1
00:00:02,540 --> 00:00:12,960
Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo al curso de Matemáticas II de segundo de bachillerato

2
00:00:12,960 --> 00:00:19,300
al tema de matrices. Después de los vídeos anteriores en los que explicamos las matrices

3
00:00:19,300 --> 00:00:24,500
elementales y las operaciones más sencillas, suma, resta y multiplicación por escalares,

4
00:00:25,039 --> 00:00:30,559
en este vídeo vamos a introducir una operación fundamental entre las matrices, el producto

5
00:00:30,559 --> 00:00:38,399
de matrices. Como veremos, su definición formal es un tanto extraña y por ello parece

6
00:00:38,399 --> 00:00:43,259
necesario introducirla con un ejemplo que la motive. Comencemos.

7
00:00:45,060 --> 00:00:51,020
Supongamos que tenemos una serie de rutas aéreas de vuelos entre tres ciudades de salida

8
00:00:51,020 --> 00:00:57,219
ABC y dos ciudades de llegada 1 y 2. Las de la izquierda pintadas de azul, las de la derecha

9
00:00:57,219 --> 00:01:04,819
de verde. Pues esa disposición, ese gráfico, se suele llamar grafo en matemáticas, la

10
00:01:04,819 --> 00:01:09,060
información de los vuelos se representa muy bien en forma de tabla, que sería una matriz

11
00:01:09,060 --> 00:01:14,560
en la que tenemos tres filas, una por cada una de las ciudades de salida y dos columnas

12
00:01:14,560 --> 00:01:22,459
por cada una de las ciudades de llegada. Si nosotros tuviésemos que hacer escala en las

13
00:01:22,459 --> 00:01:26,319
ciudades verdes y tuviésemos que ir de las ciudades azules a unas nuevas

14
00:01:26,319 --> 00:01:30,900
ciudades rojas, en este caso tenemos cuatro ciudades de destino, pues

15
00:01:30,900 --> 00:01:35,140
tendríamos, ahí tenéis en el gráfico, pues una serie de vuelos posibles entre

16
00:01:35,140 --> 00:01:39,920
cada una de las ciudades. En este caso nosotros vamos a tener dos matrices, una

17
00:01:39,920 --> 00:01:45,920
para los posibles primeros vuelos y otra para los posibles

18
00:01:45,920 --> 00:01:51,159
segundos vuelos después de hacer escala. De manera que imaginémonos que yo

19
00:01:51,159 --> 00:01:56,959
quiero salir de la ciudad B, en azul, pasando por una de las dos verdes, haciendo escala

20
00:01:56,959 --> 00:02:02,799
en ellas y llegando a la ciudad roja número 3. Entonces, ¿qué posibilidades yo tengo?

21
00:02:03,340 --> 00:02:08,520
Bueno, pues evidentemente, si yo parto de la información recogida en las dos matrices

22
00:02:08,520 --> 00:02:15,460
anteriores, yo me tendré que fijar en esos dos, en esa fila y esa columna que quedan

23
00:02:15,460 --> 00:02:20,300
resaltadas de rojo. Lo que yo tendré que hacer, pues es la siguiente operación. 4

24
00:02:20,300 --> 00:02:28,960
4x4, 16 vuelos pasando por la ciudad verde número 1, más 1x2, 2 vuelos pasando, haciendo escala en la ciudad 2,

25
00:02:29,099 --> 00:02:35,840
la ciudad de abajo verde 2. En el fondo lo que yo he hecho es multiplicar el producto escalar de esos dos vectores

26
00:02:35,840 --> 00:02:45,800
4x1 por 4x2 y me da 18. Si yo cogiese todas las posibles combinaciones de ciudades azules y ciudades rojas

27
00:02:45,800 --> 00:02:56,740
haciendo escala en las ciudades verdes, pues yo tendría al final una matriz de 3 filas y 4 columnas, 3 por 4, 12 posibles rutas.

28
00:02:57,360 --> 00:03:05,719
Total, pues que en este caso, para salir de la B y llegar a la 3, tendremos 18 posibilidades como habíamos contado anteriormente.

29
00:03:05,719 --> 00:03:09,659
Y este sería el producto. ¿Cómo vamos a definir en general el producto de matrices?

30
00:03:10,379 --> 00:03:14,979
Lo primero y más importante es que no siempre se pueden multiplicar matrices.

31
00:03:14,979 --> 00:03:17,960
tienen que tener una dimensión muy determinada.

32
00:03:18,719 --> 00:03:25,139
Lo importante, la clave es que el número de columnas de la matriz de la izquierda, la matriz A,

33
00:03:25,379 --> 00:03:29,219
tiene que coincidir con el número de filas de la matriz B, de la matriz de la derecha.

34
00:03:29,800 --> 00:03:33,080
Es decir, que los subíndices interiores tienen que coincidir

35
00:03:33,080 --> 00:03:38,960
y el resultado va a ser una matriz que tiene n filas, el número de filas de la matriz de la izquierda,

36
00:03:38,960 --> 00:03:42,580
y p columnas, el número de columnas de la matriz de la derecha.

37
00:03:42,580 --> 00:03:52,599
La definición de cada una de las entradas de la matriz resultante, es decir, C sub ij, se realiza mediante esa fórmula

38
00:03:52,599 --> 00:04:01,319
que no es más que multiplicar una fila, la fila i de la matriz de la izquierda por la columna j de la matriz de la derecha

39
00:04:01,319 --> 00:04:11,360
es decir, fijamos i, ij y lo que hacemos es variar el subíndice interior y eso se puede esquematizar mediante la siguiente fórmula

40
00:04:11,360 --> 00:04:18,680
que es un sumatorio en el que, como decíamos, el subíndice interior K varía desde 1 hasta m,

41
00:04:18,980 --> 00:04:24,740
que es la dimensión que coincide de las dos matrices, el número de columnas de A y el número de filas de B.

42
00:04:26,199 --> 00:04:35,420
En el ejemplo anterior, vamos a desarrollar el ejemplo entero, lo que conviene cuando tengamos que multiplicar matrices es hacerlo por el siguiente orden.

43
00:04:35,420 --> 00:04:54,579
Fijamos la primera fila y multiplicamos por la primera columna. 3 por 3 más 2 por 1, 11. Y escribimos el elemento 1, 1 así. Lo que avanzamos ahora es en las columnas, así que en la matriz de la derecha avanzamos columna y multiplicaríamos 3 por 0 más 2 por 2, 4.

44
00:04:54,579 --> 00:05:01,740
avanzamos 3 por 4 más 2 por 2 16 y por último 3 por 0 más 2 por 5 10

45
00:05:01,740 --> 00:05:06,980
y ahora hemos acabado la primera fila del producto pasamos a la segunda

46
00:05:06,980 --> 00:05:13,079
es decir pasamos de la fila 3 2 a la fila 4 1 y multiplicamos por todas las columnas de la derecha

47
00:05:13,079 --> 00:05:16,300
obteniendo el resultado que veis ahí marcado

48
00:05:16,300 --> 00:05:22,459
haríamos lo siguiente con la última fila y completaríamos así el producto de matrices