1 00:00:00,000 --> 00:00:05,000 primero para entender las ecuaciones de la recta, que son como unas recetas que 2 00:00:05,000 --> 00:00:11,760 si les damos los ingredientes adecuados nos van a permitir construir fórmulas de 3 00:00:11,760 --> 00:00:17,320 la línea recta que nosotros queramos. Vamos a estudiar las distintas 4 00:00:17,320 --> 00:00:20,720 recetas que hay para construir rectas. Y cuando digo recetas me estoy refiriendo 5 00:00:20,720 --> 00:00:26,360 a fórmulas que hay para construir rectas. Pero antes de ver esas fórmulas 6 00:00:26,680 --> 00:00:32,360 vamos a estudiar los ingredientes que son necesarios para construir una recta. 7 00:00:32,360 --> 00:00:37,920 Vale, vamos a ver. Todos sabemos que una línea recta 8 00:00:37,920 --> 00:00:42,960 está formada por muchos puntos puestos uno a continuación de otro, ¿de acuerdo? 9 00:00:42,960 --> 00:00:47,720 Entonces si yo os digo, a ver, imaginaos que yo estuviera hablando por teléfono 10 00:00:47,720 --> 00:00:54,640 con alguien y quisiera que él dibujara exactamente la recta que yo tengo en mi 11 00:00:54,680 --> 00:00:59,360 cabeza, ¿vale? Y le tuviera que describir cómo es la recta que tengo que dibujar, 12 00:00:59,360 --> 00:01:03,680 porque yo puedo dibujar esta recta o puedo dibujar esta otra recta, ¿vale? 13 00:01:03,680 --> 00:01:09,800 Hay rectas infinitas, hay infinitos tipos de rectas con distintas inclinaciones y 14 00:01:09,800 --> 00:01:15,360 colocadas en el plano en distintos lugares, ¿vale? Por ejemplo, imaginaos que 15 00:01:15,360 --> 00:01:20,440 estos son los R de coordenadas, ¿vale? Yo puedo dibujar esta recta o esta, ¿vale? 16 00:01:21,440 --> 00:01:27,280 Las líneas rectas siempre consideramos que son infinitas de largo, ¿vale? Tienen una 17 00:01:27,280 --> 00:01:33,920 longitud infinita, entonces esto se alargaría, ¿vale? 18 00:01:33,920 --> 00:01:38,160 Y bueno, podríamos continuar todo lo que quisiéramos, ¿de acuerdo? Entonces yo quiero 19 00:01:38,160 --> 00:01:43,760 que la persona que está al otro lado del teléfono dibuje exactamente la recta que 20 00:01:43,760 --> 00:01:48,520 yo quiero, ¿vale? Pues, ¿qué ingredientes le tendríamos que dar para que él supiera 21 00:01:48,520 --> 00:01:51,520 dibujarla? Y estoy hablando de dibujos, no estoy hablando todavía de fórmulas, ¿vale? 22 00:01:51,520 --> 00:01:58,120 Estoy hablando de qué necesita él para dibujarlas, ¿vale? Pues una manera, 23 00:01:58,120 --> 00:02:02,160 no sé si a alguien se le habrá ocurrido ya, pero una manera 24 00:02:02,160 --> 00:02:08,240 que tengo yo de asegurarme de que esa persona 25 00:02:08,240 --> 00:02:13,880 dibuja exactamente la recta que yo estoy pensando, es decirle dos puntos. Puedo 26 00:02:13,880 --> 00:02:17,280 darle dos puntos. 27 00:02:17,880 --> 00:02:24,480 A ver, quiero que dibujes la recta que pasa exactamente por este punto y por 28 00:02:24,480 --> 00:02:29,720 este otro punto, por el punto A y B. Le doy las coordenadas del punto A y B y 29 00:02:29,720 --> 00:02:34,920 él dibuja en los ejes de coordenadas el punto A, el punto B, con las coordenadas lo 30 00:02:34,920 --> 00:02:41,200 puede hacer perfectamente, traza la recta y va a dibujar exactamente la recta que 31 00:02:41,200 --> 00:02:46,800 yo quería que dibujara. Si le doy dos puntos lo estoy consiguiendo, ¿de acuerdo? 32 00:02:46,800 --> 00:02:51,400 Otra manera de conseguirlo, porque si le diera solo un punto, 33 00:02:51,400 --> 00:02:55,200 imaginaos que le doy el punto B. Trazame la recta que pasa por el punto B, no 34 00:02:55,200 --> 00:03:00,080 sería suficiente porque por el punto B pasa esta recta, que le puedo llamar R, y 35 00:03:00,080 --> 00:03:06,200 pasa esta otra, y pasan muchas otras más. Con un solo punto no, con dos sí, ¿vale? 36 00:03:06,200 --> 00:03:11,600 Otra manera que puedo hacer es 37 00:03:12,200 --> 00:03:15,520 darle un punto 38 00:03:17,800 --> 00:03:22,160 y un vector. 