1 00:00:14,259 --> 00:00:18,980 En esta videoclase continuamos con el siguiente conjunto, el conjunto de los números racionales. 2 00:00:19,679 --> 00:00:24,660 Los números racionales, como podemos leer, son aquellos que se pueden expresar en forma de fracción. 3 00:00:24,879 --> 00:00:31,359 Y la clave está en que esto va a ser el cociente de dos números enteros y el denominador debe ser distinto de cero. 4 00:00:31,579 --> 00:00:40,159 Nosotros no podemos definir un número en el cual el denominador sea cero, puesto que lo que estamos expresando en forma de fracción es una división 5 00:00:40,159 --> 00:00:45,159 y nosotros no podemos dividir entre cero, las divisiones entre cero no están definidas. 6 00:00:46,399 --> 00:00:52,100 Teniendo en cuenta esto, que las fracciones en el fondo lo que están haciendo es representar divisiones, 7 00:00:53,100 --> 00:00:58,159 podemos tener en mente que todas las fracciones van a tener una expresión decimal equivalente, 8 00:00:59,039 --> 00:01:04,579 que va a ser aquel número decimal que se obtenga como cociente efectuando la división. 9 00:01:05,439 --> 00:01:13,359 Nosotros sabemos, puesto que lo hemos estudiado ya en primaria, que el resultado de la división de dos números enteros puede ser exacta, 10 00:01:13,579 --> 00:01:18,680 cuando contiene un número finito de decimales, y aquí tenemos el ejemplo 8 quintos, que es igual a 1,6. 11 00:01:19,480 --> 00:01:26,040 Puede ser periódica pura, cuando la parte decimal va a estar formada por una secuencia infinita de decimales, 12 00:01:26,939 --> 00:01:34,519 pero que va a estar formada por un grupo de números que se va a repetir infinitamente, a este grupo se llama periodo, 13 00:01:35,579 --> 00:01:44,019 Periódico apura quiere decir que el periodo comienza inmediatamente después de la coma que separa los decimales, coma o punto. 14 00:01:45,099 --> 00:01:55,579 Y en este caso podemos ver como el número un séptimo se puede expresar como 1,142857 y este 142857 que se repite indefinidamente. 15 00:01:56,219 --> 00:01:57,659 Podemos representarlo con un arco. 16 00:01:58,719 --> 00:02:05,340 Mi editor de texto no me ha dejado poner un arco y por eso he puesto esta especie de ángulo, pero debería ser un arco. 17 00:02:06,700 --> 00:02:10,400 O bien, teníamos expresiones decimales exactas, periódica pura. 18 00:02:10,599 --> 00:02:13,520 Nos faltan expresiones que sean periódicas mixtas. 19 00:02:14,340 --> 00:02:19,180 También hay una secuencia infinita de decimales. 20 00:02:19,740 --> 00:02:25,400 También hay un grupo que se va a repetir indefinidamente, infinitamente, que se va a llamar periodo igualmente. 21 00:02:25,400 --> 00:02:30,300 pero en el caso de los números periódicos mixtos, el periodo no comienza inmediatamente después de la coma, 22 00:02:30,419 --> 00:02:37,159 que separa la parte entera de la parte decimal, sino que hay un anteperiodo, una pequeña parte, 23 00:02:37,659 --> 00:02:43,879 pequeña, no tan pequeña, inmediatamente antes de la parte periódica, a continuación de la coma decimal. 24 00:02:44,500 --> 00:02:51,819 Por ejemplo, aquí tenemos el número 1 sesentaavo, cuya expresión decimal es 1,0166666. 25 00:02:51,819 --> 00:02:55,759 6 vemos como el 6 es el periodo puesto que se repiten 26 00:02:55,759 --> 00:02:59,360 indefinidamente y este 0 y este 1 a la derecha de la coma decimal 27 00:02:59,360 --> 00:03:03,599 inmediatamente antes del periodo sería el anteperiodo. Aquí tenemos 1, 28 00:03:03,879 --> 00:03:07,800 0, 1 y únicamente el 6 estaría debajo de un arco 29 00:03:07,800 --> 00:03:11,259 indicando que esa parte se repite indefinidamente. Una vez más 30 00:03:11,259 --> 00:03:16,120 no tengo arcos en el editor de textos y por eso he utilizado 31 00:03:16,120 --> 00:03:19,699 este acento, acento circunflejón, que debería ser un arco. 32 00:03:20,699 --> 00:03:33,979 Así pues, como podemos ver, los números racionales, insisto, es el conjunto de todas las fracciones que se expresan como el cociente de dos números enteros, el denominador distinto de cero, 33 00:03:34,879 --> 00:03:48,979 equivale al conjunto de todos los números decimales que o bien tiene un número finito de decimales o bien tiene un número infinito de decimales en los que hay una parte que tiene que ser periódica, que se repite indefinidamente. 