1
00:00:02,480 --> 00:00:08,160
hola hola qué tal estáis chicas y chicos del segundo bachillerato vamos a hacer este

2
00:00:08,160 --> 00:00:13,880
problema importantísimo que consiste en estudiar el crecimiento de crecimiento y

3
00:00:13,880 --> 00:00:21,199
los máximos y mínimos relativos de una función este proceso que voy a explicar y que muchos

4
00:00:21,199 --> 00:00:26,300
de vosotros ya sabéis pero está bien recordar vais a tener lo que utilizar muchísimo a lo

5
00:00:26,300 --> 00:00:33,079
largo de vuestra vida porque si vais a tener que muchas veces vais a tener funciones y tenéis que

6
00:00:33,079 --> 00:00:40,679
saber si crece o decrece y tenéis que saber si hay máximos o mínimos pues claro que sí no hace

7
00:00:40,679 --> 00:00:45,679
falta incidir en esto que ya sé que lo sabéis voy a recordar un poquito qué significa esto de

8
00:00:45,679 --> 00:00:55,640
relativos que significa máximos y mínimos relativos estoy dibujando una función muy bien

9
00:00:55,640 --> 00:00:59,600
voy a dibujar, voy a señalar el máximo relativo que tiene

10
00:00:59,600 --> 00:01:03,740
el máximo relativo es este punto negro, ¿qué significa máximo relativo?

11
00:01:04,019 --> 00:01:07,159
¿qué significa que este punto negro es un máximo relativo?

12
00:01:07,359 --> 00:01:11,400
pues significa, mirad, que en un entorno de la función

13
00:01:11,400 --> 00:01:14,799
este valor aquí es el máximo de los que hay

14
00:01:14,799 --> 00:01:18,680
¿veis? este punto es el máximo de estos que estoy señalando

15
00:01:18,680 --> 00:01:24,599
por eso este de aquí se le llama máximo

16
00:01:24,599 --> 00:01:28,840
relativo, claro, está bien dicho, bien puesto el nombre

17
00:01:28,840 --> 00:01:32,500
muy bien, vamos a ver si tiene mínimos relativos, pues si tiene mínimos relativos

18
00:01:32,500 --> 00:01:36,760
los puntos en azul, en azul y en azul, ¿por qué son mínimos

19
00:01:36,760 --> 00:01:40,620
relativos? porque como antes, en un entorno

20
00:01:40,620 --> 00:01:44,680
de este punto, o alrededor de este punto, el punto azul es

21
00:01:44,680 --> 00:01:48,519
más pequeño que todo esto, por eso se llama mínimo relativo y aquí

22
00:01:48,519 --> 00:01:52,719
lo mismo, mínimo relativo, por eso se le llama mínimos

23
00:01:52,719 --> 00:02:03,709
relativos mínimos relativos hay este y este bueno vamos a ver fijaros que aquí

24
00:02:03,709 --> 00:02:08,389
este punto de aquí no es un mínimo relativo porque si hago un entorno

25
00:02:08,389 --> 00:02:13,169
estos de aquí son mayores luego ese no es un mínimo relativo

26
00:02:13,169 --> 00:02:17,930
así que son los mínimos y máximos relativos que tienen en común estos tres

27
00:02:17,930 --> 00:02:23,030
puntos ya lo sabéis tienen en común que si yo dibujo sus

28
00:02:23,030 --> 00:02:29,270
tangentes resulta que esas tangentes son horizontales luego la derivada es cero

29
00:02:29,270 --> 00:02:34,610
esto es importante lo dejo ahí en el aire pero es importante muy bien voy a

30
00:02:34,610 --> 00:02:38,750
volver a estos mínimos relativos y voy a señalar uno de estos mínimos relativos

31
00:02:38,750 --> 00:02:49,030
que es este de aquí este mínimo que hay aquí además de ser un mínimo relativo

32
00:02:49,030 --> 00:02:51,909
también es

33
00:02:51,909 --> 00:02:57,229
Mínimo absoluto, ¿por qué absoluto?

34
00:02:57,490 --> 00:03:03,310
Porque ningún valor de la función, ningún valor de la función está por debajo de él.

35
00:03:04,090 --> 00:03:08,069
Por eso este mínimo, además de ser relativo, también es absoluto.

36
00:03:09,250 --> 00:03:12,750
Fijaros que en cambio esto no pasa con el máximo relativo,

37
00:03:13,550 --> 00:03:17,469
no le podemos dar la categoría de absoluto a este de aquí, ¿por qué?

38
00:03:17,469 --> 00:03:28,020
Porque este es el máximo de los que tiene al ladito del sí, pero hay valores por aquí y por aquí que son mayores que él, ¿de acuerdo?

39
00:03:28,659 --> 00:03:35,240
Entonces, terminando, diríamos que esta función que he dibujado ahí de mala manera tiene un máximo relativo,

40
00:03:35,800 --> 00:03:41,780
tiene dos mínimos relativos y además uno de esos mínimos relativos también es un mínimo absoluto,

41
00:03:42,919 --> 00:03:45,620
pero en cambio no tiene máximo absoluto.

42
00:03:46,699 --> 00:03:47,740
Esto creo que queda claro.

43
00:03:48,780 --> 00:03:52,520
Lo voy a borrar, lo podría dejar ahí, pero bueno, lo voy a borrar para que no nos moleste.

44
00:03:53,840 --> 00:03:56,539
Y entonces vamos a estudiar el crecimiento y decrecimiento.

45
00:03:57,120 --> 00:04:00,960
¿Cómo empieza el estudio del crecimiento y decrecimiento de cosas que tengan que ver con funciones?

46
00:04:01,099 --> 00:04:05,479
Pues todos los estudios esos siempre empiezan de la misma manera.

47
00:04:06,460 --> 00:04:08,020
Siempre empiezan de la misma manera.

48
00:04:08,219 --> 00:04:09,780
¿Cómo? Pues estudiando el dominio.

49
00:04:10,400 --> 00:04:15,020
Así que lo primero que tenemos que hacer es estudiar el dominio de la función.

50
00:04:15,520 --> 00:04:20,199
Así que lo primero que hacemos es escribir el dominio de la función.

51
00:04:20,220 --> 00:04:25,060
El dominio de una función, como es una función racional, es un cociente

52
00:04:25,060 --> 00:04:28,100
Son todos los valores reales menos los que anula el denominador

53
00:04:28,100 --> 00:04:30,680
Y el denominador se anula para x igual a 3

54
00:04:30,680 --> 00:04:36,459
Porque x menos 3 vale 0 si x igual a 3

55
00:04:36,459 --> 00:04:40,300
Bueno, este punto, que es un agujerito

56
00:04:40,300 --> 00:04:42,959
Es un agujero que tiene el dominio

57
00:04:42,959 --> 00:04:46,660
Pues es un punto que va a jugar un papel importantísimo

58
00:04:47,339 --> 00:04:50,399
Acordaros que todos los estudios de las funciones empiezan con el dominio

59
00:04:50,399 --> 00:04:53,680
lo siguiente que tenemos que hacer es calcular la derivada

60
00:04:53,680 --> 00:04:56,600
ahora sí, si queréis podéis parar el vídeo

61
00:04:56,600 --> 00:04:59,819
darle al stop y calcular la derivada

62
00:04:59,819 --> 00:05:02,360
yo la voy a calcular

63
00:05:02,360 --> 00:05:06,639
y la derivada, yo en el cociente siempre empiezo por el denominador

64
00:05:06,639 --> 00:05:08,439
porque es que se me olvida muchísimo poner

65
00:05:08,439 --> 00:05:11,060
que esto va al cuadrado, pues ya lo pongo y así no se me olvida

66
00:05:11,060 --> 00:05:15,000
y después de operar un montón, o no tanto

67
00:05:15,000 --> 00:05:17,860
pues esto sale, esta es la derivada

68
00:05:17,860 --> 00:05:26,860
Lo siguiente que tenemos que hacer es resolver esta ecuación

69
00:05:26,860 --> 00:05:29,279
¿Por qué resolvemos esta ecuación?