39 00:03:23,600 --> 00:03:28,800 ¿Por qué un punto y un vector? Porque si le doy el punto B, 40 00:03:28,800 --> 00:03:34,320 oye, quiero la recta que pase por el punto B y que tenga la dirección, ¿vale? 41 00:03:34,320 --> 00:03:37,720 Cuando yo para construir una recta le estoy dando un vector, le estoy diciendo 42 00:03:37,720 --> 00:03:42,280 en realidad la dirección que tiene esa recta, la inclinación de la recta. 43 00:03:42,280 --> 00:03:48,400 Entonces, si le digo la recta que pasa por el 44 00:03:48,400 --> 00:03:53,920 punto B y tiene la inclinación del vector AB, 45 00:03:53,920 --> 00:03:59,440 entonces ya solo puede ser ésta, porque no hay ninguna otra recta que pase por B 46 00:03:59,440 --> 00:04:05,920 y tenga esta inclinación, la misma que este vector, porque yo puedo tener muchas 47 00:04:05,920 --> 00:04:11,040 rectas con esta inclinación, con la misma inclinación que tiene este 48 00:04:11,040 --> 00:04:17,000 vector, pero solo una pasa por aquí, porque la otra que yo dibujara pasaría 49 00:04:17,000 --> 00:04:21,000 por aquí, o por aquí, o por aquí. Hay infinitas rectas con esta inclinación, 50 00:04:21,000 --> 00:04:26,800 pero si además doy un punto, pues ya solo puede ser la recta que yo estoy pensando. 51 00:04:26,800 --> 00:04:32,160 Os he escrito aquí resumido lo que hace falta en realidad para poderle explicar 52 00:04:32,160 --> 00:04:36,040 a otra persona cuál es la recta que tiene que dibujar y que la pueda dibujar 53 00:04:36,280 --> 00:04:42,080 sin lugar a dudas. Entonces, antes habíamos dicho que o dos puntos o un 54 00:04:42,080 --> 00:04:46,080 punto o un vector director, para ser más exactos y más concretos, lo que hace 55 00:04:46,080 --> 00:04:50,880 falta siempre siempre es un punto por el que pase la recta y luego algo que nos 56 00:04:50,880 --> 00:04:56,760 dé la inclinación de la recta. Si tú tienes un punto, por ese punto pueden 57 00:04:56,760 --> 00:05:01,680 ser infinitas rectas las que podamos dibujar, cada una con una inclinación 58 00:05:01,680 --> 00:05:05,560 distinta, pero si damos las dos cosas, el punto por el que tiene que pasar la 59 00:05:05,560 --> 00:05:11,720 recta y la inclinación que tiene, ya quien sea va a poder dibujar exactamente 60 00:05:11,720 --> 00:05:16,160 la recta en la que nosotros estamos pensando. ¿Vale? Un punto y la inclinación. 61 00:05:16,160 --> 00:05:19,920 Pues si tiene que pasar por este punto y la inclinación es ésta, ésta es la recta 62 00:05:19,920 --> 00:05:25,080 que tiene que dibujar, pero si la inclinación es ésta otra, ésta o ésta, ¿vale? 63 00:05:25,080 --> 00:05:30,960 Ya sabéis, dos cosas. Siempre, siempre, para dibujar una recta necesitamos 64 00:05:31,120 --> 00:05:40,160 dos tipos de información, ¿vale? Un punto por el que pasa y la inclinación, pero pasa... 65 00:05:40,160 --> 00:05:48,120 hay un temilla, ¿vale? Es que la inclinación, la inclinación nos la pueden dar de 66 00:05:48,120 --> 00:05:52,840 distintas formas, ¿vale? Hay muchas maneras de darle inclinación. Vosotros conocéis 67 00:05:52,840 --> 00:05:58,480 algunas de ellas, ¿vale? Me he parado a pensar y se me ocurren todas 68 00:05:58,480 --> 00:06:04,000 estas formas en las que nos pueden indicar la inclinación que debe tener 69 00:06:04,000 --> 00:06:09,320 una recta, ¿vale? Y todas estas formas vamos a tener que saber manejarlas y no 70 00:06:09,320 --> 00:06:14,560 sólo manejarlas, sino que si nos dan una, con esa, vamos a tener, vamos a tener que 71 00:06:14,560 --> 00:06:20,080 ser capaces de averiguar todas las otras formas, ¿vale? Porque cada receta que 72 00:06:20,080 --> 00:06:25,280 estudiaremos, cada fórmula utiliza unos ingredientes distintos, ¿vale? Esto es 73 00:06:25,280 --> 00:06:30,840 como si, como si fuera lo que hay en la tienda, ¿vale? 74 00:06:30,840 --> 00:06:34,960 Y estos son los ingredientes que tendremos que coger los que sean 75 00:06:34,960 --> 00:06:38,560 adecuados para la receta que nosotros queremos hacer, para los distintos tipos 76 00:06:38,560 --> 00:06:42,200 de ecuaciones de la recta que hay, ¿vale? Que veremos más