1 00:00:00,110 --> 00:00:06,070 En este vídeo, ¿qué es la expresión algebraica de una función? 2 00:00:06,530 --> 00:00:15,500 En principio, vamos a decir que una función, recordemos el concepto, 3 00:00:16,179 --> 00:00:20,679 teníamos un conjunto inicial y un conjunto final, 4 00:00:21,760 --> 00:00:30,570 y a elementos del conjunto inicial los asociábamos con elementos del conjunto final. 5 00:00:30,570 --> 00:00:43,359 Bien, esta era la idea de función con el requisito de que un elemento del conjunto inicial solo le puede corresponder un elemento del conjunto final. 6 00:00:43,359 --> 00:01:08,420 Pues bien, una función puede tener una expresión algebraica mediante la cual podríamos encontrar de manera sencilla con qué valores están relacionados los elementos del conjunto inicial. 7 00:01:08,420 --> 00:01:25,379 Es decir, podríamos calcular de manera sencilla las imágenes de un elemento y también al revés, las antiimágenes de un elemento del conjunto final. 8 00:01:28,209 --> 00:01:39,769 Por ejemplo, en este caso la imagen de A es K y la antiimagen de K diríamos que es A y B. 9 00:01:39,769 --> 00:01:52,829 Bien, pues vamos a ver cómo una expresión algebraica de una función me permite calcular de manera sencilla estas dos cuestiones. 10 00:01:52,829 --> 00:01:58,810 Vamos a ver. Voy a poneros un ejemplo de expresión algebraica de una función. 11 00:02:00,810 --> 00:02:08,669 Esta es una de entre tantas. Por ejemplo, esta función, f de x igual a 2x. 12 00:02:09,550 --> 00:02:11,810 Esta es la expresión algebraica de una función. 13 00:02:13,210 --> 00:02:17,569 ¿Cómo puedo calcular imágenes a través de esta expresión algebraica? 14 00:02:17,569 --> 00:02:38,360 Pues mirad, si quisiera calcular f de 1, es decir, ¿qué elemento del conjunto final hemos asociado con el 1? 15 00:02:38,780 --> 00:02:44,599 Pues donde pone x pones 1 y operas 2 por 1 igual a 2. 16 00:02:45,419 --> 00:02:52,759 Así que diríamos que la imagen de 1 es 2. 17 00:02:52,759 --> 00:03:05,259 La imagen de 5, por ejemplo, para esta función con la que estamos trabajando en particular, sería 2 por 5, que es 10. 18 00:03:05,780 --> 00:03:07,460 La imagen del 5 es 10. 19 00:03:08,360 --> 00:03:19,599 Entonces, como veis, de manera muy sencilla, una expresión algebraica de este tipo, digamos que me permite calcular imágenes de una función. 20 00:03:19,599 --> 00:03:26,099 En definitiva, ¿qué es una expresión algebraica de una función? 21 00:03:26,099 --> 00:03:46,639 Pues observemos que está relacionando, es una fórmula que me está relacionando el valor de x con la imagen, mediante la fórmula. 22 00:03:46,639 --> 00:03:53,120 en este caso se puede entender que se está refiriendo a una función muy concreta 23 00:03:53,120 --> 00:03:58,280 y es que la imagen de un valor es el doble de dicho valor 24 00:03:58,280 --> 00:04:06,639 pero insisto, esta es una expresión algebraica de una cierta función 25 00:04:06,639 --> 00:04:10,240 pero expresiones algebraicas hay muchas 26 00:04:10,240 --> 00:04:27,399 Por ejemplo, esta o esta, g de x igual a 3x menos 1, en fin, cada una de estas son expresiones algebraicas. 27 00:04:27,759 --> 00:04:37,060 Y la clave está en que relacionan el valor de x con la imagen g de x o f de x, ¿de acuerdo? 28 00:04:37,439 --> 00:04:41,740 Nos faltaría ver cómo calculamos antiimágenes. 29 00:04:41,740 --> 00:04:49,319 O sea, hemos visto que para calcular la imagen, cuando lo que tengo es una expresión algebraica de una función, 30 00:04:49,759 --> 00:04:57,920 para calcular la imagen de un valor sustituyo en la fórmula, en la x, el valor cuya imagen quiero calcular. 31 00:04:58,660 --> 00:05:03,759 Pero, ¿cómo calcularíamos la antiimagen? 