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Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a este curso de matemáticas 2 de segundo de bachillerato.

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Seguimos trabajando la unidad de matrices. En esta ocasión os vengo a presentar una

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de las nociones más importantes de este tema, que es la de matriz inversa. Vamos a trabajar

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00:00:25,800 --> 00:00:31,039
mucho con matrices inversas tanto en este tema como en el de determinantes como en el

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sistemas de ecuaciones. Comenzamos. Empecemos dando una definición de matriz inversa. Dada

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una matriz cuadrada A, si existe otra matriz B, de modo que al multiplicar A por B es igual

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a B por A es igual a la identidad, entonces la matriz A se dice que tiene inversa y B

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00:00:51,299 --> 00:00:57,500
es la matriz inversa de A. Se suele escribir como A a la menos uno. Hay dos cosas muy importantes.

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00:00:57,500 --> 00:01:15,719
Primero, que las matrices tienen que ser cuadradas. Y segundo, que tiene que existir esta matriz. Es decir, hay veces para las que no existe. Si una matriz cuadrada no tiene inversa, se llamará singular. En el próximo bloque de determinantes veremos un criterio muy claro para ver cuándo una matriz sí o no tiene inversa.

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00:01:15,719 --> 00:01:35,359
Bien, propiedades de las matrices inversas. Bueno, pues la inversa de la inversa es la propia matriz. Esto es por la propia definición. Una propiedad quizá un poco más extraña puede ser la de que a por b a la menos uno es igual a b a la menos uno por a a la menos uno.

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Esto es por lo siguiente.

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00:01:37,439 --> 00:01:42,519
Cuando queramos ver que dos matrices son inversas, lo que hay que hacer es multiplicarlas y ver si da o no la identidad.

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00:01:42,900 --> 00:01:49,879
Es decir, para ver que A por B a la menos 1, es decir, la inversa de A por B es B a la menos 1 por A a la menos 1,

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00:01:49,959 --> 00:01:51,319
pues vamos a multiplicar estas matrices.

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00:01:51,939 --> 00:01:59,939
B a la menos 1 por A a la menos 1 por A por B es igual a, pues podemos multiplicar aplicando la propiedad distributiva,

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00:01:59,939 --> 00:02:08,819
y eso, pues A a la menos 1 por A nos da la identidad, con lo que B a la menos 1 por B también es la identidad y al final el resultado B era la identidad,

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00:02:08,960 --> 00:02:11,120
con lo que efectivamente se verifica la igualdad.

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00:02:11,659 --> 00:02:18,159
Y otra propiedad que se verifica respecto a la traspuesta es que podemos invertir y transponer o transponer e invertir, el resultado es el mismo,

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00:02:18,340 --> 00:02:20,219
con mutan estas dos operaciones.

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00:02:21,259 --> 00:02:25,319
Bien, vamos a hacer un ejemplo para ver cómo se calcula una matriz inversa 2 por 2.

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00:02:26,120 --> 00:02:30,719
Básicamente en este vídeo vamos a explicar dos formas. La primera de ellas es mediante sistemas de ecuaciones.

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00:02:32,960 --> 00:02:37,560
Planteamos la definición de matriz inversa. A a la menos uno va a ser una matriz incógnita, X, Y, Z, T.

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00:02:38,419 --> 00:02:42,740
Multiplicamos, daría igual en este caso multiplicar a la izquierda a la derecha y el resultado tiene que ser la identidad.

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00:02:43,819 --> 00:02:53,800
Si ralentizamos este producto, el resultado va a ser S y de ahí extraemos dos sistemas de ecuaciones de igualar cada una de las columnas a 1, 0 o 0, 1.

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00:02:53,800 --> 00:02:58,020
Bien, ahora lo que hacemos es resolver cada uno de estos dos sistemas

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00:02:58,020 --> 00:03:03,080
Vamos a plantearlos por reducción para luego explicar el siguiente método que viene de aquí

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00:03:03,080 --> 00:03:11,400
Aplicando reducción lo que hacemos es operar con las ecuaciones, multiplicar por coeficientes, por números para reducir

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00:03:11,400 --> 00:03:18,740
Y al final el resultado, aplicando reducción tres veces, te quedaría que la x vale menos cinco medios y la z dos

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00:03:19,319 --> 00:03:25,439
Podemos hacer lo mismo con el segundo sistema de ecuaciones y obtendríamos la solución para la i y la t,

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00:03:25,900 --> 00:03:33,120
con lo que al final podemos determinar que a la menos 1 vale esa matriz, menos 5, 2, menos 5 medios, 2, 3 medios, menos 1.

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00:03:33,240 --> 00:03:41,080
Bien, vamos a hacer esto mismo pero de otra forma. Esto se va a conocer como un método de Gauss-Jordan.

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00:03:41,620 --> 00:03:45,500
Para ello lo que vamos a hacer es lo mismo, lo que pasa es que vamos a traducirlo a matrices.

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00:03:45,500 --> 00:03:58,900
Es decir, estos dos sistemas que tenemos que resolver los podemos expresar matricialmente de esa forma o podemos condensar la información en una matriz de dos filas y tres columnas, olvidándonos de la X y la Z.

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00:03:59,520 --> 00:04:08,020
Entonces nos olvidamos de las incógnitas y trabajamos exclusivamente con los coeficientes en estos sistemas.

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00:04:08,020 --> 00:04:29,420
Entonces al final en realidad lo que tenemos que hacer son la reducción, pero reducción simplemente con matrices. Al final lo que tenemos que conseguir es tener ceros fuera de la diagonal y unos dentro de la diagonal y al final la x sería menos 5 medios y la z sería 2, exactamente igual que resolviendo el sistema de ecuaciones.

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00:04:29,420 --> 00:04:39,100
Lo mismo lo podemos hacer abajo, pero es decir, podemos quitar las incógnitas i y t y dejar solo las matrices de coeficientes.

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00:04:39,100 --> 00:04:59,540
Pero fijaos que las operaciones de filas que tenemos que hacer son exactamente las mismas y la matriz de la izquierda que aparece siempre es la misma. Es decir, que podemos condensar estos juegos de matrices en una matriz en vez de 2x3, 2x4 y lo mismo con cada uno de los pasos, con lo que nos ahorramos la mitad de las cuentas.

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00:04:59,540 --> 00:05:15,019
Es decir, que trabajaremos y lo que hemos hecho ha sido trabajar con una matriz, con la matriz A y a la derecha ponerle la matriz identidad, hacer una serie de operaciones y al final acabamos con la matriz identidad a la izquierda y la matriz inversa a la derecha.

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00:05:15,519 --> 00:05:20,860
Esto es lo que se va a conocer como método de Gauss-Jordan, que podemos resumir de la manera siguiente.

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00:05:20,860 --> 00:05:30,540
cogemos la matriz que queremos invertir, le ajuntamos a la derecha la matriz identidad, mediante operaciones de filas vamos obteniendo la matriz identidad a la izquierda

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y lo que obtengamos a la derecha el resultado será la inversa de la matriz. Muy bien, en el próximo vídeo vamos a ver un ejemplo de cálculo de la matriz inversa

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00:05:41,639 --> 00:05:48,920
mediante este método de Gauss-Jordan para una matriz 3x3. Espero que os haya gustado, nos vemos en el siguiente vídeo. Hasta luego.