1 00:00:12,339 --> 00:00:17,879 Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 2 00:00:17,879 --> 00:00:22,859 arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 3 00:00:22,859 --> 00:00:26,879 de la unidad AN4 dedicada a las aplicaciones de las derivadas. 4 00:00:31,059 --> 00:00:35,219 En la videoclase de hoy estudiaremos la optimización de funciones. 5 00:00:36,380 --> 00:00:51,840 En esta videoclase vamos a tratar otra de las grandes aplicaciones de las derivadas, 6 00:00:51,840 --> 00:00:58,200 cuál es la optimización de funciones. En este caso lo que va a ocurrir es que vamos a buscar 7 00:00:58,200 --> 00:01:06,060 dentro de un contexto realista el máximo o mínimo de una cierta función sujeta a una serie de 8 00:01:06,060 --> 00:01:13,200 restricciones, sujeta a una serie de consideraciones. La idea consiste en que utilizaremos las mismas 9 00:01:13,200 --> 00:01:18,819 técnicas que utilizábamos dentro de la sección segunda cuando hablamos de monotonía y extremos 10 00:01:18,819 --> 00:01:24,480 relativos de una función para buscar los extremos relativos, deberemos de tener en 11 00:01:24,480 --> 00:01:29,340 consideración que cuando se nos pregunte por un valor máximo buscaremos el mayor de 12 00:01:29,340 --> 00:01:34,060 los máximos, de haber más de uno. Cuando se nos hable de un mínimo buscaremos el menor 13 00:01:34,060 --> 00:01:39,500 de los mínimos cuando nos encontremos con más de uno. Y además nos vamos a encontrar 14 00:01:39,500 --> 00:01:45,060 con una serie de consideraciones adicionales y es que el estudio que nosotros hacíamos 15 00:01:45,060 --> 00:01:51,640 en esta sección era de una función en general. Y nosotros lo que hacíamos era estudiar los puntos 16 00:01:51,640 --> 00:01:56,420 críticos de la función derivada primera dentro del dominio de la función derivada primera, el cual 17 00:01:56,420 --> 00:02:02,040 a su vez estaba contenido dentro del dominio de la función. Y ese dominio lo habíamos determinado 18 00:02:02,040 --> 00:02:07,099 considerando únicamente el tipo de función con la que nos encontrábamos. Si era una función 19 00:02:07,099 --> 00:02:11,900 polinómica, el dominio es toda la recta real. Si se trata de una función racional, hemos de excluir 20 00:02:11,900 --> 00:02:15,580 los ceros del denominador, etcétera, etcétera. En este caso, cuando nos 21 00:02:15,580 --> 00:02:21,620 encontremos con un contexto realista, no estudiaremos el dominio natural de la 22 00:02:21,620 --> 00:02:25,240 función, que es este que he descrito anteriormente, sino el dominio que venga 23 00:02:25,240 --> 00:02:30,000 dado por las restricciones, por las consideraciones que se nos hagan. Lo 24 00:02:30,000 --> 00:02:34,159 cual quiere decir que hemos de tener en cuenta no solamente las restricciones, 25 00:02:34,300 --> 00:02:39,599 que pueden suponer una forma distinta de dotar la función, una forma distinta de 26 00:02:39,599 --> 00:02:46,219 crear la función cuyo extremo relativo hemos de hallar, sino que además esas restricciones en un 27 00:02:46,219 --> 00:02:51,460 momento dado van a determinar cuál es el dominio de la función. Y algo que debemos tener en cuenta 28 00:02:51,460 --> 00:02:59,379 es que es posible que los extremos relativos no se encuentren dentro del intervalo abierto o los 29 00:02:59,379 --> 00:03:04,400 intervalos abiertos dentro de este dominio natural, sino que podemos encontrarnos con los extremos que 30 00:03:04,400 --> 00:03:10,020 estamos buscando, justamente en esos puntos que delimitan el dominio. De tal forma que en el 31 00:03:10,020 --> 00:03:17,000 estudio que quiera que hagamos, una vez que tengamos la función cuyo extremo relativo deseamos hallar 32 00:03:17,000 --> 00:03:22,520 máximo o mínimo, hemos de tener en cuenta que el dominio no necesariamente será el dominio natural, 33 00:03:22,699 --> 00:03:27,939 sino que puede ser que se haya restringido por las consideraciones propias del ejercicio. Y en 34 00:03:27,939 --> 00:03:33,319 un momento dado, cuando estudiemos dentro de los puntos críticos de la derivada primera de esa 35 00:03:33,319 --> 00:03:38,879 función, en cuáles de ellos nos encontramos con máximos y con mínimos, hemos de tener en cuenta 36 00:03:38,879 --> 00:03:43,780 que además los puntos que delimitan el dominio de la función, en el caso de que el dominio esté 37 00:03:43,780 --> 00:03:50,400 cerrado en esos extremos, hemos de considerarlos como candidatos a máximos y a mínimos. ¿A qué me 38 00:03:50,400 --> 00:03:56,340 refiero con esto de las restricciones que van a formar o no la función? Vamos a considerar estos 39 00:03:56,340 --> 00:04:02,319 dos ejemplos que tenemos aquí. En este ejercicio 11, que resolveremos en clase y posiblemente en 40 00:04:02,319 --> 00:04:06,860 alguna videoclase posterior, se nos habla de un cierto club deportivo que cuenta con un número 41 00:04:06,860 --> 00:04:11,379 de socios que viene dado en miles de personas, esto va a ser importante, por esta cierta función. 