adelante. Entonces, ahora 77 00:06:42,200 --> 00:06:46,240 mismo nos vamos a centrar con los ingredientes, ¿vale? Un punto, todos sabemos 78 00:06:46,240 --> 00:06:50,240 un punto lo que es y lo que nos tienen que dar son las coordenadas, ¿vale? 79 00:06:50,240 --> 00:06:57,360 Entonces vamos a llamarle a 1 y a 2 a las coordenadas del punto A, ¿vale? 80 00:06:57,360 --> 00:07:01,040 Una primera manera de darnos la inclinación de la recta es que nos dieran 81 00:07:01,040 --> 00:07:06,560 otro punto. Si nos dan un punto y además otro, si nos dan dos puntos en total, ya 82 00:07:06,560 --> 00:07:13,840 podemos dibujar la recta adecuada. ¿Vale? Si nos dan este punto y además este otro 83 00:07:13,840 --> 00:07:17,880 punto, en el fondo nos están dando la inclinación, porque si tienen que pasar 84 00:07:17,880 --> 00:07:21,000 por estos dos puntos, la recta a la fuerza tiene que tener una determinada 85 00:07:21,000 --> 00:07:26,960 inclinación. Y si nos dan este punto y este otro punto, para la fuerza, la recta 86 00:07:26,960 --> 00:07:31,600 que sale es ésta, ¿vale? Y no hay ninguna otra. O sea que si nos dan dos puntos ya 87 00:07:31,600 --> 00:07:37,120 nos están dando un punto y además información sobre la inclinación, ¿vale? 88 00:07:37,120 --> 00:07:40,880 Eso sin problemas. Todos sabemos lo que son los puntos, nos darían las 89 00:07:40,880 --> 00:07:45,160 coordenadas de los puntos y yo os explicaría la manera de, a partir de ahí, 90 00:07:45,160 --> 00:07:50,160 construir la receta que vosotros quisierais. Muy bien. El vector director, 91 00:07:50,160 --> 00:07:54,600 que es el ejemplo que os ponía antes, tengo un punto y un vector director se 92 00:07:54,600 --> 00:07:58,080 llama vector director porque va en la misma dirección de la recta, ¿vale? Un 93 00:07:58,080 --> 00:08:01,880 vector director, imaginaos que yo os digo que este es el vector director de una 94 00:08:01,880 --> 00:08:06,640 recta. Le llamo D. O sea, yo quiero construir una recta que vaya en esta 95 00:08:06,640 --> 00:08:12,520 dirección, ¿vale? Que vaya en esta dirección tenemos esta recta, o esta, o 96 00:08:12,640 --> 00:08:17,480 esta, infinitas, y las que hay entre medias, ¿vale? Infinitas rectas, todas paralelas 97 00:08:17,480 --> 00:08:20,920 entre sí porque todas tienen la misma dirección, la misma inclinación, entonces 98 00:08:20,920 --> 00:08:24,640 todas estas rectas con la misma dirección son paralelas porque este 99 00:08:24,640 --> 00:08:28,360 vector es libre, lo podemos poner donde queramos, es un vector libre que no tiene 100 00:08:28,360 --> 00:08:32,200 punto de aplicación. Pero si le damos ese punto de aplicación, o si le damos un 101 00:08:32,200 --> 00:08:36,440 punto por donde tiene que pasar la recta y además que tiene que tener esta 102 00:08:36,440 --> 00:08:42,320 inclinación, el punto y la inclinación con el vector director ya sólo puede ser 103 00:08:42,320 --> 00:08:47,000 esta recta, ¿vale? O sea que recordad que vector director, que también tendrá sus 104 00:08:47,000 --> 00:08:51,360 coordenadas de 1 y de 2, vamos a llamarle, 105 00:08:51,880 --> 00:08:55,520 es una información que nos pueden dar para construir la recta que nosotros 106 00:08:55,520 --> 00:08:59,440 queramos, ¿vale? El vector normal es un poco más rebuscado pero en el fondo es 107 00:08:59,440 --> 00:09:04,000 lo mismo que el vector director, ¿vale? Pero es que hay ecuaciones en las que 108 00:09:04,000 --> 00:09:10,080 interesa utilizar el vector normal en lugar del vector director, ¿vale? 109 00:09:12,320 --> 00:09:16,760 El vector normal simplemente es un vector que no va en la dirección de la 110 00:09:16,760 --> 00:09:23,800 recta sino que es perpendicular a la recta, es decir, forma 90 grados con la 111 00:09:23,800 --> 00:09:29,440 recta. Es otra manera un poco rara y un poco rebuscada de dar también la 112 00:09:29,440 --> 00:09:33,360 inclinación porque si el vector siempre tiene que formar 90 grados con la recta, 113 00:09:33,360 --> 00:09:38,920 si yo cambio