70
00:05:29,500 --> 00:05:34,000
Porque para saber cuál es el signo de la derivada

71
00:05:34,000 --> 00:05:39,699
Yo quiero estudiar el signo de la derivada

72
00:05:39,699 --> 00:05:42,000
¿Por qué quiero estudiar el signo de la derivada?

73
00:05:42,040 --> 00:05:45,259
Porque hemos aprendido en clase que si el signo es positivo

74
00:05:45,259 --> 00:05:47,680
El de la derivada, la función crece

75
00:05:47,680 --> 00:05:52,259
Y si el signo es negativo, el de la derivada, la función decrece

76
00:05:52,259 --> 00:05:58,839
La derivada tiene esa virtud, que su signo nos dice cómo se comporta la función

77
00:05:58,839 --> 00:06:01,699
¿Cómo se estudia el signo en una expresión?

78
00:06:01,839 --> 00:06:06,740
Pues para estudiar el signo en una expresión, ya sabéis que lo que hay que hacer es factorizarla

79
00:06:06,740 --> 00:06:10,759
Y una vez que esté factorizada, es muy fácil estudiar el signo

80
00:06:10,759 --> 00:06:16,899
Entonces, para factorizar una función, ya sabéis que tenemos que ver los valores que hacen cero

81
00:06:16,899 --> 00:06:25,509
Entonces, yo quiero estudiar para qué valores esta expresión vale cero

82
00:06:25,509 --> 00:06:32,860
esto de aquí es un cociente y un cociente vale 0 si el numerador es 0

83
00:06:32,860 --> 00:06:34,660
¿cómo se resuelve esta cociente de segundo grado?

84
00:06:34,839 --> 00:06:36,199
por favor no lo hagáis con la fórmula

85
00:06:36,199 --> 00:06:37,680
gracias

86
00:06:37,680 --> 00:06:40,639
entonces esto es 0

87
00:06:40,639 --> 00:06:42,279
es agrafato común

88
00:06:42,279 --> 00:06:45,040
y si x es igual a 0

89
00:06:45,040 --> 00:06:45,540
muy bien

90
00:06:45,540 --> 00:06:49,160
pues ya tengo aquí los valores que hacen 0 la derivada

91
00:06:49,160 --> 00:06:53,389
si x es 0 la derivada es 0

92
00:06:53,389 --> 00:06:56,730
si x es 6 la derivada es 0

93
00:06:56,730 --> 00:07:04,209
Pues además con esto ya sé también que puedo escribir la derivada de esta manera

94
00:07:04,209 --> 00:07:08,389
Voy a poner en rojo porque esto es muy importante para poder calcular

95
00:07:08,389 --> 00:07:13,959
Así que la derivada es esto, x al cuadrado menos c

96
00:07:13,959 --> 00:07:18,879
Y ahora en vez de poner x al cuadrado menos 6x

97
00:07:18,879 --> 00:07:27,139
Como ya he resuelto, o sea con esto y con esto, ya sé que esto de arriba es x por x menos 6