42 00:04:12,099 --> 00:04:19,160 En este caso la función no tenemos que determinarla, se nos ha dado. Vemos que la función s de x, 43 00:04:19,600 --> 00:04:24,459 s por ser el número de socios, es una función polinómica y sabemos que el dominio de las 44 00:04:24,459 --> 00:04:29,620 funciones polinómicas es toda la recta real. Bien, hemos de tener cuidado. Ese es el dominio 45 00:04:29,620 --> 00:04:36,000 natural, el que es propio de esta función por el hecho de ser polinómica. Ahora, esta función es 46 00:04:36,000 --> 00:04:41,180 una función abstracta, representa algo real, representa el número de socios en miles de 47 00:04:41,180 --> 00:04:48,800 personas desde su fundación y esta x representa, se nos da esa información, el número de años desde 48 00:04:48,800 --> 00:04:55,540 su fundación. No tiene sentido considerar un valor de x negativo, puesto que eso indicaría un instante 49 00:04:55,540 --> 00:04:59,540 de tiempo anterior a la fundación del club y antes de su fundación no tiene 50 00:04:59,540 --> 00:05:03,680 sentido hablar del número de socios. Así pues, en este caso 51 00:05:03,680 --> 00:05:07,060 el dominio de la función no es toda la recta real, ese es el dominio 52 00:05:07,060 --> 00:05:11,519 natural de la función. El dominio real de la función que corresponde 53 00:05:11,519 --> 00:05:15,560 a esta aplicación concreta es x perteneciente al intervalo 54 00:05:15,560 --> 00:05:19,259 desde cero cerrado hasta más infinito porque en principio 55 00:05:19,259 --> 00:05:23,399 no me dicen de cuál sea el límite, no me dicen algo como por ejemplo 56 00:05:23,399 --> 00:05:28,680 o sea, el número de años desde su fundación hasta el presente, que es el quinto año, 57 00:05:28,800 --> 00:05:30,300 en cuyo caso sería de 0 a 5. 58 00:05:30,699 --> 00:05:35,779 No, me hablan de desde su fundación, no tengo un límite superior que me venga dado por renunciado. 59 00:05:36,379 --> 00:05:38,720 Puedo tomar x en principio, tan grande como yo quiera, 60 00:05:38,720 --> 00:05:43,199 pero desde luego, comentando un 0, cerrado, pero no un valor negativo. 61 00:05:43,660 --> 00:05:49,040 A eso me refiero cuando hablo de la diferencia entre el dominio natural y el dominio real de la función. 62 00:05:49,600 --> 00:05:56,480 Cuando yo vaya a determinar la función derivada, su dominio, puesto que la función derivada de un polinomio es una función polinómica, 63 00:05:56,860 --> 00:06:02,839 a su vez va a ser también toda la recta real. Cuidado, ese es el dominio natural de la función derivada. 64 00:06:03,319 --> 00:06:07,439 No tiene sentido que me pregunte por la función derivada fuera del dominio de la propia función. 65 00:06:07,439 --> 00:06:15,439 Así pues, tendría que estudiar el signo de la función derivada y buscar los extremos relativos únicamente en el intervalo que va desde cero hasta más infinito. 66 00:06:15,439 --> 00:06:34,420 Y en ese caso, fijaos, 0 es un punto que delimita el dominio de la función. En principio ese punto pertenece al dominio de la función, en él la función es derivable por la derecha únicamente, por la izquierda no, puesto que no existe la función, y podría ser que ese punto x igual a 0 fuera un extremo relativo de la función. 67 00:06:34,980 --> 00:06:39,860 No porque en él, a izquierda y a derecha, la función tenga monotonía distinta. 68 00:06:39,939 --> 00:06:41,459 En este caso estoy buscando un máximo. 69 00:06:42,060 --> 00:06:44,879 Necesito que a la izquierda la función sea creciente y a la derecha sea decreciente. 70 00:06:45,199 --> 00:06:48,220 Sino por el mero hecho de que delimita el dominio de la función. 71 00:06:48,939 --> 00:06:54,360 Si, por ejemplo, a la derecha de ese punto x igual a 0 la función fuera decreciente, 72 00:06:54,660 --> 00:06:57,139 en x igual a 0 tendríamos un máximo de la función. 73 00:06:57,600 --> 00:07:00,660 Bien, es cierto que a la izquierda no hay función, pero a la derecha sí. 74 00:07:00,660 --> 00:07:10,500 Y si a partir de ese punto que es cerrado, por eso que x es igual a cero, pertenece al dominio de la función, la función decrece, ahí podríamos encontrarnos con un máximo de la función. 