34 00:03:49,699 --> 00:04:00,740 bien inmediatamente a partir de la coma, o bien dejando una pequeña carencia, una parte que se llama anteperiodo, y a continuación comienza la parte periodo. 35 00:04:01,060 --> 00:04:12,620 Nosotros sabemos que las fracciones así definidas no son únicas en el sentido en el que distintas fracciones pueden no tener distinta expresión decimal, sino la misma. 36 00:04:12,620 --> 00:04:21,819 Por ejemplo, la fracción 1 medio y la fracción 2 cuartos, ambas tienen la misma expresión decimal equivalente, 0,5. 37 00:04:22,779 --> 00:04:28,420 Y entonces, si nosotros pensamos en los números racionales a partir de los números decimales, 38 00:04:28,939 --> 00:04:35,399 1 medio y 2 cuartos, que tienen la misma expresión decimal, no deberían corresponder a distintos números racionales. 39 00:04:36,079 --> 00:04:40,379 Así pues, si nosotros queremos utilizar la definición de números racionales con las fracciones, 40 00:04:40,379 --> 00:04:46,319 debemos buscar algo que nos permita decir que un medio y dos cuartos en el 41 00:04:46,319 --> 00:04:50,879 fondo representan el mismo número racional. Y esa herramienta es la 42 00:04:50,879 --> 00:04:55,920 equivalencia de fracciones. Dos fracciones, como veis aquí, se dicen 43 00:04:55,920 --> 00:05:00,259 equivalentes cuando sus expresiones decimales son las mismas. 44 00:05:00,259 --> 00:05:05,819 ¿Cómo podemos saber si dos expresiones en forma de fracción son equivalentes? 45 00:05:05,819 --> 00:05:20,480 Hay distintas alternativas. Si al multiplicar el numerador y el denominador de una de ellas por un mismo número entero, distinto de cero, se obtiene la segunda, entonces estas dos fracciones son equivalentes. 46 00:05:20,480 --> 00:05:24,240 Esa es la definición que tengo aquí, escrita en forma algebraica. 47 00:05:25,139 --> 00:05:31,699 O bien el producto cruzado, es al multiplicar el numerador de una por el denominador de la otra, se obtiene el mismo valor. 48 00:05:32,079 --> 00:05:39,040 Que al multiplicar el denominador por el numerador, cambiando las fracciones, en ese caso también las fracciones son equivalentes. 49 00:05:40,699 --> 00:05:46,199 Teniendo en cuenta esta relación de equivalencia, insisto, un medio, dos cuartos, son fracciones equivalentes, 50 00:05:46,199 --> 00:05:54,480 puesto que tienen la misma expresión decimal, 0,5, nosotros lo que vamos a hacer es elegir una de esas fracciones equivalentes 51 00:05:54,480 --> 00:06:01,779 para que sea representante de todas las demás, todas aquellas que tienen en este caso como expresión decimal 0,5. 52 00:06:01,939 --> 00:06:09,740 Ese representante se llama representante canónico y se va a elegir aquella fracción que sea la más sencilla posible, 53 00:06:09,740 --> 00:06:15,240 aquella que tenga numerador y denominador más pequeños. Así que lo que vamos a hacer es definir 54 00:06:15,240 --> 00:06:21,279 el conjunto de los números racionales, lo vamos a representar con la letra mayúscula Q, como el 55 00:06:21,279 --> 00:06:28,160 cociente de números enteros con denominador, por supuesto, distinto de 0, que sean coprimos. Y esto 56 00:06:28,160 --> 00:06:35,160 quiere decir que no tengan divisores comunes, de tal forma que 2 cuartos no es el representante 57 00:06:35,160 --> 00:06:41,759 canónico de 0,5, puesto que el 2 del numerador y el 4 del denominador tienen un divisor común, 58 00:06:41,860 --> 00:06:47,019 que es el número 2. Tendríamos que simplificar esa fracción. Al numerador 2 lo dividimos entre 2, 59 00:06:47,420 --> 00:06:51,819 el 4 también lo dividimos entre 2 y nos quedaríamos con quien sí es el representante 60 00:06:51,819 --> 00:06:57,879 canónico un medio. 