98
00:07:27,139 --> 00:07:28,740
Genial

99
00:07:28,740 --> 00:07:31,100
Luego ya tengo aquí mi derivada

100
00:07:31,100 --> 00:07:32,740
Muy importante esta derivada

101
00:07:32,740 --> 00:07:35,560
Ya tengo aquí mi derivada

102
00:07:35,560 --> 00:07:38,259
Para estudiar el signo

103
00:07:38,259 --> 00:07:40,980
Vamos a ver como se estudiaba el signo

104
00:07:40,980 --> 00:07:43,100
De la derivada

105
00:07:43,100 --> 00:07:44,819
O el signo de cualquier expresión que tengamos

106
00:07:44,819 --> 00:07:46,540
Lo que había que hacer

107
00:07:46,540 --> 00:07:48,980
Ya lo sabéis

108
00:07:48,980 --> 00:07:50,459
Señalamos nuestra recta real

109
00:07:50,459 --> 00:07:52,019
Nuestra recta real

110
00:07:52,019 --> 00:07:53,660
Que ahí están los valores x

111
00:07:53,660 --> 00:07:56,439
¿Qué teníamos que señalar en nuestra recta real?

112
00:07:56,439 --> 00:08:07,740
teníamos que señalar los valores que anulan la expresión, en este caso tengo que señalar el 0 y el 6, muy bien, y ahora viene una cosa importantísima,

113
00:08:07,939 --> 00:08:17,339
pero ojo, ojo, atención, también tenemos que señalar aquí los valores que no estén en el dominio, los agujeros del dominio, mejor dicho,

114
00:08:17,339 --> 00:08:21,120
y aquí había un valor que no estaba en el dominio que era el 3

115
00:08:21,120 --> 00:08:25,240
luego este punto hay que señalarlo aquí también

116
00:08:25,240 --> 00:08:27,279
por favor que no se os olvide esto

117
00:08:27,279 --> 00:08:30,500
que ya los profesores sabemos por experiencia que se os olvida mucho

118
00:08:30,500 --> 00:08:33,700
no, siempre hay que ponerlo

119
00:08:33,700 --> 00:08:38,360
por favor, hay que señalar los puntos que anulan la derivada

120
00:08:38,360 --> 00:08:40,100
y también los agujeros del dominio

121
00:08:40,100 --> 00:08:43,000
vale, ya está

122
00:08:43,000 --> 00:08:44,360
ya lo tenemos señalado

123
00:08:44,360 --> 00:08:47,159
entonces ahora tenemos que estudiar el signo de la derivada

124
00:08:47,159 --> 00:08:51,200
signo de f' de x

125
00:08:51,200 --> 00:08:53,639
y sabiendo el signo de la derivada

126
00:08:53,639 --> 00:08:55,059
voy a saber

127
00:08:55,059 --> 00:08:57,759
cómo se comporta la función

128
00:08:57,759 --> 00:09:00,620
comportamiento

129
00:09:00,620 --> 00:09:03,340
de f de x

130
00:09:03,340 --> 00:09:07,000
ahí lo tenemos

131
00:09:07,000 --> 00:09:09,759
ya que tengo aquí mi tablita que la voy a hacer

132
00:09:09,759 --> 00:09:11,700
esta tablita hay muchas formas

133
00:09:11,700 --> 00:09:13,820
de hacerlo, pero bueno, yo lo voy a hacer así

134
00:09:13,820 --> 00:09:14,899
pero hay muchísimas formas

135
00:09:14,899 --> 00:09:17,159
aquí hago estas divisiones

136
00:09:17,159 --> 00:09:19,080
muy poquito, ahí con puntitos

137
00:09:19,080 --> 00:09:20,399
poquito

138
00:09:20,399 --> 00:09:36,559
Muy bien, muy bien. ¿Qué sé de esta tabla? Solo sé tres cosas. Sé lo siguiente, que ¿cuál es el signo de la derivada cuando la x vale 0? Pues yo sé que la derivada ahí vale 0. ¿Cuál es el signo de la derivada cuando la x vale 6? Yo sé que ahí es 0.

139
00:09:37,039 --> 00:09:49,100
Y lo otro que sé es que el punto 3 no está en la función. Voy a poner aquí este punto 3, no pertenece al dominio de la función. Lo pongo ahí, ya quedó un poco grande, pero bueno, no pasa nada. Vale.