la dirección del vector también tenemos que cambiar la 114 00:09:38,920 --> 00:09:43,440 dirección de la recta. Entonces es otra manera también de decirme cómo tiene que 115 00:09:43,440 --> 00:09:48,120 ser la inclinación de la recta. Entonces con el vector normal y un punto, ¿vale? 116 00:09:48,120 --> 00:09:55,520 Porque con este vector normal también hay infinitas rectas normales a ese 117 00:09:55,520 --> 00:09:59,640 vector. Normal, cuando decimos normal, es un sinónimo de perpendicular, ¿vale? Más o 118 00:09:59,640 --> 00:10:04,400 menos, para que nos entendamos. Entonces hay muchísimas rectas infinitas que 119 00:10:04,400 --> 00:10:09,720 son, que estarían relacionadas con este vector normal, que tendrían la 120 00:10:09,720 --> 00:10:15,680 inclinación que indica este vector normal, ¿vale? Pero solo una de ellas pasará por 121 00:10:15,680 --> 00:10:19,640 un punto que nosotros digamos y además tendrá esta inclinación. Así que otro 122 00:10:19,640 --> 00:10:24,360 ingrediente que debemos conocer y que os voy a explicar cómo se maneja es el 123 00:10:24,360 --> 00:10:28,880 vector normal. Vector director, vector normal, otro punto, la pendiente de la 124 00:10:28,880 --> 00:10:35,120 recta. La pendiente de la recta es un numerito que ya habéis utilizado a veces 125 00:10:35,120 --> 00:10:40,280 en la ecuación punto pendiente que estudiamos otros años. Es un número, ¿vale? 126 00:10:40,280 --> 00:10:46,240 Nosotros hemos estudiado muchas veces la ecuación de una recta con esta fórmula, 127 00:10:46,240 --> 00:10:50,800 ¿vale? Que será una de las que veamos este año también, ¿vale? Este número que 128 00:10:50,800 --> 00:10:54,920 acompaña a la x le llamamos pendiente. 129 00:10:55,320 --> 00:11:01,560 Y este número que estaba sin la x era la ordenada en el origen. 130 00:11:06,640 --> 00:11:11,240 ¿Vale? Y con estos dos numeritos, la pendiente y la ordenada en el origen, 131 00:11:11,240 --> 00:11:16,800 podíamos construir una línea recta porque la ordenada en el origen, en el 132 00:11:16,800 --> 00:11:21,960 fondo, es un punto también. Vamos a ver, lo voy a poner aquí. 133 00:11:21,960 --> 00:11:28,160 La ordenada en el origen, si nos dan que n es igual a 2, por ejemplo, n igual a 2, 134 00:11:28,160 --> 00:11:35,800 en realidad lo que nos están diciendo es que la ordenada cuando la x es 0, 135 00:11:35,800 --> 00:11:42,520 la y es 2, n igual a 2. O sea que lo que nos están dando es un punto, el punto 136 00:11:43,240 --> 00:11:52,200 0, 2. Y la pendiente, imaginaos que la pendiente es 3, indica cuánto avanzamos 137 00:11:52,200 --> 00:11:58,520 en la y por cada unidad que avanzamos en la x. Es decir, si yo parto de este 138 00:11:58,520 --> 00:12:09,520 punto y avanzo una unidad hacia la derecha, hacia arriba avanzaré 3. 1, 2 y 3. 139 00:12:09,520 --> 00:12:17,520 Así que el siguiente punto sería este. La recta que yo busco es esta de aquí. 140 00:12:17,520 --> 00:12:23,560 ¿Vale? Si la pendiente, esta es la recta, este dibujo que he hecho, sería la recta y 141 00:12:23,560 --> 00:12:35,320 igual a 3x más 2, porque la m es 3 y la n es 2. Pasa por el 2 cuando la x es 0 y 142 00:12:35,320 --> 00:12:39,000 tiene una inclinación tal que cada vez que avanzamos una unidad hacia la 143 00:12:39,000 --> 00:12:45,720 derecha en las x avanzamos 3 hacia arriba. ¿Vale? Si la inclinación, si ahora 144 00:12:45,720 --> 00:12:51,280 quiero construir otra recta que también tenga ordenada en el origen 2, pero la m 145 00:12:51,280 --> 00:13:00,640 es menos 1, menos x, más 2. Fijaos que aquí la n sigue siendo 2, pero la 146 00:13:00,640 --> 00:13:06,280 pendiente es menos 1. ¿Qué significa que sea pendiente menos 1? Va a pasar por 147 00:13:06,280 --> 00:13:11,440 aquí, porque la ordenada en el origen es la misma, pero cada vez que avanzamos un 148 00:13:11,440 --> 00:13:18,120 paso hacia la derecha lo que hacen las is es bajar una unidad. Así que en este 149 00:13:18,120 --> 00:13:23,280 caso la recta de la que nos están hablando es esta de aquí. Esa es la 150 00:13:23,280 --> 00:13:30,120 pendiente, es otra manera de indicarnos lo inclinada que está la recta. ¿Vale? 151 00:13:30,120 --> 00:13:34,800 Vale, eso para recordarlo, porque esto ya lo habéis visto, pero bueno, 152 00:13:34,880 --> 00:13:37,960 haremos ejercicios que os ayudarán a entenderlo mejor y si no me podéis 153 00:13:37,960 --> 00:13:43,120 preguntar siempre que queráis. La pendiente de la recta es otra manera de 154 00:13:43,120 --> 00:13:49,000 dar la inclinación de la recta y el ángulo que forma la recta con el eje de 155 00:13:49,000 --> 00:14:02,200 ascisas. ¿Vale? Imaginaos que nos dicen que la recta pasa por 2 igual 156 00:14:02,280 --> 00:14:07,160 y tiene un ángulo con el eje de ascisas, que es lo mismo que con una línea 157 00:14:07,160 --> 00:14:12,200 horizontal, tiene un ángulo de 45 grados. 158 00:14:13,120 --> 00:14:20,640 Pues si tiene un ángulo de 45 grados y pasa por ese punto, por el 0,2, pues es 159 00:14:20,640 --> 00:14:26,760 esta recta. Si nos dicen que el ángulo no es de 45, que es de 60 y sigue pasando 160 00:14:26,800 --> 00:14:33,600 por el mismo punto, pues más inclinada. ¿Vale? Sabríamos, si nos dan cualquiera 161 00:14:33,600 --> 00:14:38,160 de estas informaciones, nosotros sabríamos dibujar, sabríamos dibujar la 162 00:14:38,160 --> 00:14:44,440 recta que nos están pidiendo, pero ¿sabríamos averiguar su ecuación? Pues 163 00:14:44,440 --> 00:14:51,360 ese va a ser el objetivo de este tema. ¿Vale? Viendo un dibujo, saber deducir la 164 00:14:51,360 --> 00:14:55,960 ecuación y viendo la ecuación, saber hacer el dibujo, saberlo deducir y para 165 00:14:55,960 --> 00:15:00,880 eso tenemos que manejar muy muy bien todos estos ingredientes y os voy a 166 00:15:00,880 --> 00:15:08,040 explicar ahora cómo pasar de uno de los ingredientes a el otro. ¿Vale? Voy a daros 167 00:15:08,040 --> 00:15:12,920 algunos apuntes y lo iremos viendo mejor cuando veamos ya las ecuaciones, pero de 168 00:15:12,920 --> 00:15:16,960 momento vamos a ver si nos dan otro punto. ¿Cómo averiguamos un vector 169 00:15:16,960 --> 00:15:21,000 director? ¿Vale? ¿Cómo averiguamos la pendiente de la recta? ¿Cómo averiguamos 170 00:15:21,000 --> 00:15:25,920 un vector normal a partir de un vector director o a partir de dos puntos? 171 00:15:25,920 --> 00:15:33,040 Eso es importante que sepamos manejar estos ingredientes a la perfección. ¿Vale? 172 00:15:33,680 --> 00:15:39,840 Bueno, vamos a ver esas formas de dar la inclinación de la recta. 173 00:15:39,840 --> 00:15:44,920 Imaginamos que nos dan dos puntos. Los he dibujado aquí. El punto A que tiene 174 00:15:44,920 --> 00:15:54,360 coordenadas 1, 1. Lo veis. Y el punto B que tiene coordenadas 5, 3. ¿De acuerdo? 175 00:15:54,360 --> 00:16:01,760 Y con esos dos puntos, que hemos dicho que teniendo dos puntos ya tenemos 176 00:16:01,760 --> 00:16:06,480 información sobre la inclinación de la recta, vamos a intentar sacar, por ejemplo, 177 00:16:06,480 --> 00:16:15,440 la pendiente de la recta. ¿Vale? Hay que recordar que hay varias maneras de 178 00:16:15,440 --> 00:16:30,880 saber la inclinación de la recta. Dos puntos o el vector director o el vector 179 00:16:30,880 --> 00:16:51,320 normal, o la pendiente, o el ángulo. El ángulo con la horizontal. 180 00:16:52,320 --> 00:17:05,160 Bueno, vamos a ver si tenemos dos puntos. Bueno, mira, con dos puntos, había dicho 181 00:17:05,160 --> 00:17:08,840 la pendiente, pero es que el vector director es muy fácil. A ver, una recta 182 00:17:08,840 --> 00:17:16,680 que pasa por estos dos puntos. ¿Verdad? Tenemos los dos puntos. ¿Cómo podríamos 183 00:17:16,720 --> 00:17:21,960 sacar el vector director? Pues un vector director de la recta, un vector que tenga 184 00:17:21,960 --> 00:17:27,920 la misma inclinación de la recta, puede ser perfectamente el vector que vaya de A 185 00:17:27,920 --> 00:17:37,760 hasta B. Así que el vector director de la recta puede ser el vector AB. Y teniendo 186 00:17:37,760 --> 00:17:42,880 dos puntos, hemos estudiado cómo se sacan sus coordenadas, ¿no? Las coordenadas 187 00:17:42,880 --> 00:17:49,880 del vector que los une. B menos A, las del extremo menos las del origen. Entonces 5, 188 00:17:49,880 --> 00:18:02,280 3, menos 1, 1. Las coordenadas del vector directo serían 4, 2. Perfecto. ¿Vale? 189 00:18:02,280 --> 00:18:10,280 Fijaos que hemos relacionado ya estas dos formas. ¿Cómo podemos sacar un vector 190 00:18:10,360 --> 00:18:17,280 normal a partir del vector director? Bueno, pues el vector director, que es este, 191 00:18:17,280 --> 00:18:25,600 el vector normal tiene que formar 90 grados con el director. ¿Vale? Un vector normal. 192 00:18:25,600 --> 00:18:30,040 Nos da igual cómo sea de grande, lo único que queremos es que forme 90 grados con el 193 00:18:30,040 --> 00:18:35,720 vector director. Cuando hablamos de ángulos entre vectores, a mí enseguida me viene a 194 00:18:35,720 --> 00:18:45,240 la cabeza una fórmula. ¿Vale? Que es la fórmula del producto escalar. Entonces podríamos 195 00:18:45,240 --> 00:18:51,760 plantear la fórmula del producto escalar entre los dos vectores, entre el director 196 00:18:51,760 --> 00:18:57,560 y el normal. A ver cómo sería esa fórmula. El vector director multiplicado por el vector 197 00:18:57,560 --> 00:19:05,000 normal escalarmente sería el módulo del vector director por el módulo del vector 198 00:19:05,000 --> 00:19:18,440 normal por el coseno del ángulo que forman el vector director y el vector normal. ¿Vale? 199 00:19:18,440 --> 00:19:24,880 Pues esto no parece que me haya ayudado mucho, ¿no? Porque no sé ni... bueno, podría saber 200 00:19:24,880 --> 00:19:29,640 el módulo del vector director, porque lo puedo calcular aquí, pero el del vector 201 00:19:29,640 --> 00:19:35,440 normal en principio podría tener cualquier módulo, eso me daría igual, porque me da 202 00:19:35,440 --> 00:19:40,440 igual lo largo que sea el vector normal, lo único que quiero es que forme 90 grados. 203 00:19:40,440 --> 00:19:46,280 El coseno del ángulo que forman, el coseno del ángulo que forman sí que es algo... esto 204 00:19:46,280 --> 00:19:52,160 tampoco lo sé en el producto escalar, pero el coseno del ángulo que forman, como forman 205 00:19:52,160 --> 00:19:58,040 90 grados es el coseno de 90 grados, porque son perpendiculares. ¿Cuánto era el coseno 206 00:19:58,040 --> 00:20:04,000 de 90 grados? Seguro que no os acordáis. Vamos a ponerlo en la calculadora. Coseno 207 00:20:04,000 --> 00:20:18,840 de 90 grados. ¿Cero? ¡Cero! El cero es un número guay para hacer cuentas, porque, fijaos, 208 00:20:18,960 --> 00:20:25,840 si estoy multiplicando por cero, que es el coseno de 90, valga lo que valga esto, ¿qué 209 00:20:25,840 --> 00:20:36,440 va a pasar? Que va a dar cero. O sea que, si dos vectores... y esto metéroslo en la 210 00:20:36,440 --> 00:20:42,840 cabeza porque sale un mogollón de problemas, ¿vale? Esto grabadlo en rojo, en fosforito, 211 00:20:42,840 --> 00:21:09,240 como queráis. Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar da cero. Siempre da cero, 212 00:21:09,240 --> 00:21:14,280 ¿por qué? Porque como tienen un ángulo de 90 grados entre sí, el coseno de 90 es 213 00:21:14,280 --> 00:21:26,960 cero y siempre va a dar cero, ¿vale? Dos vectores son perpendiculares y su producto 214 00:21:26,960 --> 00:21:32,000 escalar da cero y viceversa, ¿vale? El producto escalar de dos vectores perpendiculares da 215 00:21:32,000 --> 00:21:37,720 cero. Y ahora es cuando va a llegar todo lo que esperabais vosotros. Tenía que haber 216 00:21:37,720 --> 00:21:49,560 preparado una musiquita porque es la sección favorita de todos vosotros. El mateconsejo. 217 00:21:49,560 --> 00:22:00,360 El mateconsejo del día. Si tenemos que el producto escalar de dos vectores tiene que 218 00:22:00,360 --> 00:22:10,760 dar cero, vamos a imaginarnos las coordenadas del vector director y las coordenadas del 219 00:22:10,760 --> 00:22:16,240 vector normal. Las coordenadas del vector director le llamamos d1 y d2. Las coordenadas 220 00:22:16,240 --> 00:22:23,040 del vector normal n1 y n2, ¿vale? ¿Cómo se hace el producto escalar? Pues ya explicamos 221 00:22:23,040 --> 00:22:34,440 la fórmula fácil, d1 por n1 más d2 por n2. Y esto tiene que dar cero porque el producto 222 00:22:34,440 --> 00:22:42,400 escalar de dos vectores perpendiculares tiene que dar cero, ¿vale? Y es que nos da igual 223 00:22:42,400 --> 00:22:55,880 cuáles sean las coordenadas mientras esto dé cero. Eso quiere decir que d1 por n1 224 00:22:55,880 --> 00:23:15,240 tiene que ser lo mismo que menos d2 por n2, pasándolo al otro lado y viéndolo. Vamos 225 00:23:15,240 --> 00:23:32,440 a ponerlas en ese lado y las des al otro. ¿Qué me doy cuenta aquí? Fijaos, las coordenadas 226 00:23:32,440 --> 00:23:43,800 del vector normal podrían ser las mismas que del vector director pero dadas la vuelta 227 00:23:43,800 --> 00:23:53,240 y con el signo negativo. Bueno, aquí no sé si os estaréis dando cuenta o no, pero 228 00:23:53,240 --> 00:24:00,280 a lo que yo iba, al mateconsejo. Esta es la explicación del mateconsejo, pero el mateconsejo, 229 00:24:00,280 --> 00:24:05,880 como todos los mateconsejos, es muy fácil. Si yo tengo un vector director, por ejemplo 230 00:24:05,880 --> 00:24:14,320 el que nos ha salido antes, que tiene coordenadas 4, 2, una forma fácil, fácil, muy fácil 231 00:24:14,320 --> 00:24:24,480 de encontrar un vector perpendicular a éste es, tachán, darle la vuelta a sus coordenadas 232 00:24:24,480 --> 00:24:30,440 y a una de las dos, la que más rabia nos dé, le cambiamos el signo. Es decir, por 233 00:24:30,440 --> 00:24:40,040 ejemplo yo podría poner 2, 4, le he dado la vuelta, y a una de las dos, por ejemplo 234 00:24:40,040 --> 00:24:48,000 al 4, le cambio el signo. Podría haberselo cambiado al 2 perfectamente. Y yo sé que 235 00:24:48,000 --> 00:24:55,560 éste y éste forman 90 grados con ese sencillo truco. ¿Vale? Comprobémoslo. Vamos a calcular 236 00:24:55,680 --> 00:25:07,960 su producto escalar. A ver si da 0. Seguro que sí. Mirad. 4 por 2 más 2 por menos 4, 237 00:25:07,960 --> 00:25:15,840 es que tiene que dar 0, claro, es 8 menos 8, 0. Es un truco muy fácil y nos permite 238 00:25:15,840 --> 00:25:20,520 cuando tenemos un vector director averiguar un vector normal. Y si tienes un vector normal 239 00:25:20,520 --> 00:25:25,880 también te sirve para hallar un vector director. Es darle la vuelta a sus coordenadas y le 240 00:25:25,880 --> 00:25:30,160 cambiamos el signo a una. De esta manera cuando hagamos esta operación va a dar 0 a la fuerza 241 00:25:30,160 --> 00:25:34,960 porque son los mismos números pero he cambiado el signo. Entonces cuando se suman da 0. ¿Vale? 242 00:25:34,960 --> 00:25:41,400 Es un truco muy fácil. Entonces tienes dos puntos. Puedes averiguar fácil el vector 243 00:25:41,400 --> 00:25:45,560 director. Del vector director puedes averiguar el vector normal. ¿Cómo es la pendiente? 244 00:25:45,880 --> 00:25:54,960 ¿Qué hay que hacer para averiguar la pendiente? La pendiente es muy fácil. La pendiente lo que 245 00:25:54,960 --> 00:26:06,160 indica es que por cuánto avanza la I, vamos a ver, por tantas unidades que avancemos hacia 246 00:26:06,160 --> 00:26:11,600 la derecha, cuántas avanzamos hacia arriba. La fórmula de la pendiente es esta, que la sabéis 247 00:26:11,600 --> 00:26:24,520 de otros años. M es igual al incremento de la I dividido entre el incremento de la X. ¿Vale? 248 00:26:25,360 --> 00:26:34,360 Para que lo entendáis mejor, si yo tengo dos puntos, si yo tengo dos puntos, a ver, a ver, a ver, a ver, 249 00:26:38,960 --> 00:26:41,080 si yo tengo el punto A, 250 00:26:41,080 --> 00:26:55,880 el punto A que tiene coordenadas a1 y a2, y el punto B que tiene coordenadas b1 y b2. ¿Vale? 251 00:26:55,880 --> 00:27:08,880 Fijaos. ¿Vale? ¿Cuánto se ha incrementado la I? ¿Vale? La I es esto, lo que ha subido para pasar 252 00:27:08,880 --> 00:27:13,880 de A a B, ¿cuánto hemos subido? Hemos subido este trozo, este es el incremento de la I. ¿Vale? 253 00:27:13,880 --> 00:27:23,880 Para saber lo que ha incrementado la I, esto hay que restar la coordenada I de la B, es decir, b2, 3, 254 00:27:23,880 --> 00:27:32,880 menos la coordenada I de la A. ¿Vale? Si de la A hemos pasado la B, hemos pasado de 1 hasta 3. 