75 00:07:10,899 --> 00:07:14,660 E insisto, no es un punto crítico necesariamente de la función deriva. 76 00:07:14,759 --> 00:07:23,399 La primera, por el mero hecho de cortar el dominio natural formando el dominio real con las restricciones, y en este caso es una de sentido común, 77 00:07:23,399 --> 00:07:30,319 no me puedo preguntar por qué ocurría con el club antes de su fundación en el tiempo x igual a 0, 78 00:07:30,680 --> 00:07:39,319 por el mero hecho de cortar el dominio natural, nos podemos encontrar con puntos que sean susceptibles de ser máximos o mínimos. 79 00:07:39,639 --> 00:07:52,019 Así pues, insisto, cuando desarrollemos este algoritmo, fijaos en que no sólo debo tener en consideración los puntos críticos de la derivada que se encuentren dentro del dominio real, 80 00:07:52,019 --> 00:07:58,519 sino que además debo tener en consideración qué es lo que ocurre con los puntos que delimitan el dominio real, 81 00:07:58,660 --> 00:08:01,759 que cortan el dominio natural para formar el dominio real. 82 00:08:02,339 --> 00:08:11,439 En cuanto a qué me refiero cuando digo que las restricciones ayudan a formar la función cuyo extremo relativo estamos buscando, 83 00:08:11,920 --> 00:08:16,120 lo en este ejercicio 2, que resolveremos en clase posiblemente también en alguna videoclase posterior, 84 00:08:16,120 --> 00:08:24,240 Me hablan de que necesitamos fabricar cajas, en principio dice de latón sin tapa, de volumen 500 centímetros cúbicos. 85 00:08:24,939 --> 00:08:35,899 Estas cajas sin tapa tendrán, en principio, como vemos aquí, una base que será cuadrada y entonces tendrán cuatro paredes que serán, en principio, rectángulos. 86 00:08:36,279 --> 00:08:41,120 No tienen tapa, con lo cual tenemos una única base, la de abajo, y las cuatro caras laterales. 87 00:08:41,120 --> 00:08:50,480 Se nos pide hallar la altura de esas caras laterales y el lado de la base para que la cantidad de latón empleada en fabricarlas sea la mínima posible. 88 00:08:51,000 --> 00:09:05,340 En este caso no se nos da una función. La función que tenemos que maximizar o minimizar, en este caso minimizar, como leemos aquí, es la cantidad de latón empleada, que será la superficie, puesto que se nos están hablando de dimensiones. 89 00:09:05,340 --> 00:09:12,940 No tenemos la función superficie de latón empleado, pero se nos da información que son esas restricciones. 90 00:09:13,139 --> 00:09:15,039 Sabemos que la base tiene que ser un cuadrado. 91 00:09:16,039 --> 00:09:20,279 Con base cuadrada sabemos que las caras laterales van a ser rectángulos. 92 00:09:20,980 --> 00:09:24,220 Sabemos que el volumen tiene que ser 500 centímetros cúbicos. 93 00:09:24,820 --> 00:09:32,879 Y toda esta información la integraremos para intentar determinar cuál es esa función área de latón para buscar cuál va a ser el mínimo. 94 00:09:32,879 --> 00:09:42,379 fijaos que en este caso expresaremos esta función en función de una única variable puede ser bien 95 00:09:42,379 --> 00:09:49,799 la altura puede ser bien el lado de la base en cualquiera de los casos tenemos una restricción 96 00:09:49,799 --> 00:09:55,919 también de sentido común por el hecho de que se trata de un problema realista no tiene sentido 97 00:09:55,919 --> 00:10:02,220 que esta altura o este lado que son longitudes sean desde luego cero ni desde luego negativos 98 00:10:02,480 --> 00:10:22,159 Con lo cual nos hallamos con las restricciones de que en el dominio, si expresamos el área en función de esta altura, llamémosla x, x tiene que ser estrictamente positiva, mientras que si la expresamos en función del lado de la base, llamémosla x, nuevamente x tiene que ser estrictamente positiva. 99 00:10:22,159 --> 00:10:45,399 Y aquí nos encontramos con una nueva situación en la cual una función que va a ser polinómica no va a tener como dominio toda la recta real, esto sería el dominio natural por el hecho de ser una función polinómica, sino que tendremos un dominio real que va a ser x positivos por el hecho de que nos encontramos dentro de una situación realista y la variable independiente no puede tomar valores negativos, no puede tomar el valor cero. 100 00:10:45,399 --> 00:10:54,240 En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 101 00:10:54,960 --> 00:10:59,059 Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 102 00:10:59,879 --> 00:11:04,639 No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 103 00:11:05,179 --> 00:11:06,580 Un saludo y hasta pronto.