, y mucho más abajo en el eje de la i, si ponemos este número 85 00:08:27,100 --> 00:08:34,020 está todavía más cerca, más cerca de pi medios, ya coincide con él en muchos decimales, 86 00:08:34,020 --> 00:08:43,660 y la tangente de este número es menos 272.241,81, claro, qué número, qué abajo está ya este 87 00:08:43,660 --> 00:08:49,540 número, ¿de acuerdo? Bueno, a raíz de esto lo que nosotros podemos decir es que el valor 88 00:08:49,540 --> 00:08:53,460 de este límite, es decir, cuanto más nos acercamos a pi medios por la derecha, los 89 00:08:53,460 --> 00:09:00,060 valores de la tangente cada vez se acercan más a lo que llamamos menos infinito, menos 90 00:09:00,060 --> 00:09:06,900 infinito no es un número, sino es una manera de indicar precisamente eso, que los valores 91 00:09:06,900 --> 00:09:17,820 cada vez se hacen más pequeños. Si trazáramos la gráfica, lo que hemos hecho es prolongar 92 00:09:17,820 --> 00:09:23,380 esa recta, que podemos ya decir que esa recta se las llama asíntotas, esta recta a la que 93 00:09:23,380 --> 00:09:29,500 la función se acerca cada vez más pero que nunca las toca, se llaman asíntotas, y eso 94 00:09:29,500 --> 00:09:35,180 es lo que ocurriría, ¿de acuerdo? Hemos visto como hemos prolongado la recta que pasa por 95 00:09:35,180 --> 00:09:39,340 pi medios, esa recta vertical que pasa por pi medios, y hemos prolongado la gráfica 96 00:09:39,340 --> 00:09:43,780 de la función poniendo una flecha para indicar que cada vez se acerca más la gráfica de 97 00:09:43,780 --> 00:09:48,700 la función a la recta pero nunca la toca. Esto es digamos que la representación gráfica 98 00:09:48,700 --> 00:09:55,820 de lo que significa lo que acabamos de hacer, de los cálculos que acabamos de hacer, ¿de 99 00:09:55,820 --> 00:10:02,020 acuerdo? Bien, pues esto es lo que significa, que el límite cuando x tiende a pi medios 100 00:10:02,020 --> 00:10:06,780 por la derecha de tangente de x sea menos infinito, gráficamente es igual que lo que 101 00:10:06,780 --> 00:10:13,220 hemos pintado ahí. Vamos a borrar esto porque ahora pretendemos hacer lo mismo pero acercándonos 102 00:10:13,220 --> 00:10:18,060 a 3 pi medios por la derecha y necesitamos el espacio que nos queda aquí abajo, vamos 103 00:10:18,060 --> 00:10:24,620 a trazar esas líneas para hacernos un hueco, está muy apretada la pantalla, y vamos a 104 00:10:24,620 --> 00:10:28,780 escribir en estos dos rectángulos, ahí escribimos lo mismo de antes pero en este caso nos acercamos 105 00:10:28,780 --> 00:10:36,140 a 3 pi medios y nos acercamos por la izquierda, es decir, por valores más pequeños que pi 106 00:10:36,140 --> 00:10:40,140 medios que cada vez se van acercando más a él, mientras que en el caso anterior nos 107 00:10:40,140 --> 00:10:45,540 acercamos por valores cada vez más cerca de pi medios pero eran mayores. Vamos a hacer 108 00:10:45,540 --> 00:10:50,340 igual que antes, los valores de la tangente, tenemos nuestra tabla de valores, igual, y 109 00:10:50,340 --> 00:10:55,700 vamos a escribir aquí los valores que se acercan, los valores de x, del eje de las 110 00:10:55,700 --> 00:11:07,900 x que se acercan a 3 pi medios por la izquierda, 4,700, 4,701, 702, 703, 704, así hasta llegar 111 00:11:07,980 --> 00:11:14,900 a 709, y las tangentes correspondientes para estos valores, ahí las tenemos. Vemos como 112 00:11:14,900 --> 00:11:24,620 cada vez son números más grandes, 80, 87, 96, hasta llegar a 295,07 para 4,709. Si ponemos 113 00:11:24,620 --> 00:11:29,580 un número que está todavía mucho más cerca de 3 pi medios por la izquierda, ese, que 114 00:11:29,580 --> 00:11:39,740 ya coincide en varios decimales, vemos como la tangente de ese número es 504,952,40, 115 00:11:39,740 --> 00:11:44,940 un número muy grande, ¿qué es lo que ocurre aquí? Pues aquí lo que ocurre es que conforme 116 00:11:44,940 --> 00:11:50,940 más nos acercamos a 3 pi medios por la izquierda, mayores son los valores de la tangente de 117 00:11:50,940 --> 00:11:57,620 esos números, y entonces lo que se suele decir es que el límite de la función tangente 118 00:11:57,620 --> 00:12:02,500 cuando x se acerca a 3 pi medios por la izquierda es más infinito, lo cual quiere decir eso, 119 00:12:02,500 --> 00:12:07,220 que cada vez los números son más grandes. Si hacemos lo mismo de antes, prolongamos 120 00:12:07,220 --> 00:12:13,900 esa línea, que ya hemos dicho que se llama asíntota, y prolongamos la función, la gráfica 121 00:12:13,900 --> 00:12:20,020 de la función, pues justamente eso es gráficamente el significado que tiene esta tabla de valores, 122 00:12:20,020 --> 00:12:30,820 de límite que acabamos de ver cuál es el valor de él, ¿verdad? Bien, pues con esto 123 00:12:30,820 --> 00:12:36,860 terminamos con la representación gráfica de la función tangente y también terminamos 124 00:12:36,860 --> 00:12:44,700 con esta serie de vídeos encaminados a aclarar todo lo que significa la trigonometría para 125 00:12:44,700 --> 00:12:49,380 alumnos de secundaria, si bien ya decimos que vídeos como este pueden quedar un poco 126 00:12:49,380 --> 00:12:51,820 más cercanos a un nivel de bachillerato.