140
00:09:50,399 --> 00:09:58,200
vamos a estudiar el signo ahora muy bien cómo se estudia el signo en este tramo de aquí lo voy

141
00:09:58,200 --> 00:10:03,600
a pintorregear así como se estudia aquí valores menores que cero pues hay que poner un valor un

142
00:10:03,600 --> 00:10:09,539
valor menor que cero ponerlo en la derivada o sea ponerlo aquí sustituir ahí y ver el signo me da

143
00:10:09,539 --> 00:10:13,980
igual el valor que salga lo único quiero es el signo qué valor puedo coger menos que cero pues

144
00:10:13,980 --> 00:10:16,399
Cojo el menos 30, para que no tenga confusión.

145
00:10:16,480 --> 00:10:17,460
Menos 30, ahí voy.

146
00:10:18,059 --> 00:10:24,500
Y aquí sería menos 30, negativo, o sea, negativo por negativo, positivo.

147
00:10:25,200 --> 00:10:28,480
Y fijaros que el denominador, como está elevado al cuadrado, siempre es positivo.

148
00:10:28,960 --> 00:10:30,740
Este denominador siempre es positivo.

149
00:10:31,200 --> 00:10:31,840
Me olvido de él.

150
00:10:32,159 --> 00:10:34,200
Así que esto es menos por menos, más.

151
00:10:35,539 --> 00:10:37,580
Cojo un valor entre 6 y 3, pues el 2.

152
00:10:37,779 --> 00:10:41,440
Aquí pongo un 2, aquí negativo, me sale negativo.

153
00:10:41,440 --> 00:10:46,159
un valor entre 3 y 6, ya estoy en este cachito de aquí, pues el 4

154
00:10:46,159 --> 00:10:49,440
4 es positivo, 4 menos 6 negativos, negativo

155
00:10:49,440 --> 00:10:53,139
cojo un valor que es mayor que 6, estoy en este tramo, el 80

156
00:10:53,139 --> 00:10:57,500
positivo, positivo, positivo, muy bien, con esto sé

157
00:10:57,500 --> 00:11:01,240
lo siguiente, ¿qué significa que la derivada sea

158
00:11:01,240 --> 00:11:05,220
positiva? que la función crece, esto es muy importante

159
00:11:05,220 --> 00:11:09,460
¿qué significa que la derivada sea 0? no lo sé, no puedes contestar

160
00:11:09,460 --> 00:11:14,779
todavía vale. ¿Qué significa que la derivada sea negativa? Que la función decreza, decrece, que la

161
00:11:14,779 --> 00:11:24,500
función decrece y que la función crece. Con esto ya puedo contestar lo importantísimo. Vamos al

162
00:11:24,500 --> 00:11:31,100
punto este que era x igual a 0. ¿Qué pasa en x igual a 0? Pues es una función que la derivada

163
00:11:31,100 --> 00:11:41,159
vale 0 y pasa de crecer a decrecer. Esto significa que en el punto A, 0, lo que sea, es un máximo

164
00:11:41,159 --> 00:11:49,620
relativo. Muy bien. En el punto 3, ¿qué hay? Pues hay un agujerito. Bien, alguien que no

165
00:11:49,620 --> 00:11:54,899
se canse y diga, yo no me conformo con decir que hay un agujero, pues puede decir que en

166
00:11:54,899 --> 00:12:00,700
x igual a 3 hay una asíntota vertical, porque el límite, cuando x se acerca a 3 de la función,

167
00:12:00,700 --> 00:12:31,820
nos sale valores o más infinito o menos infinito, muy bien, y en este último punto, que es el punto B, otro punto clave, punto 6, lo que sea, es un mínimo relativo, mínimo relativo, vale, vamos a seguir y vamos a rellenar algo de aquí que nos causa mucho problema también, ¿qué pasa con las segundas coordenadas estas?, bueno, no las he puesto porque estas segundas coordenadas ya no tienen gracia, bueno, si tienen gracia, pero ya son obligadas, ¿cuál es la segunda coordenada de este punto?,

168
00:12:31,820 --> 00:12:32,519
Pues F de 0.

169
00:12:33,139 --> 00:12:34,960
¿Cuál es la segunda coordenada del punto B?

170
00:12:35,340 --> 00:12:36,480
Pues F de 6.

171
00:12:37,679 --> 00:12:41,639
Muy importante, por favor, es F de 0 y F de 6.

172
00:12:41,759 --> 00:12:43,320
Hay que sustituir en la función.

173
00:12:44,159 --> 00:12:44,320
Vale.

174
00:12:44,740 --> 00:12:45,700
¿Quién es F de 0?

175
00:12:45,940 --> 00:12:46,600
En la función.

176
00:12:47,279 --> 00:12:51,789
Acordaros que la función, ahora se ve muy bien,

177
00:12:52,210 --> 00:12:54,470
acordaros que la función es la X cuadrado partido por X menos 3,

178
00:12:54,549 --> 00:12:56,590
pues cuando X vale 0, pues esto es 0.

179
00:12:57,450 --> 00:12:58,730
¿Y cuando vale 6?

180
00:12:59,169 --> 00:13:01,549
Eso de ahí es 6 al cuadrado, es 36,

181
00:13:01,549 --> 00:13:04,490
entre 3, 36

182
00:13:04,490 --> 00:13:06,549
entre 3, 12

183
00:13:06,549 --> 00:13:12,330
muy bien, pues ya casi podemos dibujar la función

184
00:13:12,330 --> 00:13:14,690
vale, lo último

185
00:13:14,690 --> 00:13:16,350
que me queda, que nos gusta

186
00:13:16,350 --> 00:13:18,169
también, es decir, es lo siguiente

187
00:13:18,169 --> 00:13:20,590
¿cómo puedo

188
00:13:20,590 --> 00:13:22,590
decidir si estos máximos

189
00:13:22,590 --> 00:13:24,389
relativos y mínimos

190
00:13:24,389 --> 00:13:26,070
relativos son también

191
00:13:26,070 --> 00:13:28,350
absolutos o no? muy bien, para eso

192
00:13:28,350 --> 00:13:30,450
hay que estudiar el comportamiento

193
00:13:30,450 --> 00:13:32,809
de la función cuando va más infinito y menos infinito

194
00:13:32,809 --> 00:13:34,529
entonces lo voy a

195
00:13:34,529 --> 00:13:40,629
hacer rapidísimamente, mirad, lo hago aquí y vais a entenderlo. ¿Cuál es el límite

196
00:13:40,629 --> 00:13:48,200
cuando x tiende a más infinito de f de x? Pues este límite es el límite de x cuadrado

197
00:13:48,200 --> 00:13:53,600
partido por x menos 3. Muy bien, como esto es infinito entre infinito, mirando los grados,

198
00:13:53,700 --> 00:13:58,399
ya lo hemos hecho millones de veces, pues esto sale más infinito. Fijad, lo que significa

199
00:13:58,399 --> 00:14:03,159
que cuando la x toma valores muy grandes, la función toma valores muy, muy, muy, muy

200
00:14:03,159 --> 00:14:09,480
grande, pues esto significa que este máximo no es absoluto, esto significa que este máximo

201
00:14:09,480 --> 00:14:18,940
no es absoluto, no es absoluto, porque eso no es relativo, porque la función, y si halláramos

202
00:14:18,940 --> 00:14:24,740
el límite cuando x tienda menos infinito, ya lo hago muy rápido, por favor, porque

203
00:14:24,740 --> 00:14:29,940
esto ya lo sabemos, esto es menos infinito, pues esto es que significa que ya, que este

204
00:14:29,940 --> 00:14:32,759
de aquí no es absoluto, luego esto solo va a ser

205
00:14:32,759 --> 00:14:37,860
esta función tiene máximos relativos, mínimos relativos, pero no son absolutos

206
00:14:37,860 --> 00:14:41,840
ninguno de los dos, vale, lo último que nos queda es dibujar la función

207
00:14:41,840 --> 00:14:45,620
si queremos, la podemos querer dibujar, ah bueno, esperar, esperar, esperar

208
00:14:45,620 --> 00:14:49,960
que me falta contestar, me falta contestar, vale, no pasa nada

209
00:14:49,960 --> 00:14:53,100
f crece

210
00:14:53,100 --> 00:14:57,159
en menos infinito cero

211
00:14:57,159 --> 00:14:59,759
unión 6 más infinito

212
00:14:59,759 --> 00:15:02,179
F decrece

213
00:15:02,179 --> 00:15:04,220
en

214
00:15:04,220 --> 00:15:05,039
cuidado

215
00:15:05,039 --> 00:15:07,320
0,3 unión

216
00:15:07,320 --> 00:15:09,779
3,6, el 3 no lo puedo poner

217
00:15:09,779 --> 00:15:10,360
está prohibido

218
00:15:10,360 --> 00:15:12,860
el punto A0,0

219
00:15:12,860 --> 00:15:14,500
es un

220
00:15:14,500 --> 00:15:16,940
máximo relativo

221
00:15:16,940 --> 00:15:19,799
no sé si lo he dicho antes

222
00:15:19,799 --> 00:15:21,200
ya no me acuerdo que en Inglaterra

223
00:15:21,200 --> 00:15:22,840
en los países anglosajones

224
00:15:22,840 --> 00:15:25,100
a los máximos y mínimos relativos le llaman

225
00:15:25,100 --> 00:15:26,620
máximos y mínimos locales

226
00:15:26,620 --> 00:15:32,639
Porque son máximos y mínimos localmente en un trocito, en un entorno.

227
00:15:33,580 --> 00:15:35,539
Y esto es un mínimo relativo.

228
00:15:36,240 --> 00:15:40,059
Esta función no tiene máximos ni mínimos absolutos.

229
00:15:40,600 --> 00:15:41,620
Ya solo falta dibujarla.

230
00:15:42,000 --> 00:15:51,340
Para dibujarla, cuidado, esta función, como es una racional, el grado de arriba es 2 y el de abajo es 1, pues tiene una asíntota.

231
00:15:52,159 --> 00:15:53,480
Bueno, pues aquí la tenía dibujada.

232
00:15:54,019 --> 00:15:54,679
Vamos a verla.

233
00:15:54,679 --> 00:15:58,720
aquí la tenía dibujada, muy bien, mirad

234
00:15:58,720 --> 00:16:03,100
aquí puedo pintar, tomaba ya punto, este punto rojo

235
00:16:03,100 --> 00:16:07,179
era el máximo relativo, este punto azul

236
00:16:07,179 --> 00:16:10,960
el mínimo relativo, perdón que salga así, lo siento

237
00:16:10,960 --> 00:16:14,820
no sabía que iba a salir así, madre mía, lo siento, pero no voy a repetir el vídeo

238
00:16:14,820 --> 00:16:19,059
pero bueno, esta línea de puntos es la asíntota vertical en x igual a 3

239
00:16:19,059 --> 00:16:23,120
y esta otra línea de puntos que hay ahí, pues es la asíntota

240
00:16:23,120 --> 00:16:27,220
bueno, siento que el vídeo ha sido

241
00:16:27,220 --> 00:16:31,320
un poco largo, pero es un vídeo muy importante

242
00:16:31,320 --> 00:16:34,519
espero que lo veáis detenidamente

243
00:16:34,519 --> 00:16:38,820
y que veáis bien

244
00:16:38,820 --> 00:16:43,019
como lo hemos hecho todo, ya no sé, no tengo nada más que decir

245
00:16:44,019 --> 00:16:46,919
espero que os haya interesado, un saludo y muchas gracias

246
00:16:46,919 --> 00:16:48,539
por escuchar y por ver el vídeo