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00:00:12,080 --> 00:00:17,320
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,320 --> 00:00:21,839
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:21,839 --> 00:00:26,539
de la unidad PR5 dedicada a la teoría de muestras y las distribuciones en el muestreo.

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00:00:30,969 --> 00:00:34,850
En la videoclase de hoy resolveremos el ejercicio propuesto 4.

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00:00:47,780 --> 00:00:51,840
En este ejercicio se nos dice que la duración de las baterías de un cierto modelo de teléfono

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00:00:51,840 --> 00:00:58,320
móvil tiene distribución normal con media 34,5 horas y desviación típica 6,9 horas. Estas son

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00:00:58,320 --> 00:01:05,180
la media y la desviación típica ambas poblacionales. Se toma una muestra aleatoria simple de 36

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00:01:05,180 --> 00:01:11,140
teléfonos móviles y se nos pide calcular la probabilidad de que la duración media, aquí

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00:01:11,140 --> 00:01:18,219
tenemos la media, de las baterías de esta muestra esté comprendida entre 32 y 33,5 horas y la

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00:01:18,219 --> 00:01:25,239
probabilidad de que esa media muestral sea mayor que 38 horas. Consideramos que la variable

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00:01:25,239 --> 00:01:31,140
aleatoria x que mide esas horas de duración de la batería sigue una distribución normal con media

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00:01:31,140 --> 00:01:37,439
34,5, desviación típica 6,9 horas. Estos son los datos del enunciado. De aquí deducimos que la

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00:01:37,439 --> 00:01:43,959
variable aleatoria media aritmética de una muestra de tamaño n igual a 36 va a seguir una distribución

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00:01:43,959 --> 00:01:54,640
también normal, perdón, con media la misma que la de x, 34,5 horas, y desviación típica la de x, aquí tenemos 6,9 horas,

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00:01:56,019 --> 00:02:05,560
dividido entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra, que es 36. Operando, deducimos que x, la media muestral, va a seguir una distribución normal

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00:02:05,560 --> 00:02:10,039
con media 34,5 horas y desviación típica 1,15 horas.

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00:02:10,560 --> 00:02:14,259
Puesto que vamos a trabajar con la tabla de la distribución normal estándar,

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00:02:14,659 --> 00:02:19,000
vamos a escribir también la tipificación de esta variable media amostral.

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00:02:19,500 --> 00:02:24,860
Vamos a definir una variable de la teoría Z, que será la media amostral menos su media,

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00:02:25,539 --> 00:02:27,259
dividido entre su desviación típica.

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00:02:27,860 --> 00:02:34,400
Y esta variable de la teoría Z sabemos que va a tener una distribución normal estándar,

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00:02:34,400 --> 00:02:36,379
Media cero, desviación típica 1.

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00:02:37,580 --> 00:02:45,379
Lo primero que se nos pide es calcular la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 32 y 33,5 horas.

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00:02:45,539 --> 00:02:47,520
Se corresponde a esta probabilidad que tenemos aquí.

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00:02:48,479 --> 00:02:51,659
Lo primero que vamos a hacer es tipificar en el interior del suceso.

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00:02:51,939 --> 00:02:57,300
En todos los miembros vamos a restar la media aritmética y a dividir entre la desviación típica.

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00:02:57,819 --> 00:03:02,479
En el primer y en el tercer términos, numéricamente, puesto que tenemos valores numéricos.

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00:03:02,479 --> 00:03:22,939
En el término central, algebraicamente, x barra menos muy dividido entre esta desviación típica va a ser z, la variable normal estándar. Operando, la probabilidad que tenemos que calcular es la de que z, variable normal estándar, esté comprendida entre menos 2,17 y menos 0,87.

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00:03:22,939 --> 00:03:33,120
Por ser la probabilidad de un intervalo, lo que vamos a hacer es calcular la probabilidad de que z sea menor o igual que el límite superior, menos 0,87,

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00:03:33,879 --> 00:03:39,180
menos la probabilidad de que z sea menor o igual que el límite inferior, menos 2,17.

31
00:03:40,039 --> 00:03:46,599
En ambos casos tenemos la cola de la izquierda, pero de una abstisa negativa. Esto no lo tenemos en la tabla de la distribución normal.

32
00:03:47,000 --> 00:03:51,159
Así que vamos a usar la propiedad de que la distribución normal es simétrica.

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00:03:51,159 --> 00:04:01,699
Y estas propiedades, z menor o igual que una abstisa negativa, por simetría son las probabilidades de que z sea mayor o igual que la correspondiente abstisa, pero con signo positivo.

34
00:04:01,819 --> 00:04:05,960
Aquí tengo z mayor o igual que 0,87, z mayor o igual que 2,17.

35
00:04:06,659 --> 00:04:13,780
En ambos casos tengo ahora colas de la derecha, z mayor o igual, pero yo únicamente tengo las colas de la izquierda, z menor o igual.

36
00:04:14,240 --> 00:04:17,180
Así que en ambos casos utilizo el suceso contrario.

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00:04:17,959 --> 00:04:21,759
Cada una de estas probabilidades es 1 menos la probabilidad del suceso contrario,

38
00:04:22,220 --> 00:04:26,439
que será que z sea menor o igual que cada una de las correspondientes abstizas.

39
00:04:26,879 --> 00:04:27,839
Y eso es lo que tengo aquí.

40
00:04:27,839 --> 00:04:31,779
En el primer caso, en el primer término, entre estos corchetes, menos,

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00:04:32,220 --> 00:04:35,899
y el segundo término, este que tiene aquí, también con sus respectivos corchetes.

42
00:04:37,889 --> 00:04:43,050
Operando este 1 menos 1 se simplifica, menos por menos es más,

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00:04:43,649 --> 00:04:45,329
podría expresarlo de esta manera,

44
00:04:45,329 --> 00:04:51,389
La probabilidad de que z sea menor o igual que 2,17 menos la probabilidad de que z sea menor o igual que 0,87.

45
00:04:52,089 --> 00:04:57,370
Estos valores que voy a sustituir aquí, o bien los que habría sustituido en la expresión anterior si no hubiera querido simplificar,

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00:04:58,550 --> 00:05:00,790
se leen directamente en la tabla de la distribución normal.

47
00:05:00,790 --> 00:05:10,709
Son respectivamente 0,9850 y 0,8078 y entonces la probabilidad pedida resulta ser 0,1772.

48
00:05:11,569 --> 00:05:18,029
En el segundo apartado se nos pide calcular la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 38 horas.

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00:05:19,430 --> 00:05:22,910
Se trata de este suceso y vamos a verlo de forma análoga.

50
00:05:23,509 --> 00:05:29,310
Primero hemos de tipificar en el suceso, puesto que nosotros vamos a leer en la tabla de distribución normal.

51
00:05:30,050 --> 00:05:36,029
Tipificamos, restándole a la variable su media y dividiendo su desviación típica.

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00:05:36,029 --> 00:05:40,750
Aquí tendríamos z y aquí tenemos este valor numérico que resulta ser 3,04.

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00:05:42,290 --> 00:05:45,990
Probabilidad de que z sea mayor o igual que 3,04 es una cola de la derecha.

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00:05:47,089 --> 00:05:50,649
Necesitamos colas de la izquierda, así que vamos a utilizar el suceso contrario.

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00:05:51,009 --> 00:05:54,610
Esta probabilidad es 1 menos la probabilidad del suceso contrario.

56
00:05:55,269 --> 00:05:59,069
Contrario de z mayor o igual que 3,04 es z menor o igual que 3,04.

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00:05:59,970 --> 00:06:03,329
Esta probabilidad se puede leer directamente en la tabla de la distribución normal.

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00:06:03,329 --> 00:06:11,790
es 0,9988 y, operando, llegamos a la conclusión de que la probabilidad pedida resulta ser 0,0012.

59
00:06:14,740 --> 00:06:20,319
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

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00:06:21,060 --> 00:06:25,160
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

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00:06:25,980 --> 00:06:30,740
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

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00:06:31,279 --> 00:06:32,680
Un saludo y hasta pronto.