1 partido por 2 tiene un numerador y un denominador más sencillos que 61 00:06:57,879 --> 00:07:03,839 2 partido por 4 y cumplen con esta definición que tenemos aquí. El conjunto de los números 62 00:07:03,839 --> 00:07:10,959 racionales, también tiene un cardenal infinito numerable, alef cero. Nosotros podríamos buscar 63 00:07:10,959 --> 00:07:17,360 una forma de establecer una correspondencia biunívoca entre los números racionales y los 64 00:07:17,360 --> 00:07:23,540 números naturales, utilizando números ordinales. Nosotros podemos ordenar como una primera, segunda, 65 00:07:23,540 --> 00:07:28,240 tercera, cuarta fracción, todas las fracciones contenidas dentro del conjunto de los números 66 00:07:28,240 --> 00:07:33,620 racionales. Al igual que nosotros en los números enteros distinguíamos números 67 00:07:33,620 --> 00:07:38,720 enteros positivos y negativos, vamos a distinguir números racionales positivos 68 00:07:38,720 --> 00:07:42,980 y negativos. Los números racionales positivos habitualmente los 69 00:07:42,980 --> 00:07:47,579 representaremos con un símbolo más por delante o bien ningún símbolo y los 70 00:07:47,579 --> 00:07:50,920 números racionales negativos habitualmente los representaremos con un 71 00:07:50,920 --> 00:07:57,180 signo menos por delante. Algo importante, ese signo menos se pondrá bien delante 72 00:07:57,180 --> 00:08:03,079 de la fracción en el centro, a la altura de la línea que divide numerador y denominador, o bien 73 00:08:03,079 --> 00:08:09,319 se pondrá en el numerador y nosotros escribiremos un numerador que sea un número entero negativo y 74 00:08:09,319 --> 00:08:14,639 un denominador que sea un número entero positivo. No escribiremos habitualmente el signo menos en 75 00:08:14,639 --> 00:08:21,579 el denominador. No es que sea incorrecto, pero es algo que no se hace. En el caso de los números 76 00:08:21,579 --> 00:08:28,740 racionales positivos, por cierto, nosotros formaremos estos números utilizando números enteros que tengan 77 00:08:28,740 --> 00:08:34,659 el mismo signo. Lo más habitual es escribir un número en el numerador y en el denominador que sean ambos 78 00:08:34,659 --> 00:08:40,580 positivos, pero si hubiéramos puesto, por ejemplo, menos uno dividido entre menos dos, también 79 00:08:40,580 --> 00:08:47,840 obtendríamos un número positivo. Nosotros tendremos en mente que esos dos signos menos se van a cancelar 80 00:08:47,840 --> 00:08:53,200 y escribiremos un signo más o bien no escribiremos nada, pero en la definición eso estaría incluido. 81 00:08:55,169 --> 00:09:01,590 En el caso de los números racionales incluyen los números enteros y los números enteros van a ser 82 00:09:01,590 --> 00:09:07,850 aquellas fracciones que tengan como denominador el número 1, el número más 1. Un concepto importante 83 00:09:07,850 --> 00:09:12,570 es que los números racionales son densos y eso quiere decir que entre cualesquiera dos números 84 00:09:12,570 --> 00:09:18,970 racionales nos podemos encontrar con infinitos números racionales a su vez. El conjunto de los 85 00:09:18,970 --> 00:09:23,049 números racionales está ordenado, al igual que lo están los números enteros, al igual que lo están 86 00:09:23,049 --> 00:09:29,769 los números naturales, y es más sencillo ordenarlos teniendo en cuenta la expresión decimal. 87 00:09:31,169 --> 00:09:35,789 ¿Para qué se utilizan los números racionales o bien por qué aparecen los números racionales en 88 00:09:35,789 --> 00:09:40,330 la historia de la humanidad? Bueno, pues permite realizar repartos en los que los resultados no 89 00:09:40,330 --> 00:09:46,289 son valores enteros y, como podéis ver, también dan respuesta al problema de la medida. Vamos a 90 00:09:46,289 --> 00:09:52,950 representar magnitudes por números y queremos utilizar una cierta unidad, por ejemplo, de 91 00:09:52,950 --> 00:10:01,309 distancia para medir la distancia entre dos puntos y nos encontramos con que no hay un número natural 92 00:10:01,309 --> 00:10:06,490 dos, tres, cuatro veces que podamos utilizar exactamente esa unidad de distancia para 93 00:10:06,490 --> 00:10:15,700 representarla. Entonces tenemos que utilizar fracciones. En el aula virtual de la asignatura 94 00:10:15,700 --> 00:10:22,360 tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información en las fuentes 95 00:10:22,360 --> 00:10:27,279 bibliográficas y en la web. No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase 96 00:10:27,279 --> 00:10:31,360 o al foro de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto.