1
00:00:00,750 --> 00:00:09,109
Hoy vamos a ver un ejercicio sencillito. Es del modelo del año 2017, de la EBAO de Madrid, como siempre.

2
00:00:10,710 --> 00:00:18,609
Del modelo B, el ejercicio 2. Es un problema de geometría 3D, relativamente sencillo, digo.

3
00:00:19,530 --> 00:00:24,829
Nos dan tres puntos y nos piden hallar la ecuación del plano que contiene a los tres puntos.

4
00:00:24,829 --> 00:00:28,589
bueno, vamos a dibujar los tres puntos que están ahí, A, B y P

5
00:00:28,589 --> 00:00:33,030
y bueno, pues se ve claramente como va a tener que ser el plano

6
00:00:33,030 --> 00:00:37,270
que lo contiene, que a los tres puntos

7
00:00:37,270 --> 00:00:38,210
ahí lo tenemos

8
00:00:38,210 --> 00:00:44,869
GeoGebra tiene una funcionalidad que si sobre el plano

9
00:00:44,869 --> 00:00:48,990
damos representación 2D del plano

10
00:00:48,990 --> 00:00:52,969
pues nos sale que aquí está y entonces se ve claramente

11
00:00:52,969 --> 00:00:59,270
que los tres puntos están en el plano que hemos calculado.

12
00:01:00,369 --> 00:01:04,370
Vamos a cerrarlo por si no lo conocíais.

13
00:01:06,390 --> 00:01:09,590
Bien, esto lo hemos hecho con GeoGebra, pero estamos con lo de siempre.

14
00:01:09,849 --> 00:01:11,750
En el examen de la EVO, ¿cómo lo hacemos?

15
00:01:12,510 --> 00:01:17,230
Bueno, pues lo tendríamos que hacer montando una matriz

16
00:01:17,230 --> 00:01:20,069
para la cual haremos después su determinante igual a cero,

17
00:01:20,069 --> 00:01:27,250
en el que en la primera línea ponemos x menos las coordenadas de uno de los tres puntos

18
00:01:27,250 --> 00:01:32,930
yo he decidido que aprovechando que hay dos ceros en el punto B

19
00:01:32,930 --> 00:01:38,409
pues he hecho x y z menos las coordenadas de B

20
00:01:38,409 --> 00:01:43,230
y a partir de ahí he hecho el vector BA, 2, 1, 4

21
00:01:43,230 --> 00:01:47,670
y el vector BP, 1, 1, 4

22
00:01:47,670 --> 00:01:52,909
he calculado el determinante, lo he igualado a 0 y me sale esta ecuación

23
00:01:52,909 --> 00:01:59,310
que no nos sorprende que sea la misma que ha calculado GeoGebra para el plano

24
00:01:59,310 --> 00:02:04,989
así que ya tendríamos un punto en el examen, que es el plano que contiene los tres puntos

25
00:02:04,989 --> 00:02:09,150
ahora para hallar el área del triángulo formado por A, B y P

26
00:02:09,150 --> 00:02:11,229
voy a dibujar el triángulo

27
00:02:11,229 --> 00:02:15,250
pues sabemos que el producto de BA por BP

28
00:02:15,250 --> 00:02:18,990
el módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo

29
00:02:18,990 --> 00:02:21,009
definido por B por A y por P

30
00:02:21,009 --> 00:02:24,449
faltaría el cuarto vértice, que estaría por aquí

31
00:02:24,449 --> 00:02:29,610
entonces el área del triángulo es el módulo del producto vectorial

32
00:02:29,610 --> 00:02:31,849
BA por BP partido por 2

33
00:02:31,849 --> 00:02:35,270
en realidad tenemos que hacer, al hacer el producto vectorial

34
00:02:35,270 --> 00:02:37,289
tenemos las dos filas iguales

35
00:02:37,289 --> 00:02:55,069
Y si lo hubiéramos hecho por menores o adjuntos, pues ya lo tendríamos hecho, da menos 4j más k, y la longitud de este vector, haciendo la raíz cuadrada de cada una de las coordenadas al cuadrado, pues da raíz de 17.

36
00:02:55,069 --> 00:03:11,129
El área del triángulo será un medio de la raíz 17, que si lo operáramos, pues nos va a dar, lo tenemos aquí, el área del triángulo 2.06, que es lo que vale raíz 17 partido por 2.

37
00:03:11,789 --> 00:03:18,030
Así que ya tenemos otro punto del examen, muy sencillito.

38
00:03:18,650 --> 00:03:22,629
Por último, nos dicen hallar la distancia del punto P a la recta que pasa por AB.