32 00:05:03,759 --> 00:05:20,019 Pues mirad, vamos a ver, vamos a calcular, por ejemplo, la antiimagen de 10. 33 00:05:21,120 --> 00:05:35,399 Esto es lo que venimos llamando f a la menos 1 de 10, que en realidad responde a la pregunta de ¿qué valor de x habría que sustituir aquí? 34 00:05:35,399 --> 00:05:48,779 o mejor, ¿qué valor de x del conjunto inicial tiene como imagen el elemento 10 del conjunto final? 35 00:05:51,220 --> 00:06:05,899 A partir de la expresión algebraica la cuestión es sencilla, es ¿qué valor de x habría que sustituir aquí para que como resultado me diera 10? 36 00:06:06,899 --> 00:06:08,819 Esta es la antiimagen del 10. 37 00:06:09,600 --> 00:06:13,079 Y para calcular la antiimagen del 10, pues resolvemos esta ecuación. 38 00:06:14,279 --> 00:06:17,939 O sea, igualamos la expresión a 10 y despejo. 39 00:06:22,939 --> 00:06:27,899 ¿Cómo sería, por ejemplo, la antiimagen del menos 20? 40 00:06:27,899 --> 00:06:36,879 Pues nada, pues cojo la expresión algebraica, que es 2x, y la igualo a menos 20 y despejo. 41 00:06:41,509 --> 00:06:42,470 Es menos 10. 42 00:06:42,470 --> 00:06:52,750 ¿Esto qué quiere decir? Que la imagen de menos 10, como puedes ver, al multiplicarlo por 2 te daría igual a 20, menos 20 43 00:06:52,750 --> 00:06:57,879 Vamos a hacer un último ejemplo como repaso 44 00:06:57,879 --> 00:07:05,100 Consideremos una función cuya expresión algebraica es, por ejemplo, esta 45 00:07:05,100 --> 00:07:17,060 Bien, tenemos aquí una función que calculemos, por ejemplo, la imagen del número 2 46 00:07:17,060 --> 00:07:25,100 Es decir, tenemos aquí el conjunto inicial, aquí el conjunto final y aquí está el número 2 47 00:07:25,100 --> 00:07:33,879 y queremos saber qué elemento del conjunto final está asociado a esto, lo que hemos llamado f de 2. 48 00:07:38,060 --> 00:07:45,819 ¿De acuerdo? Pues imagen del 2 que llamamos, lo escribimos como f de 2, 49 00:07:45,819 --> 00:08:00,839 lo tenemos sustituyendo en x el 2, en mi expresión algebraica, sería 3 por 2 más 5, que es igual a 11. 50 00:08:01,639 --> 00:08:16,660 Así que la imagen del 2 es 11. Esto es lo que hemos dicho, aquí estaría el 2, aquí el 11, y lo tenemos asociados uno con otro. 51 00:08:16,660 --> 00:08:37,990 De acuerdo, bien. Vamos a ver cómo calcularíamos antiimágenes de esta función. Por ejemplo, queremos calcular la antiimagen del número 26. 52 00:08:37,990 --> 00:08:54,990 Es decir, que tenemos aquí el conjunto inicial y aquí el conjunto final y aquí está el número 26 y nos preguntamos por cuál es el elemento del conjunto inicial que estaría asociado. 53 00:08:54,990 --> 00:09:05,809 O lo que es lo mismo, ¿qué elemento hay aquí que llamamos a? De modo que f de a sea igual a 26. 54 00:09:06,870 --> 00:09:22,250 Pues en este caso, como venimos escribiendo, a sería igual a la antiimagen del 26 y escribimos así, lf, aquí como elevado a menos 1. 55 00:09:22,250 --> 00:09:47,940 Es una escritura, ¿vale? Entonces, en mi caso, lo que hacemos es, para calcular la anti-imagen del 26, lo que hacemos es, en la expresión algebraica, la igualamos a 26 y despejamos x. 56 00:09:47,940 --> 00:09:51,559 3x igual a 26 menos 5 57 00:09:51,559 --> 00:09:55,320 Con lo que x es igual a 23 entre 3 58 00:09:55,320 --> 00:09:56,399 21 entre 3 59 00:09:56,399 --> 00:09:58,080 Que es 7 60 00:09:58,080 --> 00:10:00,000 ¿Esto qué quiere decir? 61 00:10:00,000 --> 00:10:04,340 Pues que la antiimagen del 26 es igual a 7 62 00:10:04,340 --> 00:10:10,759 O lo que es lo mismo que f de 7 es igual a 26 63 00:10:10,759 --> 00:10:21,049 Hemos igualado en definitiva la expresión algebraica a este valor 64 00:10:21,049 --> 00:10:25,350 26, que es cuya antiimagen quiero calcular.