255 00:27:32,880 --> 00:27:44,880 Lo alto que estaba el B menos lo alto que está la B2 menos A2, y en las X, ¿de dónde hemos ido? 256 00:27:44,880 --> 00:28:00,880 Pues de 1 hasta 5, es decir, B1 menos A1. Es decir, 3 menos 1 es lo que se ha incrementado la I, 257 00:28:00,880 --> 00:28:11,880 partido de 5 menos 1, que es lo que se ha incrementado la X. ¿Vale? Todo este trozo es lo que hemos incrementado la X. 258 00:28:11,880 --> 00:28:22,880 Es decir, dos cuartos, la pendiente es un medio. ¿Vale? ¿Esto cómo se relaciona con los vectores? 259 00:28:22,880 --> 00:28:37,880 ¿Vale? Fijaos, este es el vector. Fijaos también que lo que se ha incrementado la I es justo la coordenada I 260 00:28:37,880 --> 00:28:43,880 del vector. Y lo que se ha incrementado la X, fijaos que este es el vector AB. 261 00:28:43,880 --> 00:28:54,880 Esta es la coordenada I del vector y esta es la coordenada X del vector, que es 4. Fijaos que está aquí abajo. 262 00:28:54,880 --> 00:29:03,880 Entonces la M y la D también están muy relacionadas. La M, la pendiente, se puede obtener como 263 00:29:03,880 --> 00:29:13,880 la coordenada I del vector director entre la coordenada X del vector director. ¿Ves? 2 entre 4. 264 00:29:13,880 --> 00:29:22,880 2 entre 4. A partir del vector director sale muy fácil también la pendiente. ¿Vale? 265 00:29:22,880 --> 00:29:30,880 Y una última cosa, el ángulo que forma con la horizontal. Fijaos, el ángulo que forma con la horizontal es este. 266 00:29:30,880 --> 00:29:45,880 Por la trigonometría que hemos estudiado en el tema anterior, ¿qué razón trigonométrica podemos obtener con estos dos lados que conocemos? 267 00:29:45,880 --> 00:29:55,880 Pues este es el cateto opuesto. Este es el cateto contiguo. La tangente de alfa del ángulo que nosotros buscamos es... 268 00:29:56,880 --> 00:30:07,880 Pues eso. D2 entre D1, es decir, la pendiente. La pendiente no es ni más ni menos que la tangente del ángulo que forma con la horizontal. 269 00:30:07,880 --> 00:30:18,880 Entonces si quiero saber el ángulo que forma con la horizontal, solo tengo que hacer el arcotangente de la pendiente, que es esto. 270 00:30:18,880 --> 00:30:30,880 Entonces, para resumir. Una pequeña chuletilla resumen. Lo tenéis aquí todo, pero al final, con la explicación, se me ha quedado un poquito... 271 00:30:30,880 --> 00:30:32,880 ¿Vale? 272 00:30:32,880 --> 00:30:34,880 Inclinación de una recta. 273 00:30:34,880 --> 00:30:55,880 ¿Vale? Tenemos dos puntos. El punto A, que tiene coordenadas a1, a2. El punto B, que tiene coordenadas b1, b2. 274 00:30:55,880 --> 00:30:59,880 La pendiente. ¿Cómo se obtiene? 275 00:30:59,880 --> 00:31:13,880 b2 menos a2 partido de b1 menos a1, que esto es el incremento de las is entre el incremento de las x. 276 00:31:13,880 --> 00:31:22,880 O bien, también es la coordenada y del vector director entre la coordenada x del vector director. 277 00:31:22,880 --> 00:31:26,880 O también es la tangente del ángulo alfa. 278 00:31:26,880 --> 00:31:37,880 Entonces, D, que tiene coordenadas de 1 y de 2, es vector director de la recta. 279 00:31:44,880 --> 00:31:48,880 M es la pendiente de la recta. 280 00:31:53,880 --> 00:32:05,880 Y alfa es el ángulo de la recta con la horizontal. 281 00:32:06,880 --> 00:32:24,880 Y por último, el vector normal se obtiene como, por ejemplo, vamos a poner, menos d2 entre, o sea, coma, d1. 282 00:32:24,880 --> 00:32:27,880 ¿Vale? ¿Veis? Al vector director le damos la vuelta a las coordenadas. 283 00:32:27,880 --> 00:32:32,880 Y a una de las dos, podría ser esta o la otra, le cambiamos el signo. 284 00:32:32,880 --> 00:32:42,880 Y este es un resumen de cómo manejar los ingredientes que hablan de la inclinación de una recta.