39
00:03:22,629 --> 00:03:26,189
Una manera sería preguntarse a la GeoGebra, ¿verdad?

40
00:03:26,770 --> 00:03:29,490
Dime la distancia, me da 0,9

41
00:03:29,490 --> 00:03:33,710
Pero realmente lo haremos con la fórmula de la distancia

42
00:03:33,710 --> 00:03:39,509
Del producto, que sería el módulo del producto vectorial

43
00:03:39,509 --> 00:03:42,930
VA por BP, que ya lo tenemos hecho de antes

44
00:03:42,930 --> 00:03:47,310
Partido por el módulo del vector director de la recta

45
00:03:47,310 --> 00:03:51,689
Que es VA, ya que nos dicen que es la recta que pasa por VA

46
00:03:51,689 --> 00:03:58,069
No necesito escribir la ecuación de la recta para nada. Aquí la he pintado en GeoGebra porque no me ha costado nada.

47
00:03:59,469 --> 00:04:08,389
Bueno, pues si hago el módulo del vector 2, 1, 4, que era BA, ¿os acordáis?

48
00:04:09,110 --> 00:04:17,329
Pues me da raíz de 21 y si lo divido entre lo que me ha dado el producto vectorial, su módulo,

49
00:04:17,329 --> 00:04:20,490
entre lo que me ha dado el módulo de BA

50
00:04:20,490 --> 00:04:24,930
pues me da un 21 de la raíz de 357

51
00:04:24,930 --> 00:04:28,009
que si lo hago numérico es 0,9

52
00:04:28,009 --> 00:04:31,129
como repito nos había dicho GeoGebra

53
00:04:31,129 --> 00:04:33,490
existe otra manera de hacerlo

54
00:04:33,490 --> 00:04:36,269
aunque está evidentemente para este ejercicio es la más sencilla

55
00:04:36,269 --> 00:04:37,529
ya lo habríamos completado

56
00:04:37,529 --> 00:04:41,810
que es utilizar la geometría

57
00:04:41,810 --> 00:04:44,850
haríamos el vector perpendicular

58
00:04:44,850 --> 00:04:56,189
a la recta, es decir, utilizando que era 2, 1, 4, pues pondríamos 2, 1, 4, lo haríamos

59
00:04:56,189 --> 00:05:09,189
que pasara por P, con lo cual pondríamos 2 por paréntesis x menos 1 más 1 por paréntesis

60
00:05:09,189 --> 00:05:10,829
por x por y menos 1

61
00:05:10,829 --> 00:05:13,490
más 4 por paréntesis

62
00:05:13,490 --> 00:05:14,670
por z menos 1

63
00:05:14,670 --> 00:05:16,329
igual a 0

64
00:05:16,329 --> 00:05:17,829
y me saldría esta ecuación

65
00:05:17,829 --> 00:05:19,709
en positivo

66
00:05:19,709 --> 00:05:22,670
si lo hacemos con 2, 1, 4

67
00:05:22,670 --> 00:05:24,129
que es lo de menos porque como veis

68
00:05:24,129 --> 00:05:25,649
está todo cambiado de signo

69
00:05:25,649 --> 00:05:28,470
luego haríamos el punto de corte

70
00:05:28,470 --> 00:05:29,490
sustituyendo

71
00:05:29,490 --> 00:05:31,990
x, y, z

72
00:05:31,990 --> 00:05:33,149
por

73
00:05:33,149 --> 00:05:35,629
las paramétricas

74
00:05:35,629 --> 00:05:38,009
2 menos 2 lambda, 1 menos lambda

75
00:05:38,009 --> 00:05:42,029
1 menos 4 lambda o 2, 1, 4 si lo hubiéramos puesto positivo

76
00:05:42,029 --> 00:05:48,069
Resolveríamos en lambda, volveríamos a sustituir y nos daría el punto Q o P'

77
00:05:48,410 --> 00:05:51,410
Vamos, perdón, le llamo aquí P', 1, 80 y tal

78
00:05:51,410 --> 00:05:58,410
Luego haríamos la distancia del segmento, que es este segmento G en el dibujo

79
00:05:58,410 --> 00:06:00,290
Y nos vuelve a dar 0,9

80
00:06:00,290 --> 00:06:04,829
Con lo cual hemos visto tres maneras de calcular la distancia

81
00:06:04,829 --> 00:06:15,589
La distancia, por supuesto, siempre es en perpendicular. Esto por repasarlo también, otra manera de hacer la distancia. Y hemos terminado el ejercicio.